空间点、直线、平面之间的位置关系,高考历年真题

-.温馨提示：高考题库为Word版，请按住Ctrl，滑动鼠标滚轴，调节适宜的观看比例，点击右上角的关闭按钮可返回目录。【考点23】空间点、直线、平面之间的位置关系2009年考题1.〔2009高考〕在三棱柱中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点是侧面的中心，那么与平面所成角的大小是()A．B．C．D．【解析】选C.取BC的中点E，那么面，，因此与平面所成角即为，设，那么，，即有．2.〔2009高考〕二面角的大小为，为空间中任意一点，那么过点且与平面和平面所成的角都是的直线的条数为〔〕A．2B．3C．4D．5【解析】选B.过点P作与，都成的直线，其中在锐二面角中有一条这样的直线，在钝二面角中有两条这样的直线，所以共有三条直线与，都成角。3.〔2009全国Ⅱ〕正四棱柱中，为中点，那么异面直线与所成的角的余弦值为〔〕A.B.C.D.【解析】选C.令那么,连∥异面直线与所成的角即与所成的角。在中由余弦定理易得.4.〔2009高考〕如图，在四面体中，截面是正方形，.word.zl. -.那么在以下命题中，错误的为〔〕..∥截面..异面直线与所成的角为【解析】选.由∥，∥，⊥可得⊥，故正确；由∥可得∥截面，故正确；异面直线与所成的角等于与所成的角，故正确；综上是错误的.5.〔2009高考〕如图，六棱锥的底面是正六边形，，那么以下结论正确的选项是〔〕Ａ.  Ｂ.平面C.直线∥平面Ｄ.【解析】选D.方法一：由三垂线定理，因AD与AB不相互垂直，排除A；作于，因面面ABCDEF，而AG在面ABCDEF上的射影在AB上，而AB与BC不相互垂直，故排除B；由，而EF是平面PAE的斜线，故排除C，应选择D。方法二：设底面正六边形边长为，那么，由平面可知，又=，所以在中有直线与平面所成的角为，故应选D。6.〔2009高考〕如图，假设正四棱柱的底面边长为2，高为4，那么异面直线与AD所成角的大小是______________〔结果用反三角函数表示〕.【解析】因为AD∥A1D1，异面直线BD1与AD所成角就是BD1与A1D1所成角，即∠A1D1B，由勾股定理，得A1B＝2，tan∠A1D1B＝，所以∠A1D1B＝。答案:.word.zl. -.7.〔2009高考〕如图，正三棱柱的各条棱长都相等，是侧棱的中点，那么异面直线所成的角的大小是。【解析】方法一：不妨设棱长为2，选择基向量，那么，故填写。方法二：取BC中点N，连结，那么面，∴是在面上的射影，由几何知识知，由三垂线定理得，故填写。答案:.8.〔2009高考〕如图，在直三棱柱中，,,求二面角的大小。【解析】如图，建立空间直角坐标系那么A〔2，0，0〕、C〔0，2，0〕A1〔2，0，2〕，B1〔0，0，2〕、C1〔0，2，2〕……2分设AC的中点为M，∵BM⊥AC,BM⊥CC1;∴BM⊥平面A1C1C,即=(1,1,0)是平面A1C1C的一个法向量。……5分设平面的一个法向量是=〔-2，2，-2〕，=〔-2，0，0〕7分设法向量的夹角为，二面角的大小为，显然为锐角…………………….14分.word.zl. -.9.〔2009高考〕如图，平行四边形中，，将沿折起到的位置，使平面平面〔I〕求证：〔Ⅱ〕求三棱锥的侧面积。【解析】〔I〕证明：在中，又平面平面平面平面平面平面平面〔Ⅱ〕由〔I〕知从而在中，又平面平面平面平面平面而平面综上，三棱锥的侧面积10.〔2009XX高考〕如图，在五面体ABCDEF中，FA平面ABCD,AD//BC//FE，ABAD，M为EC的中点，AF=AB=BC=FE=AD(I)求异面直线BF与DE所成的角的大小；(II)证明平面AMD平面CDE；〔III〕求二面角A-CD-E的余弦值。.word.zl. -.【解析】方法一：〔Ⅰ〕由题设知，BF//CE，所以∠CED〔或其补角〕为异面直线BF与DE所成的角。设P为AD的中点，连结EP，PC。因为FEAP，所以FAEP，同理ABPC。又FA⊥平面ABCD，所以EP⊥平面ABCD。而PC，AD都在平面ABCD,故EP⊥PC，EP⊥AD。由AB⊥AD，可得PC⊥AD设FA=a，那么EP=PC=PD=a,CD=DE=EC=，故∠CED=60°。所以异面直线BF与DE所成的角的大小为60°〔II〕因为〔III〕〔III〕由〔I〕可得，方法二：如下图，建立空间直角坐标系，点为坐标原点。设依题意得〔I〕所以异面直线与所成的角的大小为.〔II〕，〔III〕.word.zl. -.又由题设，平面的一个法向量为11.〔2009全国Ⅰ〕如图，四棱锥中，底面为矩形，底面，，点M在侧棱上，=60°〔I〕证明：M在侧棱的中点〔II〕求二面角的大小。【解析】〔I〕方法一：作∥交于N，作交于E，连ME、NB，那么面，,设，那么,在中，。在中由解得，从而M为侧棱的中点M.12.〔2009高考〕如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，，，且MD=NB=1，E为BC的中点（1）求异面直线NE与AM所成角的余弦值（2）在线段AN上是否存在点S，使得ES平面AMN？假设存在，求线段AS的长；假设不存在，请说明理由.【解析】〔1〕在如图，以D为坐标原点，建立空间直角坐标系依题意，得。.word.zl. -.，所以异面直线与所成角的余弦值为.〔2〕假设在线段上存在点，使得平面.,可设又.由平面，得即故，此时.经检验，当时，平面.故线段上存在点，使得平面，此时.2008年考题ABCDA1B1C1D11、〔2008高考〕如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2,AA1=1,那么BC1与平面BB1D1D所成角的余弦值为〔〕A.B.C.D..word.zl. -.ABCDA1B1C1D1O【解析】选D.连与交于O点,再连BO,那么为BC1与平面BB1D1D所成的角.，，.ABCDA1B1C1D12、〔2008高考〕如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，那么AC1与平面A1B1C1D1所成角的正弦值为〔〕A．B．C．D．【解析】选D.连,那么为AC1与平面A1B1C1D1所成角ABCDA1B1C1D1，又ABCDP3、〔2008、高考〕如图，点P在正方体的对角线上，．〔Ⅰ〕求DP与所成角的大小；〔Ⅱ〕求DP与平面所成角的大小．【解析】如图，以为原点，为单位长建立空间直角坐标系．ABCDPxyzH那么，．连结，．在平面中，延长交于．设，由，由可得．解得，所以．.word.zl. -.〔Ⅰ〕因为，所以．即与所成的角为．〔Ⅱ〕平面的一个法向量是．因为，所以．可得与平面所成的角为．FCPGEABD4、〔2008高考〕如下图，四棱锥的底面是半径为的圆的接四边形，其中是圆的直径，，，垂直底面，，分别是上的点，且，过点作的平行线交于．〔1〕求与平面所成角的正弦值；〔2〕证明：是直角三角形；〔3〕当时，求的面积．【解析】〔1〕在中，，而PD垂直底面ABCD，,在中，,即为以为直角的直角三角形。设点到面的距离为,由有,即，∴;(2),而,即,，,是直角三角形；〔3〕时,,.word.zl. -.即,的面积5、〔2008高考〕如图,矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，，，〔Ⅰ〕求证：平面；〔Ⅱ〕当的长为何值时,二面角的大小为.【解析】〔Ⅰ〕过点作交于，连结，可得四边形为矩形，又为矩形，所以，从而四边形为平行四边形，故．因为平面，平面，所以平面．〔Ⅱ〕过点作交的延长线于，连结．由平面平面，，得平面，从而．所以为二面角的平面角．DABEFCHG在中，因为，，所以，．又因为，所以，从而．于是．因为，所以当为时，二面角的大小为．6、〔2008高考〕三棱锥被平行于底面的平面所截得的几何体如下图，截面为，，.word.zl. -.平面，，，，，．A1AC1B1BDC〔Ⅰ〕证明：平面平面；〔Ⅱ〕求二面角的大小．【解析】〔Ⅰ〕平面平面，．在中，，，，又，，，即．A1AC1B1BDCFE〔〕又，平面，平面，平面平面．〔Ⅱ〕如图，作交于点，连接，由得平面．是在面的射影．由三垂线定理知，为二面角的平面角．过作交于点，那么，，．在中，．在中，．，即二面角大小为．ABCDEA1B1C1D17、〔2008全国Ⅱ〕如图，正四棱柱中，，点在上且．〔Ⅰ〕证明：平面；〔Ⅱ〕求二面角的大小．.word.zl. -.【解析】依题设，，．〔Ⅰ〕连结交于点，那么．由三垂线定理知．ABCDEA1B1C1D1FHG在平面，连结交于点，由于，故，∴，∴与互余．于是．与平面两条相交直线都垂直，所以平面．〔Ⅱ〕作，垂足为，连结．由三垂线定理知，故是二面角的平面角．∵，又，．∴，．又，．．所以二面角的大小为．2007年考题1．〔2007全国Ⅰ〕如图，正棱柱中，，那么异面直线与所成角的余弦值为〔〕A．B．C．D．.word.zl. -.【解析】选D。如图，连接BC1，A1C1，∠A1BC1是异面直线与所成的角，设AB=a，AA1=2a，∴A1B=C1B=a，A1C1=a，∴∠A1BC1的余弦值为.2.〔2007全国Ⅱ〕正三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱长与底面边长相等，那么AB1与侧面ACC1A1与AB1所成角的正弦值等于〔〕(A)(B)(C)(D)【解析】选A。正三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱长与底面边长相等，取A1C1的中点D1，连接B1D，AD1，那么∠B1AD1是AB1与侧面ACC1A1所成的角，.3.〔2007全国Ⅱ〕三棱锥是侧棱长的底面边长的2倍，那么侧棱与底面所成角的余弦值等于〔〕A．B．C．D．【解析】选A。三棱锥的侧棱长是底面边长的2倍，设底面边长为1，侧棱长为2，连接顶点与底面中心，那么侧棱在底面上的射影长为，所以侧棱与底面所成角的余弦值等于.4.〔2007高考〕如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G、H分别为AA1、AB、BB1、B1C1的中点，那么异面直线EF与GH所成的角等于〔〕A.45°B.60°C.90°D.120°【解析】选B.连A1B、BC1、A1C1，那么A1B=BC1=A1C1，且EF∥A1B、GH∥BC1，所以异面直线EF与GH所成的角等于60°..word.zl. -.5.〔2007高考〕如图，为正方体，下面结论错误的选项是〔  〕〔A〕平面〔B〕〔C〕平面〔D〕异面直线与所成的角为【解析】选D．显然异面直线与所成的角为。6.〔2007高考〕点在二面角的棱上，点在，且．假设对于异于的任意一点，都有，那么二面角的大小是．【解析】设直线OP与平面所成的角为,由最小角原理及恒成立知,只有作于H,那么面,故为.答案：7.(2007高考)点O在二面角α－AB－β的棱上，点P在α，且∠POB＝45°．假设对于β异于O的任意一点Q，都有∠POQ≥45°，那么二面角α－AB－β的取值围是_________．【解析】假设二面角α－AB－β的大小为锐角，那么过点P向平面作垂线,设垂足为H.过H作AB的垂线交于C,连PC、CH、OH，那么就是所求二面角的平面角.根据题意得，由于对于β异于O的任意一点Q，都有∠POQ≥45°，∴，设PO=，那么又∵∠POB＝45°，∴OC=PC=，∵PC≤PH而在中应有PC>PH,∴显然矛盾，故二面角α－AB－β的大小不可能为锐角。即二面角的围是。假设二面角α－AB－β的大小为直角或钝角，那么由于∠POB＝45°，结合图形容易判断对于β异于O.word.zl. -.的任意一点Q，都有∠POQ≥45°。即二面角的围是。答案：8.〔2007、高考〕如图，在三棱锥中，侧面与侧面均为等边三角形，，为中点．〔Ⅰ〕证明：平面；〔Ⅱ〕求二面角的余弦值．【解析】〔Ⅰ〕证明：由题设，连结，为等腰直角三角形，所以，且，又为等腰三角形，故，且，从而．所以为直角三角形，．又．所以平面．〔Ⅱ〕解法一：取中点，连结，由〔Ⅰ〕知，得．为二面角的平面角．由得平面．所以，又，故．所以二面角的余弦值为．解法二：以为坐标原点，射线分别为轴、.word.zl. -.轴,轴的正半轴，建立如图的空间直角坐标系．设，那么．的中点，．．故等于二面角的平面角．，所以二面角的余弦值为．9．〔2007全国Ⅰ〕四棱锥S－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC⊥底面ABCD。∠ABC＝45°，AB＝2，BC=2，SA＝SB＝。(Ⅰ)证明：SA⊥BC；(Ⅱ)求直线SD与平面SAB所成角的大小；【解析】解法一：〔Ⅰ〕作，垂足为，连结，由侧面底面，得底面．因为，所以，又，故为等腰直角三角形，，DBCAS由三垂线定理，得．〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知，依题设，故，由，，，得，．的面积．.word.zl. -.连结，得的面积设到平面的距离为，由于，得，解得．设与平面所成角为，那么．所以，直线与平面所成的我为．解法二：〔Ⅰ〕作，垂足为，连结，由侧面底面，得平面．因为，所以．又，为等腰直角三角形，．DBCAS如图，以为坐标原点，为轴正向，OB为y轴正向，OS为z轴正向，建立直角坐标系，，，，，，，，所以．〔Ⅱ〕取中点，，连结，取中点，连结，．，，．，，与平面两条相交直线，垂直．所以平面，与的夹角记为，与平面所成的角记为，那么与互余．.word.zl. -.，．，，所以，直线与平面所成的角为．10.〔2007全国Ⅱ〕如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱SD⊥底面ABCD，E、F分别是AB、SC的中点。ABCDSEF(Ⅰ)求证：EF∥平面SAD；(Ⅱ)设SD=2CD，求二面角A－EF－D的大小；【解析】解法一：〔1〕作交于点，那么为的中点．连结，又，故为平行四边形．，又平面平面．所以平面．〔2〕不妨设，那么为等腰直角三角形．.word.zl. -.取中点，连结，那么．又平面，所以，而，AAEBCFSDGMyzx所以面．取中点，连结，那么．连结，那么．故为二面角的平面角．所以二面角的大小为．解法二：〔1〕如图，建立空间直角坐标系．设，那么，．取的中点，那么．平面平面，所以平面．〔2〕不妨设，那么．中点又，，所以向量和的夹角等于二面角的平面角．.word.zl. -.．所以二面角的大小为．11.〔2007高考〕如图，在中，，斜边．可以通过以直线为轴旋转得到，且二面角是直二面角．动点在斜边上．〔I〕求证：平面平面；〔II〕当为的中点时，求异面直线与所成角的大小；〔III〕求与平面所成角的最大值．【解析】解法一：〔I〕由题意，，，是二面角的平面角，又二面角是直二面角，，又，平面，又平面．平面平面．〔II〕作，垂足为，连结〔如图〕，那么，是异面直线与所成的角．在中，，，．又．在中，．.word.zl. -.异面直线与所成角的大小为．〔III〕由〔I〕知，平面，是与平面所成的角，且．当最小时，最大，这时，，垂足为，，，与平面所成角的最大值为．解法二：〔I〕同解法一．〔II〕建立空间直角坐标系，如图，那么，，，，，，．异面直线与所成角的大小为．〔III〕同解法一.word.zl.