8.3,空间点、直线、平面之间位置关系【解析版】

8.3,空间点、直线、平面之间位置关系【解析版】 8.3空间点、直线、平面之间的位置关系 1.文字、图形、符号三种语言的转化；2.点共线问题；3.点线共面问题；4.线共点问题；5.空间两条直线位置关系的判定；6.平行线的传递性；7.等角定理的应用；8.异面直线所成的角概念及其确定；9.直线与平面的位置关系；10.两个平面的位置关系. 一、单选题1．（2021佛山高二月考）和两条异面直线都垂直的直线（ ） A．有无数条B．有两条C．只有一条D．不存在【答案】A【解析】 由于异面直线的公垂线只有一条，因此凡与公垂线平行的直线都与两条异面直线垂直，有无数条.故选：A.2．（2021山西月考（文））两个平面若有三个公共点，则这两个平面（ ） A．相交B．重合C．相交或重合D．以上都不对【答案】C【解析】  两个平面若有三个公共点，当这三个点不共线时，两平面重合，当这三个点共线时，这两个平面相交或重合．故选：C．3．（2021.月考（理））若P为两条异面直线lm，外的任意一点，则（） A．过点P有且仅有一条直线与lm，都平行B．过点P有且仅有一条直线与lm，都垂直C．过点P有且仅有一条直线与lm，都相交 D．过点P有且仅有一条直线与lm，都异面【答案】B【解析】 解：因为若点P是两条异面直线lm，外的任意一点，则过点P有且仅有一条直线与lm，都垂直，选B4．（2021北京期末）在空间中，下列结论正确的是（ ） A．三角形确定一个平面B．四边形确定一个平面C．一个点和一条直线确定一个平面D．两条直线确定一个平面【答案】A【解析】 三角形有且仅有3个不在同一条直线上的顶点，故其可以确定一个平面，即A正确；当四边形为空间四边形时不能确定一个平面，故B错误；当点在直线上时，一个点和一条直线不能确定一个平面，故C错误；当两条直线异面时，不能确定一个平面，即D错误；故选：A.5．（2021北京学业考试）如图，正方体1111ABCDABCD-的棱AB，BC，CD，1CC所在的直线中，与直线1BC 成异面直线的是（ ） A．直线AB B．直线BC C．直线CD D．直线1CC 【答案】C【解析】 由题意，直线AB、BC、1CC均与直线1BC相交，由异面直线的概念可得直线CD与直线1BC成异面直线.故选：C. 6．（2021云南省保山第九中学月考）下列叙述错误的是（ ） A．若p，且=l，则pl.B．若直线ab=A，则直线a与b能确定一个平面.C．三点A，B，C确定一个平面.D．若Al，Bl且A，B则lÌ.【答案】C【解析】 选项A，点P在是两平面的公共点，当然在交线上，故正确；选项B，由公理的推论可知，两相交直线确定一个平面，故正确；选项C，只有不共线的三点才能确定一个平面，故错误；选项D，由公理1，直线上有两点在一个平面内，则整条直线都在平面内．故选：C 7．（2021湖南高一月考）如图是一个正方体的平面展开图，在这个正方体中 ①//BMED ②//EFCD ③CN与BM为异面直线④DMBN^ 以上四个命题中，正确的序号是（ ） A．①②③B．②④C．③④D．②③④【答案】D【解析】 作出正方体得到直观图如图所示: 由直观图可知,BM与DE为互相垂直的异面直线,故①不正确;////EFABCD,故②正确;CN与BM为异面直线,故③正确;由正方体性质可知BN^平面DEM,故BNDM^,故④正确.故选:D8．（2021.池州一中月考（文））若直线ab､异面，直线bc､异面，则ac､的位置关系是（ ） A．异面直线B．相交直线C．平行直线D．以上都有可能【答案】D【解析】 如图： ab､异面，直线bc､异面，ac､异面 如图： ab､异面，直线bc､异面，ac､相交  如图： ab､异面，直线bc､异面，ac､平行 故选：D9．（2021北京人大附中期末）下面四个说法中，正确说法的个数为（ ） （1）如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合；（2）两条直线可以确定一个平面；（3）若MaÎ，MbÎ，lab=，则MlÎ；（4）空间中，两两相交的三条直线在同一平面内.A．1B．2C．3D．4【答案】A【解析】 如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合或者是相交，故（1）不正确；两条异面直线不能确定一个平面，故（2）不正确；利用平面的基本性质中的公理3判断（3）正确；空间中，若两两相交的三条直线相交于同一点，则相交于同一点的三直线不一定在同一平面内（如棱锥的3条侧棱），故（4）不正确，综上所述只有一个说法是正确的，故选：A．10．（2021.月考（文））如图，在直三棱柱111ABCABC-中，D为11AB的中点，122ABBCBB===，22AC=，则异面直线BD与AC所成的角为（ ） A．30  B．45° C．60° D．90° 【答案】C【解析】 如图，取11BC的中点E，连接BE，DE，则11////ACACDE,所以BDEÐ即为异面直线BD与AC所成的角或其补角，由已知可得2BDDEBE===，三角形BDE为正三角形，所以60BDEÐ=°，所以异面直线BD与AC所成的角为60°. 故选：C【点睛】 平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下： （1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；（2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；（3）计算：求该角的值，常利用解三角形；（4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是0,2pæùçúèû，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．二、多选题11．（2021江苏大港中学月考）如果两条直线a与b没有公共点，那么a与b的位置关系可能是（ ）  A．相交B．平行C．异面D．垂直【答案】BC【解析】 空间中两条直线的位置关系有三种： 相交，有且只有一个公共点；平行，没有公共点；异面，没有公共点．由此可知，如果两条直线a和b没有公共点，那么a与b的位置关系是平行或异面,故选：BC．12．（2021江苏大港中学月考）下列命题正确的是（ ） A．三点确定一个平面B．空间四边形一定是平面图形C．平行四边形一定是平面图形D．梯形一定是平面图形【答案】CD【解析】 若三点共线，则这三个点就不能确定一个平面，A不正确；空间四边形四个顶点不一定共面，所以空间四边形不一定是平面图形，B不正确；平行四边形、梯形中都有一组对边平行，因为两条平行线确定一平面，\平行四边形、梯形是平面图形，故CD正确．故选：CD．13．（2021山东高二月考）如图所示，已知二面角ABDC--的大小为3，G，H分别是BC，CD的中点，E，F分别在AD，AB上，13AEAFADAB==，且AC^平面BCD，则以下说法正确的是（ ） A．E，F，G，H四点共面B．//FG平面ADC  C．若直线FG，HE交于点P，则P，A，C三点共线 D．若ABD△的面积为6，则BCD的面积为3【答案】ACD【解析】 A选项：在ABD△中，因为13AEAFADAB==，所以//EFBD，在BCD中，因为G，H分别是BC，CD的中点，所以//GHBD，所以//EFGH，所以E，F，G，H四点共面，故A选项正确；B选项：假设//FG平面ADC成立，因为平面ABC平面DACAC=，所以//FGAC，又G是BC的中点，所以F是AB的中点，与13AFAB=矛盾，故B选项错误；C选项：因为FGÌ平面ABC，PFGÎ，所以PÎ平面ABC，同理PÎ平面DAC，因为平面ABC平面DACAC=，所以PACÎ，所以P，A，C三点共线，故C选项正确；D选项：因为二面角ABDC--的大小为3，AC^平面BCD，所以点A到直线BD的距离是点C到直线BD的距离的2倍，故ABDCBDSS=，故D选项正确；故选：ACD14．（2021凌海市第二高级中学月考）如图1111ABCDABCD-为正方体，下列说法中正确的是（ ） A．三棱锥11BACD-为正四面体B．1BC与1AD互为异面直线且所成的角为45  C．1AD与1AB互为异面直线且所成的角为60 D．1AA与11BD互为异面直线且所成的角为90 【答案】ACD【解析】 对于A，因为三棱锥11BACD-的各条棱都是正方体表面正方形的对角线，即各条棱相等，故三棱锥 11BACD-为正四面体，故A正确；对于B，连接1BC，可知在正方体中，11ABCDCD，所以四边形11ABCD是平行四边形，所以11BCADP，因为11BCBC^，故异面直线1BC与1AD所成角为90，故B错误； 对于C，由图可得1AD与1AB互为异面直线，连接1AB，易得四边形11ABCD是平行四边形，则11ABCDP，则1ADCÐ即为所成角，由1ADC是等边三角形可得160ADCÐ=，故C正确； 对于D，由图可知1AA与11BD互为异面直线，因为在正方体中，1AA^平面1111DCBA，且11BDÌ平面1111DCBA，故111AABD^，故D正确.故选： ACD.三、填空题15．（2021山西省静乐县第一中学校高二月考）空间5点，其中有4点共面，它们没有任何3点共线，这5 个点最多可以确定___个平面.【答案】7【解析】  空间中有五个点，其中有四个点在同一平面内，但没有任何三点共线，\同一平面的四个点一定能两两连线，最多可连6条线，由三点确定一平面知任意一条线加上第五个点都会形成一个面，因此有6个面，再加上4点确定的面总共是7个面．故答案为：716．（2021高一期中）如图，在正方体1111ABCDABCD-中，面对角线1AD与AC所在直线的位置关系为____．(填"平行'、"相交'、"异面') 【答案】异面【解析】 在正方体1111ABCDABCD-中， A1D平面ABCD=D， AC平面ABCD， DAC，面对角线A1D与AC所在直线的位置关系为异面．故答案为异面．17．（2021台州市三梅中学高二月考）已知BAC=B1A1C1，AB∥A1B1，则AC与A1C1的位置关系是____________.【答案】平行、重合、相交或异面【解析】 当BAC与B1A1C1在平面中，由AB∥A1B1，根据等角定理可得11//ACAC， 根据上图可得AC与A1C1重合， 根据上图可知，AC与A1C1相交， 根据上图可知，AC与A1C1异面.综上所述，AC与A1C1的位置关系是平行、重合、相交或异面. 故答案为：平行、重合、相交或异面四、双空题18．（2021全国高一课时练习）(1)平面1AB平面11AC=_______;(2)平面11ACCAÇ平面AC=________. 【答案】11AB AC 【解析】 由图可知，（1）平面1AB平面11AC=11AB，（2）平面11ACCAÇ平面AC= AC故答案为：（1）11AB；（2）AC19．（2021全国高一课时练习）三个平面最多能把空间分为_____部分，最少能把空间分成_____部分.【答案】8 4 【解析】 ①三个平面互相平行时，可把空间分成4部分.如图（3）.②三个平面中恰有两个平面平行时，可把空间分成6部分.如图（4）.③三个平面两两相交于一条直线时，可把空间分成6部分.如图（5）.④三个平面两两相交于三条直线且三条直线互相平行，可把空间分成7部分.如图（6）.⑤三个平面两两相交于三条直线，且三条直线交于一点，可把空间分成8部分.如图（7）.综上可知，三个平面可把空间分成4或6或7或8部分.  20．（2021浙江高三其他）如图，某四面体的三视图是三个等腰直角三角形，则该四面体的表面中直角三角形的个数为_________，该四面体的最长棱和其对棱所成夹角的余弦值为_________． 【答案】4 33 【解析】 根据三视图还原几何体，并将其放在正方体中，如图中四面体ABCD所示，所以该四面体的表面中直角三角形的个数为4．设正方体的棱长为a，则ABCDBDa===，2,3ADBCaACa===，所以最长棱为AC，其对棱为BD．在正方体中，易知//BDCE，则ACEÐ为异面直线AC与BD所成的角．在RtACE△中，易得3cos3CEACEACÐ==，所以AC与BD所成角的余弦值为33．故答案为：4，33． 21．如图所示，1111ABCDABCD-是长方体，1AAa=，111130BABBAC°Ð=Ð=，则异面直线AB与11AC所成角为___________；1AA与1BC所成的角为__________； 【答案】 30° 45° 【解析】  因为1111ABCDABCD-是长方体，所以11//ABAB，所以111BACÐ是异面直线AB与11AC所成角，因为111130BABBAC°Ð=Ð=，所以异面直线AB与11AC所成角是30°.因为11//AABB ，所以1BBCÐ是异面直线1AA与1BC所成的角，130°Ð=BAB，1AAa=，所以3ABa= ，因为11130°Ð=BAC，所以BCa=， 所以145BBCÐ=.故答案为：(1).30° (2).45° 五、解答题22．如图，已知,,,EFGH分别是空间四边形ABCD的边,,,ABBCCDDA的中点. （1）求证： ,,,EFGH四点共面；（2）若四边形EFGH是矩形，求证： ACBD^.【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】 （1）在ABDD中，,EH分别是,ABAD的中点，//EHBD\.同理//FGBD，则//EHFG，故,,,EFGH四点共面.（2）由（1）知//EHBD，同理//ACGH.又∵四边形EFGH是矩形，EHGH\^.故ACBD^ 23．如图所示的一块木料中，棱BC平行于面AC¢ ¢. （1）要经过面AC¢¢内的一点P和棱BC将木料锯开，在木料表面应该怎样画线？（2）所画的线与平面AC是什么位置关系？【答案】（1）见解析（2）直线EF与平面AC平行直线,BECF与平面AC相交.【解析】 （1）如图所示，在平面""AC内，过点P作直线EF，使//EFBC¢¢，并分别交棱AB¢¢，"DC¢于点EE，连接BECF，，则EFBECF，，就是应画的线.理由是:由于//BC平面""AC，BCÌ平面""BCCB,平面""BCCBÇ平面""""ACBC=，所以""//BCBC.由于//EFBC¢¢，所以//EFBC，所以,,,BCFE四点共面. （2）由（1）知，//EFBC，而BC在平面AC内，EF在平面AC外，所以//EF平面AC.显然，BECF，都与平面AC相交. 24．（2021山西省静乐县第一中学校高二月考）如图，正方体1111ABCDABCD-中，E，F分别是AB，1AA的...