《平面与平面之间的位置关系》

第二章点、直线、平面之间的位置关系 2.1空间点、直线、平面之间的位置关系 2.1.3空间中直线与平面之间的位置关系2．1.4平面与平面之间的位置关系 1．了解直线与平面之间的三种位置关系．2．了解平面与平面之间的两种位置关系．3．会用符号语言和图形语言表示直线和平面、平面和平面的位置关系．(对应学生用书29页) (对应学生用书29页) 观察图中的吊桥，说出立柱和桥面、水面的位置关系，铁轨和桥面、水面的位置关系，两根立柱确定的平面和水面的位置关系． 1．空间中直线与平面的位置关系(对应学生用书29页) 直线与平面的位置关系公共点个数图形语言符号语言直线在平面内直线与平面相交直线与平面平行有无数个公共点有且只有一个公共点a⊂αa∩α＝A没有公共点a∥α 2.平面与平面的位置关系位置关系图示符号语言公共直线条数两平面平行两平面相交有公共直线α∥β无α∩β＝a一条 探究1：“直线在平面外”是指直线与平面平行吗？提示：直线与平面的位置关系也可认为分成两种：直线在平面内和直线在平面外，直线在平面外包括直线与平面平行和直线与平面相交．(对应学生用书29页) 探究2：若有两平面α，β且α∥β，直线a⊂α，直线b⊂β，是否一定有a∥b呢？提示：不一定，a与b可能平行，也可能异面． 探究3：直线a与平面α平行，直线b⊂α，则a与b有怎样的位置关系？提示：直线a与平面α平行，则直线a和平面α内的任何一条直线都不相交，故a与b可能平行，也可能异面. (对应学生用书30页) 直线和平面 直线和平面 例1下列命题中，正确的个数是()①如果两条平行直线中的一条和一个平面相交，那么另一条直线也和这个平面相交；②一条直线和另一条直线平行，它就和经过另一条直线的任何平面都平行；③经过两条异面直线中的一条直线，有一个平面与另一条直线平行；④两条相交直线，其中一条与一个平面平行，则另一条一定与这个平面平行． A．0B．1C．2D．3【分析】本题主要考查直线与平面的位置关系，解答本题要牢牢地抓住直线和平面三种位置关系的特征，结合相关图形，依据位置关系的定义作出判断． 【解析】①正确，②错误．如图1所示l1∥m，l1∥β，而l2∥m，l2⊂β. ③正确．如图2所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中， 直线A1C1与直线BD异面，A1C1⊂平面A1B1C1D1，且BD∥平面A1B1C1D1，故③正确．④错误，直线还可能与平面相交，由此可知，①③正确，故选C.【答案】C 【规律方法】解答此类问题，首先要正确理解直线与平面的三种位置关系的定义：(1)在直线和平面的三种位置关系中，否定其中一种，其反面是另外两种位置关系；(2)直线和平面相交的定义中，“有且只有”包含两层含义：一是“有”表示存在；二是“只有”表示惟一． 变式1(2010年四川模拟)对于不重合的两个平面α与β，给定下列条件：①存在平面γ，使得α、β都平行于平面γ；②α内有不共线的三点到平面β的距离相等；③存在异面直线l、m，使得l∥α，l∥β，m∥α，m∥β. 其中可以判断两个平面α与β平行的条件有________． 解析：若α与β相交，如图，可在α内找到A、B、C三个点到平面β的距离相等，所以排除②.容易证明①③都是正确的．答案：①③ 要点二平面与平面的位置关系空间中的两个平面有且只有两种位置关系：两平面平行和两平面相交．1．画两个平行平面时，要注意把表示平面的平等四边形画成对应边平行，如图． 2．画两个相交平面时，要注意画出交线，被遮挡住的部分用虚线或者不画． 例2α、β是两个不重合的平面，下面说法中正确的是()A．平面α内有两条直线a、b都与平面β平行，那么α∥βB．平面α内有无数条直线平行于平面β，那么α∥βC．若直线a与平面α和平面β都成相等的角，那么α∥β D．平面α内所有的直线都与平面β平行，那么α∥β【分析】解答本题要牢牢抓住平面平行的概念，即分析两平面是否可能有公共点，借助于图形更可事半功倍． 【解析】根据两平面相交和平行的定义，结合图形判断如下图所示．A、B都不能保证α、β无公共点，如图1；C中当a∥α，a∥β且α与β相交时，a与α、β也成等角，但α与β不平行，如图2；所在只有D说明α、β一定无公共点． 【答案】D【规律方法】判断两平面的位置关系，通常是结合条件，综合考虑各种因素并借助图形，同时要区别无数与任意的不同． 变式2已知平面α∥平面β，l⊂α，则()A．l⊂βB．l∥βC．l，β相交D．以上均有可能解析：如图所示． 由于平面α∥平面β，所以平面α，β无公共点，又l⊂α，所以l，β无公共点．所以l∥β.答案：B 要点三线线、线面、面面位置关系综合研究要判断线线、线面、面面位置关系时，除清楚定义外，还要利用好身边的模型，尤其是“长方形”这个模型。 例3已知a、b、c为三条不重合的直线，α、β为两个不重合的平面．①a∥c，b∥c⇒a∥b；②a∥β，b∥β⇒a∥b；③a∥c，c∥α⇒a∥α；④a∥β，a∥α⇒α∥β；⑤a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α. 其中正确的命题是()A．①⑤B．①②C．②④D．③⑤【分析】本题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系．解答本题要考虑线线、线面、面面位置关系的特征与定义，结合空间想象能力作出判断． 【解析】由公理4知①正确；由直线与平面平行的位置关系知⑤正确．从而选A.其中②是错误的，因为平行于同一平面的两条直线可能平行、可能相交，也可能异面．③是错误的，因为当a∥c，c∥α时，可能a∥α，也可能a⊂α.对于④，α，β可能平行，也可能相交．【答案】A 【规律方法】判断线线、线面、面面的位置关系，要牢牢地抓住其特征与定义，要有画图的意识，结合空间想象能力全方位、多角度地去考虑问题，作出判断． 变式3给出下列几个命题：①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③过平面外一点有且只有一条直线与该平面平行；④过平面外一点有且只有一个平面与该平面平行． 其中正确命题的个数为()A．0B．1C．2D．3解析：①当点在已知直线上时，不存在过该点的直线与该直线平行，故①错；②由于垂直包括相交垂直和异面垂直，因而过一点与一条已知直线垂直的直线有无数条，故②错； ③过平面外一点与已知平面平行的直线有无数条，故③错；④过平面外一点与已知平面平行的平面有且只有一个，故④对．答案：B 典例下列命题：①直线l与平面α内的无数条直线平行，则l∥α；②若直线a在平面α外，则a∥α；③若直线a∥b，直线b⊂α，则a∥α；④若直线a∥b，b⊂α，那么直线a就平行于平面α内的无数条直线．其中真命题的个数为()A．1B．2C．3D．4(对应学生用书31页) 【错解】C【错因分析】思维不严密、对线线、线面平行概念掌握不准确导致错误． 【正解】对于①，直线l虽与平面α内的无数条直线平行，但l有可能在平面α内，∴l不一定平行于α，∴①是假命题．对于②，∵直线a在平面α外，包括两种情况：a∥α和a与α相交，∴a和α不一定平行，∴②是假命题． 对于③，∵直线a∥b，b⊂α，则只能说明a和b无公共点，但a可能在平面α内，∴a不一定平行于α，∴③是假命题．对于④，∵a∥b，b⊂a，那么a⊂α或a∥α，∴a与平面α内的无数条直线平行，∴④是真命题．综上，真命题的个数为1.答案为A. 易错补练α、β是两个不重合的平面，在下列条件中，可判定α∥β的是()A．α、β都平行于直线l、mB．α内有三个不共线的点到β的距离相等C．l、m是α内的两条直线，且l∥β、m∥βD．l、m是两条异面直线，且l∥α、m∥α、l∥β、m∥β 解析：当A中直线l∥m时，α、β可能相交；B中α、β可能平行，可能相交；当C中直线l∥m时，α、β可能相交；故D正确．答案：D 1．直线和平面的位置关系(1)在直线和平面的位置关系中，直线和平面平行，直线和平面相交，统称直线在平面外，我们统一用记号a⊄α来表示a∥α、a∩α＝A这两种情形．(对应学生用书31页) (2)直线与平面位置关系的图形语言表述：一般地，直线a在平面α内，应把直线a画在表示平面α的平行四边形内；直线a与平面α平行时，表示直线的线段应画成与表示平面的平行四边形的一条边平行．(3)直线与平面位置关系的符号语言表述：直线a在平面α内，记作a⊂α；直线a与平面α相交于A，记作a∩α＝A；直线a与平面α平行，记作a∥α. 2．两个平面的位置关系(1)两个平面的位置关系：两个平面的位置关系同平面内两条直线的位置关系相类似，可以从有无公共点来区分．如果两个平面有一个公共点，那么由公理3可知：这两个平面相交于过这个点的一条直线；如果两个平面没有公共点，那么就说这两个平面相互平行． (2)两个平行平面的画法：两个平行平面的画法：画两个平行平面时，要注意把表示平面的平行四边形画成对应边平行，如图①，而图②的画法是不恰当的． 1．过平面外一点，可作这个平面的平行线条数为()A．1条B．2条C．无数条D．不确定(对应学生用书31页) 解析：过平面外一点，可作这个平面的平行平面，该平面内过该点的所有直线都与这个平面平行．答案：C 2．若a∩α＝A，则直线a与平面α内的直线的可能关系是()A．相交B．相交或异面C．异面与平行D．相交或平行解析：a与α内的直线相交或异面．答案：B 3．如果直线a∥b，且a∥平面α，则b与α的位置关系是()A．相交B．b∥αC．b⊂αD．b∥α或b⊂α解析：b在α内或b与α平行．答案：D 4．下列四个命题：①两条直线和同一平面平行，则这两条直线平行；②两条直线没有公共点，则这两条直线平行；③两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行． ④一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线和这个平面平行．其中正确命题的个数是()A．3个B．2个C．1个D．0个 解析：两直线平行于同一个平面，可以平行、相交或异面，①错；两条直线没有公共点，可以平行，或者异面，②错；两条直线都和第三条直线垂直，可以平行，也可以相交，还可能异面，③错；一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，这条直线可以在这个平面内，可以和这个平面相交，也可以和此平面平行，④错．故选D.答案：D 5．在如图正方体中，与平面AA1C1C平行的棱有________，与棱BB1平行的面有________．答案：BB1和DD1面AD1和面DC1 课时作业(九)