高中数学人教A版必修2 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.3.2平面与平面垂直的判定 课件

2.3.1平面与平面垂直的判定2010～2011学年度高一数学·必修1（人教A版）济宁育才中学高一数学组 朱继哲 1.理解二面角及其平面角的概念,能确认图形中的已知角是否为二面角的平面角.2.掌握二面角的平面角的一般作法，会求简单的二面角的平面角:3.掌握两个平面互相垂直的概念，能用定义和定理判定面面垂直。教学目标 创设情景，揭示课题问题1:平面几何中“角”是怎样定义的？问题2:在立体几何中，“异面直线所成的角”、“直线和平面所成的角”又是怎样定义的？它们有什么共同的特征？问题:在生产实践中，有许多问题要涉及到两个平面相交所成的角的情形，你能举出这个问题的一些例子吗？这样的角有何特点，该如何表示呢？ 研探新知1、二面角的有关概念及其记法与表示观察思考:展示一张纸面，并对折让学生观察其形状，然后引导学生将它与角进行类比，归纳出二面角的概念及记法与表示.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。 棱为AB，面分别为α，β的二面角记作二面角α－AB－β。有时为了方便，也可在α，β内（棱以外的半平面部分）分别取点P，Q，将这个二面角记作二面角P－AB－Q。如果棱记作l，那么这个二面角记作二面角α―l―β或P―l―Q。1、二面角的有关概念及其记法与表示研探新知 2、二面角的度量提出问题:二面角的大小反映了两个平面相交的位置关系，如我们常说“把门开大一些”，是指二面角大一些，那我们应如何度量二面角的大小呢?在二面角α―l―β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角。 ⑴在表示二面角的平面角时，要求“OA⊥l” ，“OB⊥l”；⑵∠AOB的大小与点O在l上位置无关；⑶二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度，平面角是直角时叫直二面角。⑷二面角的平面角的范围是:注意:想一想:怎样求二面角? 方法1:如图，过二面角α-l-β一个面内一点A，作另一个面的垂线，垂足为B，过点B作棱的垂线，垂足为O，连结AO，则∠AOB是二面角的平面角.ABOlαβ垂线法 方法2:如图，平面γ垂直于二面角的棱l，分别与面α、β相交于OA、OB，则∠AOB是二面角的平面角.垂面法βlAOBγα 3、两个平面互相垂直两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。两个平面互相垂直通过画成：直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直。平面α与β垂直，记作：α⊥β。两个平面互相垂直的画法及其表示: 4、两个平面垂直的判定两个平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．αβlO注：这个定理简称“线面垂直，则面面垂直”下面我们来证明这个定理 求证：α⊥β．分析：要证明两个平面互相垂直，只有根据两个平面互相垂直的定义，证明由它们组成的二面角是直二面角，因此必须作出它的一个平面角，并证明这个平面角是直角．如何作平面角呢？根据平面角的定义，可以作BE⊥CD，使∠ABE为二面角α-CD-β的平面角． 求证：α⊥β．证明：设a∩β=CD，则B∈CD．∴AB⊥CD．在平面β内过点B作直线BE⊥CD，则∠ABE是二面角α-CD-β的平面角，又AB⊥BE，即二面角α-CD-β是直二面角．∴α⊥β．αβCDABE 特别注意：两个平面垂直的判定定理，不仅是判定两个平面互相垂直的依据，而且是找出垂直于一个平面的另一个平面的依据．如：建筑工人在砌墙时，常用一端系有铅锤的线来检查所砌的墙面是否和水平面垂直，实际上，就是依据这个原理．另外，这个定理说明要证明面面垂直，实质上是转化为线面垂直来证明． 课堂诊断:1.如果平面α内有一条直线垂直于平面β内的一条直线，则α⊥β.（）2.如果平面α内有一条直线垂直于平面β内的两条直线，则α⊥β.（）3.如果平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条相交直线,则α⊥β.（）4.若m⊥α，m//β，则α⊥β.（）××√√5.二面角指的是（ ）A、从一条直线出发的两个半平面所夹的角度。B、从一条直线出发的两个半平面所组成的图形。C、两个平面相交时，两个平面所夹的锐角。D、过棱上一点和棱垂直的二射线所成的角。B 证明：设⊙O所在平面为α，由已知条件，有PA⊥α，BC在α内，所以，PA⊥BC，因为，点C是不同于A，B的任意一点，AB为⊙O的直径，所以，∠BCA＝90°，即BC⊥CA又因为PA与AC是△PAC所在平面内的两条相交直线，所以，BC⊥平面PAC，又因为BC在平面PBC内，所以，平面PAC⊥平面PBC。例1、如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周一不同于A，B的任意一点.求证：平面PAC⊥平面PBC。ABOCP探究：你还能发现哪些面互相垂直？ 例2、已知直线PA垂直正方形ABCD所在的平面，A为垂足。求证：平面PAC平面PBD。证明：ABDPCO 例3、如图，四棱锥P-ABCD的底面为矩形，PA⊥底面ABCD，PA=AD，M为AB的中点，求证：平面PMC⊥平面PCD.PABCDMEF 例4、在四面体ABCD中，已知AC⊥BD，∠BAC=∠CAD=45°，∠BAD=60°，求证：平面ABC⊥平面ACD.ABCDE 小结1.比较角与二面角之间的关系2.二面角的度量；3.两个平面垂直的判定定理的内容，它与直线与平面垂直的判定定理有何关系？ 作业：P73习题2.3 B组3,4. 附:角与二面角之间的关系角图形构成表示法•O顶点边边AB二面角从平面内一点出发的两条射线所组成的图形.从空间一条直线出发的两个半平面所组成的图形.定义射线点射线半平面棱半平面AOB二面角a或ABa棱面面AB