高中数学《空间点、直线、平面之间的位置关系》

§8.2　空间点、直线、平面之间的位置关系考试要求　1.理解空间直线、平面位置关系的定义.2.了解可以作为推理依据的公理和定理.3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题．1．四个公理公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．2．空间中直线与直线的位置关系(1)位置关系的分类(2)异面直线所成的角①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．②范围：.3．空间中直线与平面的位置关系直线与平面的位置关系有：直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行三种情况．4．空间中平面与平面的位置关系平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况．5．等角定理如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．微思考1．分别在两个不同平面内的两条直线为异面直线吗？提示　不一定，因为异面直线不同在任何一个平面内．分别在两个不同平面内的两条直线可能平行或相交或异面．2．平面外的一条直线上有两个点到平面的距离相等，则直线与平面的位置关系如何？提示　平行或相交． 题组一　思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)有三个公共点的两个平面必重合．(　×　)(2)三条两两相交的直线确定一个平面．(　×　)(3)若A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α，则l⊂α.(　√　)(4)如果两个不重合的平面α，β有一条公共直线a，就说平面α，β相交，记作α∩β＝a.(　√　)题组二　教材改编2.如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成角的大小为(　　)A．30°B．45°C．60°D．90°答案　C解析　连接B1D1，D1C(图略)，则B1D1∥EF，故∠D1B1C即为所求的角．又B1D1＝B1C＝D1C，∴△B1D1C为等边三角形，∴∠D1B1C＝60°.3．如果直线a⊂平面α，直线b⊂平面β.且α∥β，则a与b(　　)A．共面B．平行C．是异面直线D．可能平行，也可能是异面直线答案　D解析　α∥β，说明a与b无公共点，∴a与b可能平行也可能是异面直线．4．两两平行的三条直线可确定________个平面．答案　1或3解析　若三条直线在同一平面内，则确定1个平面．若三条直线不共面，则确定3个平面．题组三　易错自纠 5．若直线a⊥b，且直线a∥平面α，则直线b与平面α的位置关系是(　　)A．b⊂αB．b∥αC．b⊂α或b∥αD．b与α相交或b⊂α或b∥α答案　D解析　由题意知，b与α的位置关系可能是b∥α，b与α相交或b⊂α.6．下列关于异面直线的说法正确的是________．(填序号)①若a⊂α，b⊂β，则a与b是异面直线；②若a与b异面，b与c异面，则a与c异面；③若a，b不同在平面α内，则a与b异面；④若a，b不同在任何一个平面内，则a与b异面．答案　④解析　①a⊂α，b⊂β，则a与b可能平行，异面或相交．②a与b异面，b与c异面，则a与c平行、相交或异面．③a，b不同在α内，则a与b异面或平行．④由异面直线的定义可知正确.题型一　平面基本性质的应用例1　如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的中点．求证：(1)E，C，D1，F四点共面；(2)CE，D1F，DA三线共点．证明　(1)如图，连接EF，CD1，A1B. ∵E，F分别是AB，AA1的中点，∴EF∥BA1.又A1B∥D1C，∴EF∥CD1，∴E，C，D1，F四点共面．(2)∵EF∥CD1，EF