2.1.3 空间中直线与平面之间的位置关系2.1.4 平面与平面之间的位置关系知识导图学法指导1.在判断线面关系、面面关系时，一般都要遵循从“低维”到“高维”的转化，即从线线关系到线面关系，再到面面关系．2．无论是判断还是证明，一定要注意对自然语言、图形语言和符号语言进行相互转换，使三者相辅相成．高考导航本节内容在高考中很少单独考查，通过掌握空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系，进而掌握后面将要学习的直线、平面平行(或垂直)的判定及其性质等，要引起重视.知识点一 空间中直线与平面的位置关系位置关系直线a在平面α内直线a在平面α外直线a与平面α相交直线a与平面α平行公共点无数个公共点1个公共点0个公共点符号表示a⊂αa∩α＝Aa∥α图形表示-11-
知识点二 平面与平面之间的位置关系位置关系两平面平行两平面相交公共点没有公共点有一条公共直线位置关系两平面平行两平面相交图形表示符号表示α∥βα∩β＝a1．判断面面位置关系时，要利用好长方体(或正方体)这一模型．2．画两个互相平行的平面时，要注意使表示平面的两个平行四边形的对应边平行．[小试身手]1．判断下列命题是否正确.(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行．( )(2)若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行．( )(3)若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行．( )(4)若两个平面都平行于同一条直线，则这两个平面平行．( )答案：(1)× (2)× (3)√ (4)×-11-
2．若直线a不平行于平面α，则下列结论成立的是( )A．α内的所有直线均与a异面B．α内不存在与a平行的直线C．α内直线均与a相交D．直线a与平面α有公共点解析：若直线a不平行于平面α，则直线a在平面α内或直线a与平面α相交，故选D.答案：D3．平面α∥平面β，直线a∥平面α，则( )A．a∥β B．a在平面β上C．a与β相交D．a∥β或a⊂β解析：如图1满足a∥α，α∥β，此时a∥β；如图2满足a∥α，α∥β，此时a⊂β，故选D.答案：D4．若直线a，b是异面直线，a⊂β，则b与平面β的位置关系是( )A．平行B．相交C．b⊂βD．平行或相交解析：∵a，b异面，且a⊂β，∴b⊄β，∴b与β平行或相交．答案：D类型一 考查直线与平面的位置关系例1 给出以下命题(其中a，b表示直线，α表示平面)：①若a∥α，b∥α，则a∥b；②若a∥b，b∥α，则a∥α；③若a∥α，b⊂α，则a∥b；④若α的同侧有两点A，B到平面α的距离相等，则AB∥α.其中正确命题的个数是( ) -11-
A．0B．1C．2D．3【解析】 如图，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，A′B′∥平面ABCD，B′C′∥平面ABCD，但A′B′与B′C′相交，故①错误；AB∥A′B′，A′B′∥平面ABCD，但AB⊂平面ABCD，故②错误；A′B′∥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，但A′B′与BC异面，故③错误．④显然正确．【答案】 B作出一个长方体→找出满足条件的直线和平面→对比结论判断正误方法归纳直线与平面位置关系的判断方法和注意事项(1)判断方法．首先把文字语言转化为图形语言，然后弄清图形间的相对位置是确定的还是可变的，最后根据定义确定直线与平面的位置关系．可以借助几何体模型，把要判断关系的直线和平面放在某些具体的空间图形中，以便正确作出判断，切忌凭空臆断．(2)注意事项．①空间中直线与平面只有三种位置关系：直线与平面平行、直线与平面相交和直线在平面内．在判断直线与平面的位置关系时，这三种情形都要考虑到，避免疏忽和遗漏．②正确理解“直线在平面外”的含义．跟踪训练1 下列结论正确的是________．(1)若直线a∥平面α，直线b⊂α，则a∥b；(2)若直线a∥平面α，直线b∥平面α，则直线a与b相交；(3)若直线a⊄平面α，则a∥α或a与α相交；(4)若直线a∩平面α＝A，则a⊄α；(5)若直线a⊂平面α，直线b⊄平面α，则a，b无公共点．解析：(1)错，a，b还可能异面；(2)错，a，b还可能异面或平行；(3)正确，a⊄α包含两种情况，相交或平行；(4)正确，a∩α＝A，则a与α相交，有a⊄α；(5)错，a，b还可能相交．答案：(3)(4)-11-
有关直线与平面的位置关系的问题，我们可借助熟悉的几何体(如正方体、长方体)模型解决．类型二 平面与平面的位置关系例2 α、β是两个不重合的平面，下列说法中正确的是( ) A．平面α内有两条直线a，b都与平面β平行，那么α∥βB．平面α内有无数条直线平行于平面β，那么α∥βC．若直线a与平面α和平面β都平行，那么α∥βD．平面α内所有的直线都与平面β平行，那么α∥β【解析】 A，B都不能保证α，β无公共点，如图(1)所示；C中当a∥α，a∥β时，α与β可能相交，如图(2)所示；只有D保证α，β一定无公共点．【答案】 D从平面与平面平行的定义出发进行判断，即两平面没有公共点．方法归纳两个平面的位置关系同平面内两条直线的位置关系类似，可以从有无公共点区分：如果两个平面有一个公共点，那么由公理3可知，这两个平面相交于过这个点的一条直线；如果两个平面没有公共点，那么就说这两个平面互相平行．这样我们可以得出两个平面的位置关系：①平行——没有公共点；②相交——有且只有一条公共直线．若平面α与β平行，记作α∥β；若平面α与β相交，且交线为l，记作α∩β＝l.跟踪训练2 如果在两个平面内分别有一条直线，且这两条直线互相平行，那么这两个平面的位置关系是( ) -11-
A．平行B．相交C．平行或相交D．以上都不正确解析：如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB⊂平面ABCD，C1D1⊂平面A1B1C1D1，C1D1⊂平面CDD1C1，AB∥C1D1，但平面ABCD∥平面A1B1C1D1，平面ABCD与平面CDD1C1相交．答案：C借助正方体，找到题中的条件符合的平面，观察两个平面的位置关系.2.1.3-4[基础巩固](25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么两个平面的位置关系一定是( )A．平行 B．相交C．平行或相交D．不能确定解析：如下图所示：由图可知，两个平面平行或相交．答案：C2．如果一条直线与两个平行平面中的一个平行，那么这条直线与另一个平面的位置关系为( )A．平行B．相交-11-
C．直线在平面内D．平行或直线在平面内解析：由面面平行的定义可知，若一条直线在两个平行平面中的一个平面内，则这条直线与另一个平面无公共点，所以与另一个平面平行．由此可知，本题中这条直线可能在平面内．否则此直线与另一个平面平行(因为若一条直线与两个平行平面中的一个平面相交，则必然与另一个平面相交)．答案：D3．若直线l不平行于平面α，且l⊄α，则( )A．α内的所有直线与l异面B．α内不存在与l平行的直线C．α内存在唯一的直线与l平行D．α内的直线与l都相交解析：若在平面α内存在与直线l平行的直线，因l⊄α，故l∥α，这与题意矛盾．答案：B4．[2019·安阳课时检测]过平面外两点作该平面的平行平面，可以作( )A．0个B．1个C．0个或1个D．1个或2个解析：平面外两点的连线与已知平面的位置关系有两种情况：①直线与平面相交，可以作0个平行平面．②直线与平面平行，可以作1个平行平面．答案：C5．[2019·郑州课时检测]给出下列说法：①若直线a在平面α外，则a∥α；②若直线a∥b，b⊂平面α，则a∥α；③若直线a∥平面α，那么直线a平行于平面α内的无数条直线．其中说法正确的个数为( )A．0B．1C．2D．3解析：对于①，直线a在平面α外包括两种情况，即a∥α或a与α相交，∴a和α不一定平行，∴①说法错误．对于②，∵直线a∥b，b⊂平面α，只能说明a和b无公共点，但a可能在平面α内，∴a不一定平行于α，∴②说法错误．对于③，比如在正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1D1∥平面ABCD，A1D1∥AD，∴平面ABCD内任一条平行于AD的直线都与A1D1平行，∴③说法正确．答案：B二、填空题(每小题5分，共15分)-11-
6．有下列命题：①两个平面有无数个公共点，则这两个平面重合；②若l，m是异面直线，l∥α，m∥β，则α∥β.其中错误命题的序号为________．解析：对于①，两个平面相交，则有一条交线，也有无数多个公共点，故①错误；对于②，借助于正方体ABCD－A1B1C1D1，AB∥平面DCC1D1，B1C1∥平面AA1D1D，又AB与B1C1异面，而平面DCC1D1与平面AA1D1D相交，故②错误．答案：①②7．与空间四边形ABCD四个顶点距离相等的平面共有________个．解析：A，B，C，D四个顶点在平面α的异侧，如果一边3个，另一边1个，适合题意的平面有4个；如果每边2个，适合题意的平面有3个，共7个．答案：78．下列命题正确的有________．①若直线与平面有两个公共点，则直线在平面内；②若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α；③若直线l与平面α相交，则l与平面α内的任意直线都是异面直线；④如果两条异面直线中的一条与一个平面平行，则另一条直线一定与该平面相交；⑤若直线l与平面α平行，则l与平面α内的直线平行或异面；⑥若平面α∥平面β，直线a⊂α，直线b⊂β，则直线a∥b.解析：对②，直线l也可能与平面相交；对③，直线l与平面内不过交点的直线是异面直线，而与过交点的直线相交；对④，另一条直线可能在平面内，也可能与平面平行；对⑥，两平行平面内的直线可能平行，也可能异面．故①⑤正确．答案：①⑤三、解答题(每小题10分，共20分)9.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是A1B1和BB1的中点，则下列直线与平面的位置关系是什么？(1)AM所在的直线与平面ABCD的位置关系；(2)CN所在的直线与平面ABCD的位置关系；(3)AM所在的直线与平面CDD1C1的位置关系；-11-
(4)CN所在的直线与平面CDD1C1的位置关系．解析：(1)AM所在的直线与平面ABCD相交；(2)CN所在的直线与平面ABCD相交；(3)AM所在的直线与平面CDD1C1平行；(4)CN所在的直线与平面CDD1C1相交．10.如图，已知平面α∩β＝l，点A∈α，点B∈α，点C∈β，且A∉l，B∉l，直线AB与l不平行，那么平面ABC与平面β的交线与l有什么关系？证明你的结论．解析：平面ABC与β的交线与l相交．证明：∵AB与l不平行，且AB⊂α，l⊂α，∴AB与l一定相交，设AB∩l＝P，则P∈AB，P∈l.又∵AB⊂平面ABC，l⊂β，∴P∈平面ABC，P∈β.∴点P是平面ABC与β的一个公共点，而点C也是平面ABC与β的一个公共点，且P，C是不同的两点，∴直线PC就是平面ABC与β的交线．即平面ABC∩β＝PC，而PC∩l＝P，∴平面ABC与β的交线与l相交．[能力提升](20分钟，40分)11．[2019·洛阳单元练习]下列说法中正确的个数是( )①平面α与平面β，γ都相交，则这三个平面有2条或3条交线；②如果a，b是两条直线，a∥b，那么a平行于经过b的任何一个平面；③直线a不平行于平面α，则a不平行于α内任何一条直线．A．0B．1C．2D．3解析：①错误．平面α与平面β，γ都相交，则这三个平面可能有2条或3条交线，还可能只有1条交线．②错误．如果a，b是两条直线，a∥b，那么a有可能在经过b的平面内．③错误．直线a不平行于平面α，则a有可能在平面α内，此时a可以与平面α-11-
内无数条直线平行．答案：A12．三个平面最多能把空间分为________部分，最少能把空间分成________部分．解析：三个平面可将空间分成4,6,7,8部分，所以三个平面最少可将空间分成4部分，最多分成8部分．答案：8 413．如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，P是A′D的中点，Q是B′D′的中点，判断直线PQ与平面AA′B′B的位置关系，并利用定义证明．解析：直线PQ与平面AA′B′B平行．连接AD′，AB′，在△AB′D′中，∵PQ是△AB′D′的中位线，平面AB′D′∩平面AA′B′B＝AB′，∴PQ在平面AA′B′B外，且与直线AB′平行，∴PQ与平面AA′B′B没有公共点，∴PQ与平面AA′B′B平行．14．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是AA1的中点，画出过D1，C，E的平面与平面ABB1A1的交线，并说明理由．解析：如图，取AB的中点F，连接EF，A1B，CF.∵E是AA1的中点，∴EF∥A1B.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1D1∥BC，A1D1＝BC，-11-
∴四边形A1BCD1是平行四边形．∴A1B∥CD1，∴EF∥CD1.∴E，F，C，D1四点共面．∵E∈平面ABB1A1，E∈平面D1CE，F∈平面ABB1A1，F∈平面D1CE，∴平面ABB1A1∩平面D1CE＝EF.∴过D1，C，E的平面与平面ABB1A1的交线为EF.-11-
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