（教育精品）2.1.4平面与平面之间的位置关系

2.1.4 平面与平面之间的位置关系一、选择题1．直线在平面外是指(  )A．直线与平面没有公共点B．直线与平面相交C．直线与平面平行D．直线与平面最多只有一个公共点考点 空间中直线与平面之间的位置关系题点 空间中直线与平面之间的位置关系的应用答案 D解析 直线与平面的位置关系为：平行、相交、在平面内，其中平行和相交通称为直线在平面外，所以直线与平面最多只有一个公共点．2．三棱台的一条侧棱所在直线与其对面所在的平面之间的关系是(  )A．相交B．平行C．直线在平面内D．平行或直线在平面内考点 空间中直线与平面之间的位置关系题点 空间中直线与平面之间的位置关系的判定答案 A解析 延长各侧棱可恢复成棱锥的形状，所以三棱台的一条侧棱所在直线与其对面所在的平面相交．3．下列说法正确的是(  )A．如果一条直线与一个平面内的无数条直线平行，则这条直线与这个平面平行B．两个平面相交于唯一的公共点C．如果一条直线与一个平面有两个不同的公共点，则它们必有无数个公共点D．平面外的一条直线必与该平面内无数条直线平行考点 线、面关系的综合问题题点 线、面关系的其他综合问题答案 C解析 在A中，如果一条直线与一个平面内的无数条直线平行，则这条直线与这个平面平行或这条直线在这个平面内，故A错误；在B中，两个平面相交于一条直线，故B错误；在C中，如果一条直线与一个平面有两个不同的公共点，则这条直线在平面内，它们必有无数个公共点，故C正确；在D 中，当平面外的一条直线与平面相交时，则平面外的这条直线必与该平面内的直线不平行，故D错误．故选C.4．若平面α∥平面β，l⊂α，则l与β的位置关系是(  )A．l与β相交B．l与β平行C．l在β内D．无法判定考点 空间中直线与直线的位置关系题点 空间中直线与直线的位置关系判定答案 B解析 ∵α∥β，∴α与β无公共点．∵l⊂α，∴l与β无公共点，∴l∥β.5．若平面α与β的公共点多于两个，则(  )A．α，β可能只有三个公共点B．α，β可能有无数个公共点，但这无数个公共点不在一条直线上C．α，β一定有无数个公共点D．以上均不正确考点 平面与平面之间的位置关系题点 平面与平面之间的位置关系判定答案 C解析 若平面α与β的公共点多于两个，则平面α与β相交或重合，故选C.6．若直线a⊥b，且直线a∥平面α，则直线b与平面α的位置关系是(  )A．b⊂αB．b∥αC．b⊂α或b∥αD．b与α相交或b⊂α或b∥α考点 空间中直线与平面之间的位置关系题点 空间中直线与平面之间的位置关系的判定答案 D解析 通过观察正方体，可知b与α相交或b⊂α或b∥α.故选D.7．下列命题中，正确的有(  )①平行于同一直线的两条直线平行；②平行于同一个平面的两条直线平行；③平行于同一条直线的两个平面平行；④平行于同一个平面的两个平面平行．A．1个B．2个C．3个D．4个考点 线、面关系的其他综合问题题点 线面关系的其他综合问题答案 B解析 ②中，也有可能是相交或异面，故②错误；③中，存在平行于两个相交平面的交线，且不在两个平面内的直线，故③错误． 8．下列说法中正确的个数是(  )①平面α与平面β，γ都相交，则这三个平面有2条或3条交线；②两个平面平行，各任取两平面的一条直线，它们不相交；③直线a不平行于平面α，则a不平行于α内任何一条直线；④如果α∥β，a∥α，那么a∥β.A．0B．1C．2D．3考点 线、面关系的综合问题题点 线、面关系的其他综合问题答案 B解析 ①错误，平面α与平面β，γ都相交，则这三个平面有可能有2条或3条交线，还有可能只有1条交线．②正确，两平行平面无公共点，任取的直线也无公共点，即不相交．③错误，直线a不平行于平面α，则a有可能在平面α内，此时可以与平面内无数条直线平行．④错误，如果α∥β，a∥α，那么a∥β或a⊂β.二、填空题9．已知下列说法：①若两个平面α∥β，a⊂α，b⊂β，则a∥b；②若两个平面α∥β，a⊂α，b⊂β，则a与b是异面直线；③若两个平面α∥β，a⊂α，b⊂β，则a与b平行或异面；④若两个平面α∩β＝b，a⊂α，则a与β一定相交．其中正确的序号是____________．考点 线、面关系的综合问题题点 线、面关系的其他综合问题答案 ③解析 ①错，a与b也可能异面；②错，a与b也可能平行；③对，∵α∥β，∴α与β无公共点，又∵a⊂α，b⊂β，∴a与b无公共点，那么a∥b或a与b异面；④错，a与β也可能平行．10．若点A∈α，B∉α，C∉α，则平面ABC与平面α的位置关系是________．考点 平面与平面之间的位置关系题点 平面与平面之间的位置关系判定答案 相交解析 ∵点A∈α，B∉α，C∉α，∴平面ABC与平面α有公共点，且不重合，∴平面ABC与平面α的位置关系是相交．11．下列说法中正确的是________．(填序号)①若直线a不在平面α内，则a∥α；②若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α； ③若直线l与平面α平行，则l与α内任何一条直线都没有公共点；④平行于同一平面的两条直线可以相交．考点 空间中直线与平面之间的位置关系题点 空间中直线与平面之间的位置关系的判定答案 ③④解析 当a∩α＝A时，a⊄α，故①错；当直线l与α相交时，l上有无数个点不在α内，故②错；若l∥α，则l与α无公共点，则l与α内任何一条直线都无公共点，故③正确；在长方体ABCD－A1B1C1D1中，A1C1与B1D1相交，且都与平面ABCD平行，故④正确．故答案为③④.12．互不重合的三个平面最多可以把空间分成________个部分．考点 线、面关系的综合问题题点 线、面关系的其他综合问题答案 8解析 互不重合的三个平面将空间分成五种情形：当三个平面互相平行时，将空间分成四部分；当两个平面平行，第三个平面与它们相交时，将空间分成六部分；当三个平面相交于同一条直线时，将空间分成六部分；当三个平面相交于三条直线时，且三条交线交于同一点时，将空间分成八个部分；当三个平面相交于三条直线，且三条交线互相平行时，将空间分成七部分．即不重合的三个平面可以将空间分成四部分或六部分或七部分或八部分．所以最多将空间分成8部分．三、解答题13.如图，已知平面α和β相交于直线l，点A∈α，点B∈α，点C∈β，且A∉l，B∉l，直线AB与l不平行，那么平面ABC与平面β的交线与l有什么关系？证明你的结论．考点 线、面关系的综合问题题点 线、面关系的其他综合问题解 平面ABC与平面β的交线与l相交．证明如下：∵AB与l不平行，且AB⊂α，l⊂α，∴AB与l是相交直线．设AB∩l＝P，则点P∈AB，点P∈l.又∵AB⊂平面ABC，l⊂β，∴P∈平面ABC且P∈平面β，即点P是平面ABC与平面β的一个公共点，而点C也是平面ABC与平面β的一个公共点，又∵P，C不重合，∴直线PC就是平面ABC与平面β的交线，即平面ABC∩平面β＝直线PC，而直线PC∩l＝P， ∴平面ABC与平面β的交线与l相交．四、探究与拓展14．若a，b是两条异面直线，且a∥平面α，则b与α的位置关系是________．考点 空间中直线与平面之间的位置关系题点 空间中直线与平面之间的位置关系的判定答案 b⊂α，b∥α或b与α相交解析 b与α有如下情况：15．如图所示，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是AA1，D1C1的中点，过D，M，N三点的平面与正方体的下底面相交于直线l.(1)画出l的位置；(2)设l∩A1B1＝P，求PB1的长．考点 线、面关系的综合问题题点 线、面关系的其他综合问题解 (1)如图所示，连接DM并延长交D1A1的延长线于点Q，连接QN，直线QN即为直线l.(2)QN∩A1B1＝P，由已知得△MA1Q≌△MAD，∴A1Q＝AD＝a＝A1D1，∴A1是QD1的中点．又A1P∥D1N，∴A1P＝D1N＝C1D1＝a， ∴PB1＝A1B1－A1P＝a－a＝a.