高中数学人教新课标A版必修2 2.1.3 空间中直线与平面之间的位置关系 课件

2.1.3空间中直线与平面之间的位置关系2.1.4平面与平面之间的位置关系 目标定位重点难点1.了解直线与平面之间的三种位置关系，会用图形语言和符号语言表示．2．了解平面与平面之间的两种位置关系，会用符号语言和图形语言表示.重点：空间中直线与平面之间位置关系的理解．难点：空间中直线与平面、平面与平面之间位置关系的理解. 1．直线与平面的位置关系无数个一个没有 2．两个平面的位置关系α∥β没有公共点α∩β＝l无数 1．判一判．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若直线l与平面α不相交，则直线l与平面α平行．()(2)如果直线a，b满足a∥α，b∥α，那么a∥b.()(3)如果直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b⊄α，那么b∥α.()【答案】(1)×(2)×(3)√ 2．做一做．(请把正确的答案写在横线上)(1)点A∈α，B∉α，C∉α，则平面ABC与平面α的位置关系是______．(2)空间三个平面如果每两个都相交，那么它们的交线有________条．【答案】(1)相交(2)1或3 3．思一思：已知平面α，β，直线a，b且α∥β，a⊂α，b⊂β，则直线a与直线b具有怎样的位置关系？【解析】a与b有两种位置关系，平行或异面，因为a，b分别在两个平行平面内，所以a与b没有公共点，故平行或异面. 【例1】下列命题中，正确命题的个数是()①如果a，b是两条平行直线，那么a平行于经过b的任何一个平面；②如果直线a和平面α满足a∥α，那么a与平面α内的任何一条直线平行；③如果直线a，b满足a∥α，b∥α，则a∥b；④如果直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b⊄α，那么b∥α；直线与平面位置关系的判断与应用 ⑤如果平面α的同侧有两点A，B到平面α的距离相等，则AB∥α.A．0B．1C．2D．3【解题探究】借助几何图形，根据直线与平面的位置关系对每一个说法逐一判断．【答案】C 【解析】如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，AA′∥BB′，AA′在过BB′的平面ABB′A′内，故①不正确；AA′∥平面BCC′B′，BC⊂平面BCC′B′，但AA′不平行于BC，故②不正确；AA′∥平面BCC′B′，A′D′∥平面BCC′B′，但AA′与A′D′相交，故③不正确；④中，假设b与α相交，因为a∥b，所以a与α相交，这与a∥α矛盾，故b∥α，故④正确；⑤显然正确．故选C． 8空间中直线与平面只有三种位置关系：直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行．在判断直线与平面的位置关系时，这三种情形都要考虑到，避免疏忽或遗漏．另外，我们可以借助空间几何图形，把要判断关系的直线、平面放在某些具体的空间图形中，以便于正确作出判断，避免凭空臆断． 1．过三棱柱ABC－A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线共有______条．【答案】6【解析】过三棱柱ABC－A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，记AC，BC，A1C1，B1C1的中点分别为E，F，E1，F1，则直线EF，E1F1，EE1，FF1，E1F，EF1均与平面ABB1A1平行，故符合题意的直线共6条． 【例2】(1)如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么两个平面的位置关系一定是()A．平行B．相交C．平行或相交D．不能确定(2)与两个相交平面的交线平行的直线和这两个平面的位置关系是________．平面与平面的位置关系 【解题探究】(1)分别画出满足条件的图形，判断两个平面的位置关系．(2)以长方体为模型观察，得出直线与这两个平面的关系．【答案】(1)C(2)至少与一个平面平行 8两个平面的位置关系同平面内两条直线的位置关系类似，可以从有无公共点区分：如果两个平面有一个公共点，那么由公理3可知，这两个平面相交于过这个点的一条直线；如果两个平面没有公共点，那么就说这两个平面互相平行．这样我们可以得出两个平面的位置关系：①平行——没有公共点；②相交——有且只有一条公共直线．若平面α与β平行，记作α∥β；若平面α与β相交且交线为l，记作α∩β＝l. 2．在底面为正六边形的六棱柱中，互相平行的面视为一组，则共有________组互相平行的面．与其中一个侧面相交的面共有________个．【答案】46【解析】六棱柱的两个底面互相平行，每个侧面与其直接相对的侧面平行，故共有4组互相平行的面．六棱柱共由8个面围成，在其余的7个面中，与某个侧面平行的面有1个，其余6个面与该侧面均为相交的关系． 【例3】已知：直线a∥b，a∩平面α＝P.求证：直线b与平面α相交．【解题探究】解答此类问题要首先把符号语言转化为图形语言，即依据题意作图，然后根据已知条件证明，若直接证明较困难，则宜采用反证法．线面位置关系的证明 【解析】如右图，∵a∥b，∴a和b确定平面β.∵a∩α＝P，∴平面α和平面β相交于过P点的直线l.∵在平面β内，l和两条平行直线a，b中的一条直线a相交，∴l必和b相交于Q，即b∩l＝Q.又b不在平面α内(若b在α内，则α和β都过两相交直线b和l，因此α和β重合)，l在α内，故直线b和平面α相交． 8应用反证法证题时，要全面考虑反面的各种情况，逐一推出矛盾进行排除，具体步骤为：①假设结论不成立；②归谬；③否定假设，肯定结论． 3．如果一条直线经过平面内的一点，又经过平面外的一点，则此直线和平面相交．已知：A∈α，A∈a，B∉α，B∈a.求证：直线a与平面α相交.【证明】假设直线a和平面α不相交，则a∥α或a⊂α.假设a∥α，就与A∈α，A∈a矛盾；假设a⊂α，就与B∉α，B∈a矛盾.∴假设不成立．∴直线a与平面α相交． 【示例】设P是异面直线a，b外的一点，则过P与a，b都平行的平面()A．有且只有一个B．恰有两个C．没有或只有一个D．有无数个判断位置关系时考虑不全面致误 【错因】错解是因为对空间概念理解不透彻，对P点位置没有做全面地分析，只考虑了一般情况，而忽略了特殊情形．事实上，当直线a(或b)与点P确定的平面恰与直线b(或a)平行时，与a，b都平行的平面就不存在了．【正解】C【警示】对于空间中的线面和面面位置关系问题，应注意结合实例，全面考虑，认真分析，才能避免判断失误． 1．正方体的六个面中互相平行的平面有()A．2对B．3对C．4对D．5对【答案】B【解析】正方体中相对的3对平面相互平行． 2．已知a，b，c为三条不重合的直线，α，β为两个不重合的平面．①a∥c，b∥c⇒a∥b；②a∥c，c∥α⇒a∥α；③a∥β，a∥α⇒α∥β；④a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α.其中正确命题的个数是()A．2B．3C．4D．5 【答案】A【解析】由公理4，知①正确；对于②，可能a∥α，也可能a⊂α；对于③，α与β可能平行，也可能相交；对于④，若a与α相交，由b⊂α可得a，b相交或异面，不满足a∥b，故a∥α. 3．平面α∥平面β，直线a⊂α，则a与β的位置关系是________．【答案】a∥β 4．三个平面α，β，γ，如果α∥β，γ∩α＝a，γ∩β＝b且直线c⊂β，c∥b.(1)判断c与α的位置关系，并说明理由；(2)判断c与a的位置关系，并说明理由．【解析】(1)c∥α.因为α∥β，所以α与β没有公共点．又c⊂β，所以c与α无公共点，则c∥α.(2)c∥a.因为α∥β，所以α与β没有公共点．又γ∩α＝a，γ∩β＝b，则a⊂α，b⊂β且a，b⊂γ，所以a，b没有公共点．由于a，b都在平面γ内，因此a∥b，又c∥b，所以c∥a.