2.1.3空间中直线与平面之间的位置关系疱丁巧解牛知识·巧学1.直线和平面的位置关系:直线在平面内、直线与平面相交、直线和平面平行.(1)当直线与平面有无数个公共点时，我们称直线在平面内，记作lα，如图2-1-20①.(2)当直线与平面只有一个公共点时，我们称直线与平面相交，记作l∩α=A，如图2-1-20②.(3)当直线与平面没有公共点时，我们称直线与平面平行，记作l∥α，如图2-1-20③.图2-1-20画一条直线与已知平面平行时，通常把表示直线的线段画在表示平面的平行四边形的外面，并且使它与平行四边形的一边平行或与平行四边形的一条线段平行.方法点拨直线与平面间的位置关系通过直线与平面交点的个数的多少来确定，当直线与平面无公共点时，直线与平面平行；当直线与平面有且仅有一个公共点时，直线与平面相交；当直线与平面有无数公共点时，直线在平面内.2.直线与平面的距离直线与平面平行时，直线上任一点到平面的距离都相等，这点到平面的距离称为直线与平面的距离.3.直线与平面所成的角直线与平面斜交时，直线上的所有点在平面上的射影的集合组成了一条直线，这条直线与原直线所成的角我们称为直线与平面所成的角.4.射影直线与平面斜交时，斜线与平面的交点称为斜足，过斜线上不与斜足重合的点向平面引垂线，垂线与平面的交点称为垂足.垂足与斜足之间的连线称为斜线在平面内的射影.问题·探究问题1空间直线与平面位置关系划分的依据是什么？探究:否定了其中一种还有两种情况.在推证线面关系时，不能忽视直线在平面外这一条件.问题2能不能说直线在平面外，就是直线与平面平行？探究:不能.因为直线与平面位置关系有三种：直线与平面平行、直线与平面相交、直线在平面内，直线在平面外包括两种情况：一是直线与平面平行,二是直线与平面相交.典题·热题例1如果一条直线经过平面内的一点，又经过平面外的一点，则此直线和平面相交.思路解析：问题的实质就是证明直线a与平面α除点A以外，不存在其他公共点，于是有下面的证明思路：否定性命题，用反证法.解：已知：A∈α，A∈a，Bα，B∈a，求证：直线a与平面α相交.如图2-1-21,假设直线A和平面α不相交，即a∥α或aα.假设a∥α，就与A∈α，A∈a矛盾.假设aα，就与Bα，B∈a矛盾.∴假设不成立.∴直线a与平面α相交.
图2-1-21方法归纳利用反证法证明，反证法是一种常用的证明方法.首先作出与结论相反的假设，再导出与题设或定理、公理矛盾，或导出两个互相矛盾的结论，否定假设，从而原题结论正确.例2下列命题中正确的命题的个数为()①若直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥α②若直线a在平面α外，则a∥α③若直线a∥b，直线bα，则a∥α④若直线a∥b，b平面α，那么直线a就平行于平面α内的无数条直线A.1B.2C.3D.4思路解析：对于①，∵直线l虽与平面α内无数条直线平行，但l有可能在平面α内(若改为l与α内任何直线都平行，则必有l∥α)，∴①是假命题.对于②，∵直线a在平面α外，包括两种情况:a∥α和a与α相交，∴a与α不一定平行.∴②为假命题.对于③，∵a∥b，bα，只能说明a与b无公共点，但a可能在平面α内，∴a不一定平行于平面α.∴③也是假命题.对于④，∵a∥b，bα,那么aα或a∥α.∴a可以与平面α内的无数条直线平行.∴④是真命题.综上，真命题的个数为1.答案：A方法归纳解答本题的关键在于两点:(1)弄清概念;(2)要有一定的空间想象能力.例3过平面外一点作平面的平行线可以作()A.一条B.两条C.无数条D.以上都不对思路解析：过平面外一点可作一个与已知平面平行的平面，则该平面内所有的直线均平行于另一平面.答案：C
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