空间中直线与平面平面与平面之间地位置关系

2.1空间点、直线、平面之间的位置关系2.1.3空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系点、直线、平面之间的位置关系 1．了解直线与平面之间的三种位置关系．2．了解平面与平面之间的两种位置关系．3．会用符号语言和图形语言表示直线和平面、平面和平面的位置关系． 基础梳理1．直线和平面的位置关系位置关系直线a在平面α内直线a在平面α外直线a与平面α相交直线a与平面α平行公共点________公共点____公共点____公共点符号表示a⊂αa∩αa∥α图形表示有无数个 有且只有一个 无 练习1.正方体AC1的六个面中，与AB相交的面有多少个？练习2.直线在平面外，则直线与平面的关系是什么？练习3.直线与平面有公共点，则直线与平面的关系是什么？练习4.直线与平面没有公共点，则直线与平面的关系是什么？练习5.当直线与平面相交时，平面上是否存在与该直线平行的直线？练习1.两个练习2.平行或相交练习3.直线与平面相交或直线在平面内练习4.直线与平面平行练习5.不存在 2．两个平面的位置关系位置关系图示表示法公共点个数两平面平行α∥β0个两平面相交α∩β有______个(在一条直线上) 1．直线a与平面α平行，直线b与平面α也平行，则a与b有怎样的位置关系？解析：直线a与b平行，相交或异面．2．一条直线在两个平行平面中的一个平面内，则该直线与另一个平面具有怎样的位置关系？解析：该直线与另一个平面无公共点，故该直线与另一个平面平行．思考应用 自测自评1．a∥α，b⊂α，那么a、b的位置关系是()A．平行B．异面C．相交或平行或异面D．平行或异面解析：a与α无公共点，a与b也无公共点，故a∥b或a与b异面．答案：D2．一条直线与两个平行面中的一个平行，那么这条直线与另一个平面的位置关系是()A．平行B．直线在平面内C．相交D．平行或直线在平面内D 3．若直线a平行于直线b，则过a且与b平行的平面有________个．4．用符号表示语句：“直线l经过平面α内一定点P，但l在平面α外”并画图形．无数解析：l∩α＝P 直线与平面的位置关系下列命题中，正确的个数是()①如果两条平行直线中的一条和一个平面相交，那么另一条直线也和这个平面相交；②一条直线和另一条直线平行，它就和经过另一条直线的任何平面都平行；③经过两条异面直线中的一条直线，有一个平面与另一条直线平行；④两条相交直线，其中一条与一个平面平行，则另一条一定与这个平面平行．A．0B．1C．2D．3 解析：①正确，②错误．如图甲所示l1∥m，l1∥β，而l2∥m，l2⊂β.③正确．如图乙所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中， 直线A1C1与直线BD异面，A1C1⊂平面A1B1C1D1，且BD∥平面A1B1C1D1，故③正确．④错误，直线还可能与平面相交，由此可知，①③正确，故选C.答案：C点评：解决此类问题，首先要正确理解直线与平面的三种位置关系的定义，然后再按照逐一否定的方法，确定直线与平面的位置关系． 跟踪训练1．对于任意的直线l与平面α，在平面α内必有直线m，使m与l()A．平行B．相交C．垂直D．互为异面直线解析：当直线l与平面α相交时，不存在m∥l；当直线l与平面α平行时，不存在m与l相交；当直线l在平面α内时，不存在m与l异面，故选C.答案：C 平面与平面的位置关系如图，ABCDA1B1C1D1是正方体，在图(1)中，E、F分别是D1C1、B1B的中点，画出图(1)、(2)中有阴影的平面与平面ABCD的交线，并给出证明． 解析：在图甲中，过点E作EN平行于BB1交CD于点N，连接NB并延长交EF的延长线于点M，连接AM，则AM即为有阴影的平面与平面ABCD的交线．在图乙中，延长DC，过点C1作C1M∥A1B交DC的延长线于点M，连接BM，则BM即为有阴影的平面与平面ABCD的交线． 证明：在图甲中，因为直线EN∥BF，所以B、N、E、F四点共面，EF与BN相交，交点为M.因为M∈EF，且M∈NB，而EF⊂平面AEF，NB⊂平面ABCD，所以M是平面ABCD与平面AEF的公共点．又因为点A是平面AEF和平面ABCD的公共点，故AM所在直线为两平面的交线．在图乙中，C1M在平面CDD1C1内，因此与DC的延长线相交，交点为M，则点M是平面A1C1B与平面ABCD的公共点，又因为B也是两平面的公共点，所以BM所在直线即为两平面的交线．点评：由公理3知两平面交线的存在性与惟一性，要确定两平面的交线只需确定两个平面的两个公共点即可． 跟踪训练2．α、β是两个不重合的平面，在下列条件中，可判定α∥β的是()A．α、β都平行于直线l、mB．α内有三个不共线的点到β的距离相等C．l、m是α内的两条直线，且l∥β、m∥βD．l、m是两条异面直线，且l∥α、m∥α、l∥β、m∥β解析：当l∥m时A、C不正确，当三个不共线的点在β的异侧时，α与β相交，B不正确．答案：D 数学语言的相互转换若两条异面直线中的一条在平面α内，讨论另一条直线与平面α的位置关系．解析：用符号语言表示为：若a与b异面，a⊂α，则b∥α或b∩α＝A.如图所示．点评：判断直线与平面的位置关系要善于找出空间模型，结合图形来考虑，注意考虑问题要全面． 跟踪训练3．分别按下列条件画出直观图．(1)a∩b＝P，a∥平面α，b∩平面α＝A；(2)平面α∩平面β＝l，a∩平面β＝A，a∥平面α；(3)α∩β＝l，a⊂α，b⊂β，试判断直线a、b的位置关系来画图．解析：(1)根据题设及平面图形直观图的画法，得直观图如图甲．(2)根据题设及平面图形直观图的画法，得直观图如图乙． (3)如图丙，直线a、b的位置关系是平行、相交或异面． 1．已知两条相交直线a，b，a∥平面α，b与α的位置关系是()A．b∥αB．b与α相交C．b⊂αD．b∥α或b与α相交解析：b⊄α，否则a与b异面或平行．答案：D 2．直线a在平面γ外，则()A．a∥γB．a与γ至少有一个公共点C．a∩γ＝AD．a与γ至多有一个公共点解析：a在平面γ外，包括两种情况：一是直线a与平面γ相交，二是直线a与平面γ平行，故至多有一个公共点．答案：D 1．直线与直线的位置关系有三种，直线与平面的位置关系有三种，平面与平面的位置关系有两种，在判断其位置关系时，要善于采取逐一判断的方法，以免漏掉一种情形．2．要充分借助长方体、正方体和现实生活中实物模型的辅助作用，研究、解决相关问题. 祝您学业有成