2.1.4平面与平面之间的位置关系 (2)

2.1.4平面与平面之间的位置关系一、选择题(每题5分，共30分)1.平面α与平面β平行的条件可以是(  )A.α内有无穷多条直线与β平行B.直线a∥α，a∥βC.直线a⊂α，直线b⊂β，且a∥β，b∥αD.α内的任何直线都与β平行2.a是平面α外的一条直线，过a作平面β，使β∥α，这样的平面β(  )A.只能作一个B.不存在C.至多可以作一个D.至少可以作一个3.已知直线a⊂α，给出以下三个命题：①若平面α∥平面β，则直线a∥平面β；②若直线a∥平面β，则平面α∥平面β；③若直线a不平行于平面β，则平面α不平行于平面β.其中正确的命题是(  )A.②B.③C.①②D.①③4.若平面α∥平面β，则(  )A.平面α内任一条直线与平面β平行B.平面α内任一条直线与平面β内任一条直线平行C.平面α内存在一条直线与平面β不平行D.平面α内一条直线与平面β内一条直线有可能相交5.已知α，β是两个不同的平面，且直线m，n满足m∥α，n⊥β，则以下结论成立的是(  ) A.若α⊥β，则m⊥nB.若m⊥n，则α⊥βC.若α⊥β，则m∥nD.若m∥n，则α⊥β6.设m，n是不同的直线，α，β是不同的平面，下列命题正确的是(  )A.若m∥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥βB.若m∥α，n⊥β，m⊥n，则α∥βC.若m∥α，n⊥β，m∥n，则α⊥βD.若m∥α，n⊥β，m∥n，则α∥β二、填空题(每题5分，共20分)7.有下列四个命题：①平行于同一直线的两个平面平行；②平行于同一平面的两个平面平行；③垂直于同一直线的两个平面平行；④与同一条直线成等角的两平面平行．其中正确命题的序号是________．8.已知直线a，b与平面α，β，γ，能使α⊥β的条件是________(填序号)．①α⊥γ，β⊥γ；②α∩β＝a，b⊥a，b⊂β；③a∥β，a∥α；④a∥α，a⊥β.9.与空间不共面的4个点等距离的平面有________个．10.已知平面α∥β，P是α，β外一点，过P引直线a分别交α，β于M，E两点，再过P引直线b分别交α，β于N，F两点，若PM＝6，ME＝9，PN＝8，则PF＝_______________________________.三、解答题(第11、12题每题16分，第13题18分)11.如图，四棱锥P－ABCD的底面为矩形，且AB＝BC，E，F分别为棱AB，PC的中点．(1)求证：EF∥平面PAD；(2)若点P在平面ABCD内的正投影O在直线AC上，求证：平面PAC⊥ 平面PDE.12.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1.求证：(1)直线DE∥平面A1C1F；(2)平面B1DE⊥平面A1C1F.13.如图，已知平面PAC⊥平面ABC，AC⊥BC，PE∥CB，M是AE的中点．(1)若N是PA的中点，求证：平面CMN⊥平面PAC；(2)若MN∥平面ABC，求证：N是PA的中点．【参考答案】1.D 解析：α内有无穷多条直线与β平行，并不能保证α内有两条相交直线与β平行，这无穷多条直线可以是一组平行线，故A错误； 直线a∥α，a∥β，直线a可以是平行平面α与平面β的相交直线，故不能保证平面α与平面β平行，故B不正确；直线a⊂α，直线b⊂β，且a∥β，b∥a，当直线a∥b时，同样不能保证平面α与平面β平行，故C不正确；α内的任何直线都与β平行，则α内至少有两条相交直线与β平行，所以平面α与平面β平行，故D正确．2.C 解析：当a∥α时，过a作平面β，使得β∥α，由平面与平面平行的性质得：这样的平面β有且只有1个．a与α相交时，设平面为β，a与α交点为P，根据题意P∈β，P∈α，则α∩β＝l且P∈l，这与α∥β矛盾，所以这样的β不存在．综上所述，过平面α外一条直线a与α平行的平面的个数至多为1.3.D 解析：已知直线a⊂α，①若平面α∥平面β，则直线a∥平面β，正确；②若直线a∥平面β，则平面α∥平面β，错误；③若直线a不平行于平面β，则平面α不平行于平面β，正确．4.A 解析：由平面α∥平面β，知平面α内任意一条直线与平面β均没有交点，故A正确．5.D 解析：选项A中，m，n可能平行，选项B中，α，β可能平行，选项C中，m，n可能相交，故选D.6.C 解析：C正确，下面给出证明．证明：如图所示： 因为m∥n，所以m，n确定一个平面γ，交平面α于直线l.因为m∥α，所以m∥l，所以l∥n.因为n⊥β，所以l⊥β.因为l⊂α，所以α⊥β.7.②③ 8.④ 9.7 10.20或411.证明：(1)取CD的中点M，连接EM，FM，则EM∥AD，FM∥PD.因为AD⊂平面PAD，EM⊄平面PAD，所以EM∥平面PAD.同理，FM∥平面PAD.又因为EM，FM⊂平面EFM，且EM∩FM＝M，所以平面EFM∥平面PAD，因为EF⊂平面EFM，所以EF∥平面PAD.(2)在矩形ABCD中，tan∠CAB＝＝，tan∠AED＝＝，所以∠CAB＋∠AED＝90°，所以AC⊥DE.又因为PO⊥平面ABCD，DE⊂平面ABCD，所以PO⊥DE.因为PO，AC⊂平面PAC，且PO∩AC＝O，所以DE⊥平面PAC.因为DE⊂平面PDE，所以平面PAC⊥平面PDE.12.证明：(1)因为D，E分别为AB，BC的中点，所以DE为△ABC 的中位线，所以DE∥AC.又因为ABC－A1B1C1为棱柱，所以AC∥A1C1.所以DE∥A1C1.又因为A1C1⊂平面A1C1F，且DE⊄A1C1F，所以DE∥平面A1C1F.(2)因为ABC－A1B1C1为直棱柱，所以AA1⊥平面A1B1C1.所以AA1⊥A1C1.又因为A1C1⊥A1B1，且AA1∩A1B1＝A1，AA1，A1B1⊂平面AA1B1B，所以A1C1⊥平面AA1B1B.又因为DE∥A1C1，所以DE⊥平面AA1B1B.又因为A1F⊂平面AA1B1B，所以DE⊥A1F.又因为A1F⊥B1D，DE∩B1D＝D，且DE，B1D⊂平面B1DE，所以A1F⊥平面B1DE.又因为A1F⊂A1C1F，所以平面B1DE⊥平面A1C1F.13.证明：(1)因为平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，AC⊥BC，BC⊂平面ABC，所以BC⊥平面PAC.因为M，N分别为AE，AP的中点，所以MN∥PE，又因为PE∥BC，所以MN∥BC.即MN⊥平面PAC，又MN⊂平面CMN，所以平面CMN⊥平面PAC.(2)因为PE∥CB，BC⊂平面ABC，PE⊄平面ABC，所以PE∥平面ABC.设平面PAE与平面ABC的交线为l，则PE∥l.又MN∥平面ABC，MN⊂平面PAE，所以MN∥l，所以MN∥PE.因为M是AE的中点，所以N为PA的中点．