空间点、直线、平面之间的位置关系,高考历年真题

温馨提示：高考题库为Word版，请按住Ctrl，滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，点击右上角的关闭按钮可返回目录。【考点23】空间点、直线、平面之间的位置关系2009年考题1.（2009浙江高考）在三棱柱中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点是侧面的中心，则与平面所成角的大小是()A．B．C．D．【解析】选C.取BC的中点E，则面，，因此与平面所成角即为，设，则，，即有．2.（2009重庆高考）已知二面角的大小为，为空间中任意一点，则过点且与平面和平面所成的角都是的直线的条数为（）wA．2B．3C．4D．5【解析】选B.过点P作与，都成的直线，其中在锐二面角中有一条这样的直线，在钝二面角中有两条这样的直线，所以共有三条直线与，都成角。3.（2009全国Ⅱ）已知正四棱柱中，为中点，则异面直线与所成的角的余弦值为（）A.B.C.D.【解析】选C.令则,连∥异面直线与所成的角即与所成的角。在中由余弦定理易得.4.（2009江西高考）如图，在四面体中，截面是正方形，则在下列命题中，错误的为（）..∥截面... ..异面直线与所成的角为【解析】选.由∥，∥，⊥可得⊥，故正确；由∥可得∥截面，故正确；异面直线与所成的角等于与所成的角，故正确；综上是错误的.5.（2009四川高考）如图，已知六棱锥的底面是正六边形，，则下列结论正确的是（）Ａ.  Ｂ.平面w.w.w.k.s.5.u.c.o.mC.直线∥平面Ｄ.【解析】选D.方法一：由三垂线定理，因AD与AB不相互垂直，排除A；作于，因面面ABCDEF，而AG在面ABCDEF上的射影在AB上，而AB与BC不相互垂直，故排除B；由，而EF是平面PAE的斜线，故排除C，故选择D。方法二：设底面正六边形边长为，则，由平面可知，又=，所以在中有直线与平面所成的角为，故应选D。6.（2009上海高考）如图，若正四棱柱的底面边长为2，高为4，则异面直线与AD所成角的大小是______________（结果用反三角函数表示）.【解析】因为AD∥A1D1，异面直线BD1与AD所成角就是BD1与A1D1所成角，即∠A1D1B，由勾股定理，得A1B＝2，tan∠A1D1B＝，所以∠A1D1B＝。答案:7.（2009四川高考）如图，已知正三棱柱的各条棱长都相等，是侧棱的中点，则异面直线所成的角的大小是。边【解析】方法一：不妨设棱长为2，选择基向量，则... ，故填写。方法二：取BC中点N，连结，则面，∴是在面上的射影，由几何知识知，由三垂线定理得，故填写。答案:.8.（2009上海高考）如图，在直三棱柱中，,,求二面角的大小。【解析】如图，建立空间直角坐标系则A（2，0，0）、C（0，2，0）A1（2，0，2），B1（0，0，2）、C1（0，2，2）……2分设AC的中点为M，∵BM⊥AC,BM⊥CC1;∴BM⊥平面A1C1C,即=(1,1,0)是平面A1C1C的一个法向量。……5分设平面的一个法向量是=（-2，2，-2），=（-2，0，0）7分设法向量的夹角为，二面角的大小为，显然为锐角…………………….14分9.（2009福建高考）如图，平行四边形中，，将沿折起到的位置，使平面平面（I）求证：w.w.w.k.s.5.u.c.o.m（Ⅱ）求三棱锥的侧面积。【解析】（I）证明：在中，... 又平面平面平面平面平面平面平面（Ⅱ）由（I）知从而在中，又平面平面平面平面平面而平面综上，三棱锥的侧面积10.（2009天津高考）如图，在五面体ABCDEF中，FA平面ABCD,AD//BC//FE，ABAD，M为EC的中点，AF=AB=BC=FE=AD(I)求异面直线BF与DE所成的角的大小；(II)证明平面AMD平面CDE；（III）求二面角A-CD-E的余弦值。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m【解析】方法一：（Ⅰ）由题设知，BF//CE，所以∠CED（或其补角）为异面直线BF与DE所成的角。设P为AD的中点，连结EP，PC。因为FEAP，所以FAEP，同理ABPC。又FA⊥平面ABCD，所以EP⊥平面ABCD。而PC，AD都在平面ABCD内,故EP⊥PC，EP⊥AD。由AB⊥AD，可得PC⊥AD设FA=a，则EP=PC=PD=a,CD=DE=EC=，故∠CED=60°。所以异面直线BF与DE所成的角的大小为60°（II）因为（III）（III）... 由（I）可得，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m方法二：如图所示，建立空间直角坐标系，点为坐标原点。设依题意得（I）w.w.w.k.s.5.u.c.o.m所以异面直线与所成的角的大小为.（II），w.w.w.k.s.5.u.c.o.m（III）w又由题设，平面的一个法向量为11.（2009全国Ⅰ）如图，四棱锥中，底面为矩形，底面，，点M在侧棱上，=60°... （I）证明：M在侧棱的中点（II）求二面角的大小。【解析】（I）方法一：作∥交于N，作交于E，连ME、NB，则面，,设，则,在中，。在中由解得，从而M为侧棱的中点M.12.（2009福建高考）如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，，，且MD=NB=1，E为BC的中点（1）求异面直线NE与AM所成角的余弦值（2）在线段AN上是否存在点S，使得ES平面AMN？若存在，求线段AS的长；若不存在，请说明理由.【解析】（1）在如图，以D为坐标原点，建立空间直角坐标系依题意，得。，所以异面直线与所成角的余弦值为.（2）假设在线段上存在点，使得平面.,可设又.由平面，... 得即故，此时.经检验，当时，平面.故线段上存在点，使得平面，此时.2008年考题ABCDA1B1C1D11、（2008福建高考）如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2,AA1=1,则BC1与平面BB1D1D所成角的余弦值为（）A.B.C.D.ABCDA1B1C1D1O【解析】选D.连与交于O点,再连BO,则为BC1与平面BB1D1D所成的角.，，.ABCDA1B1C1D12、（2008福建高考）如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则AC1与平面A1B1C1D1所成角的正弦值为（）A．   B．   C．   D．【解析】选D.连,则为AC1与平面A1B1C1D1所成角ABCDA1B1C1D1，又ABCDP3、（2008海南、宁夏高考）如图，已知点P在正方体的对角线上，．... （Ⅰ）求DP与所成角的大小；（Ⅱ）求DP与平面所成角的大小．【解析】如图，以为原点，为单位长建立空间直角坐标系．ABCDPxyzH则，．连结，．在平面中，延长交于．设，由已知，由可得．解得，所以．（Ⅰ）因为，所以．即与所成的角为．（Ⅱ）平面的一个法向量是．因为，所以．可得与平面所成的角为．FCPGEABD4、（2008广东高考）如图所示，四棱锥的底面是半径为的圆的内接四边形，其中是圆的直径，，，垂直底面，，分别是上的点，且，过点作的平行线交于．（1）求与平面所成角的正弦值；（2）证明：是直角三角形；（3）当时，求的面积．【解析】（1）在中，，... 而PD垂直底面ABCD，,在中，,即为以为直角的直角三角形。设点到面的距离为,由有,即，∴;(2),而,即,，,是直角三角形；（3）时,,即,的面积5、（2008浙江高考）如图,矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，，，（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）当的长为何值时,二面角的大小为.【解析】（Ⅰ）过点作交于，连结，可得四边形为矩形，又为矩形，所以，从而四边形为平行四边形，故．因为平面，平面，所以平面．（Ⅱ）过点作交的延长线于，连结．由平面平面，，得平面，从而．所以为二面角的平面角．DABEFCHG在中，因为，，... 所以，．又因为，所以，从而．于是．因为，所以当为时，二面角的大小为．6、（2008陕西高考）三棱锥被平行于底面的平面所截得的几何体如图所示，截面为，，平面，，，，，．A1AC1B1BDC（Ⅰ）证明：平面平面；（Ⅱ）求二面角的大小．【解析】（Ⅰ）平面平面，．在中，，，，又，，，即．A1AC1B1BDCFE（）又，平面，平面，平面平面．（Ⅱ）如图，作交于点，连接，由已知得平面．是在面内的射影．由三垂线定理知，为二面角的平面角．过作交于点，则，，．在中，．... 在中，．，即二面角大小为．ABCDEA1B1C1D17、（2008全国Ⅱ）如图，正四棱柱中，，点在上且．（Ⅰ）证明：平面；（Ⅱ）求二面角的大小．【解析】依题设，，．（Ⅰ）连结交于点，则．由三垂线定理知．ABCDEA1B1C1D1FHG在平面内，连结交于点，由于，故，∴，∴与互余．于是．与平面内两条相交直线都垂直，所以平面．（Ⅱ）作，垂足为，连结．由三垂线定理知，故是二面角的平面角．∵，又，．∴，．又，．... ．所以二面角的大小为．2007年考题1．（2007全国Ⅰ）如图，正棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【解析】选D。如图，连接BC1，A1C1，∠A1BC1是异面直线与所成的角，设AB=a，AA1=2a，∴A1B=C1B=a，A1C1=a，∴∠A1BC1的余弦值为.2.（2007全国Ⅱ）已知正三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱长与底面边长相等，则AB1与侧面ACC1A1与AB1所成角的正弦值等于（）(A)(B)(C)(D)【解析】选A。已知正三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱长与底面边长相等，取A1C1的中点D1，连接B1D，AD1，则∠B1AD1是AB1与侧面ACC1A1所成的角，.3.（2007全国Ⅱ）已知三棱锥是侧棱长的底面边长的2倍，则侧棱与底面所成角的余弦值等于（）A．B．C．D．【解析】选A。已知三棱锥的侧棱长是底面边长的2倍，设底面边长为1，侧棱长为2，连接顶点与底面中心，则侧棱在底面上的射影长为，所以侧棱与底面所成角的余弦值等于.4.（2007福建高考）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G、H分别为AA1、AB、BB1、B1C1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于（）A.45°B.60°C.90°D.120°... 【解析】选B.连A1B、BC1、A1C1，则A1B=BC1=A1C1，且EF∥A1B、GH∥BC1，所以异面直线EF与GH所成的角等于60°.5.（2007四川高考）如图，为正方体，下面结论错误的是（  ）（A）平面（B）（C）平面（D）异面直线与所成的角为【解析】选D．显然异面直线与所成的角为。6.（2007浙江高考）已知点在二面角的棱上，点在内，且．若对于内异于的任意一点，都有，则二面角的大小是．【解析】设直线OP与平面所成的角为,由最小角原理及恒成立知,只有作于H,则面,故为.答案：7.(2007浙江高考)已知点O在二面角α－AB－β的棱上，点P在α内，且∠POB＝45°．若对于β内异于O的任意一点Q，都有∠POQ≥45°，则二面角α－AB－β的取值范围是_________．【解析】若二面角α－AB－β的大小为锐角，则过点P向平面作垂线,设垂足为H.过H作AB的垂线交于C,连PC、CH、OH，则就是所求二面角的平面角.根据题意得，由于对于β内异于O的任意一点Q，都有∠POQ≥45°，∴，设PO=，则又∵∠POB＝45°，∴OC=PC=，∵PC≤PH而在中应有PC>PH,∴显然矛盾，故二面角α－AB－β的大小不可能为锐角。即二面角的范围是。... 若二面角α－AB－β的大小为直角或钝角，则由于∠POB＝45°，结合图形容易判断对于β内异于O的任意一点Q，都有∠POQ≥45°。即二面角的范围是。答案：8.（2007海南、宁夏高考）如图，在三棱锥中，侧面与侧面均为等边三角形，，为中点．（Ⅰ）证明：平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值．【解析】（Ⅰ）证明：由题设，连结，为等腰直角三角形，所以，且，又为等腰三角形，故，且，从而．所以为直角三角形，．又．所以平面．（Ⅱ）解法一：取中点，连结，由（Ⅰ）知，得．为二面角的平面角．由得平面．所以，又，故．所以二面角的余弦值为．解法二：以为坐标原点，射线分别为轴、轴,轴的正半轴，建立如图的空间直角坐标系... ．设，则．的中点，．．故等于二面角的平面角．，所以二面角的余弦值为．9．（2007全国Ⅰ）四棱锥S－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC⊥底面ABCD。已知∠ABC＝45°，AB＝2，BC=2，SA＝SB＝。(Ⅰ)证明：SA⊥BC；(Ⅱ)求直线SD与平面SAB所成角的大小；【解析】解法一：（Ⅰ）作，垂足为，连结，由侧面底面，得底面．因为，所以，又，故为等腰直角三角形，，DBCAS由三垂线定理，得．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，依题设，故，由，，，得，．的面积．连结，得的面积... 设到平面的距离为，由于，得，解得．设与平面所成角为，则．所以，直线与平面所成的我为．解法二：（Ⅰ）作，垂足为，连结，由侧面底面，得平面．因为，所以．又，为等腰直角三角形，．DBCAS如图，以为坐标原点，为轴正向，OB为y轴正向，OS为z轴正向，建立直角坐标系，，，，，，，，所以．（Ⅱ）取中点，，连结，取中点，连结，．，，．，，与平面内两条相交直线，垂直．所以平面，与的夹角记为，与平面所成的角记为，则与互余．，．，，... 所以，直线与平面所成的角为．10.（2007全国Ⅱ）如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱SD⊥底面ABCD，E、F分别是AB、SC的中点。ABCDSEF(Ⅰ)求证：EF∥平面SAD；(Ⅱ)设SD=2CD，求二面角A－EF－D的大小；【解析】解法一：（1）作交于点，则为的中点．连结，又，故为平行四边形．，又平面平面．所以平面．（2）不妨设，则为等腰直角三角形．取中点，连结，则．又平面，所以，而，AAEBCFSDGMyzx所以面．取中点，连结，则．连结，则．... 故为二面角的平面角．所以二面角的大小为．解法二：（1）如图，建立空间直角坐标系．设，则，．取的中点，则．平面平面，所以平面．（2）不妨设，则．中点又，，所以向量和的夹角等于二面角的平面角．．所以二面角的大小为．11.（2007北京高考）如图，在中，，斜边．可以通过以直线为轴旋转得到，且二面角是直二面角．动点在斜边上．（I）求证：平面平面；（II）当为的中点时，求异面直线与所成角的大小；... （III）求与平面所成角的最大值．【解析】解法一：（I）由题意，，，是二面角的平面角，又二面角是直二面角，，又，平面，又平面．平面平面．（II）作，垂足为，连结（如图），则，是异面直线与所成的角．在中，，，．又．在中，．异面直线与所成角的大小为．（III）由（I）知，平面，是与平面所成的角，且．当最小时，最大，这时，，垂足为，，，与平面所成角的最大值为．解法二：（I）同解法一．（II）建立空间直角坐标系，如图，则... ，，，，，，．异面直线与所成角的大小为．（III）同解法一单纯的课本内容，并不能满足学生的需要，通过补充，达到内容的完善教育之通病是教用脑的人不用手，不教用手的人用脑，所以一无所能。教育革命的对策是手脑联盟，结果是手与脑的力量都可以大到不可思议。单纯的课本内容，并不能满足学生的需要，通过补充，达到内容的完善教育之通病是教用脑的人不用手，不教用手的人用脑，所以一无所能。教育革命的对策是手脑联盟，结果是手与脑的力量都可以大到不可思议。...