高中数学人教新课标A版必修2 2.1.3 空间中直线与平面之间的位置关系 课时作业

2.1.3 空间中直线与平面之间的位置关系2.1.4 平面与平面之间的位置关系1.下列命题中正确的个数是( B )①若直线l上有无数个点不在平面α内,则l∥α ②若直线l与平面α平行,则l与平面α内的任意一条直线平行 ③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行,那么另一条也与这个平面平行 ④若直线l与平面α平行,则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点(A)0(B)1(C)2(D)3解析:对于①,当直线l与α相交时,直线l上有无数个点不在平面α内,故①不正确;对于②,直线l与平面α平行时,l与平面α内的直线平行或异面,故②不正确:对于③,当两条平行直线中的一条与一个平面平行时,另一条与这个平面可能平行,也有可能在这个平面内,故③不正确;对于④,由线面平行的定义可知④正确.2.如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F分别为棱AB,CC1的中点,在平面ADD1A1内且与平面D1EF平行的直线( D )(A)不存在(B)有1条(C)有2条(D)有无数条解析:由题设知平面ADD1A1与平面D1EF有公共点D1,由平面的基本性质中的公理知必有过该点的公共直线l,在平面ADD1A1内与l平行的直线有无数条,且它们都不在平面D1EF内,则它们都与平面D1EF平行,故选D.3.已知直线a∥平面α,直线b⊂α,则a与b的位置关系是( D )(A)相交(B)平行(C)异面(D)平行或异面解析:因为直线a∥平面α,直线b⊂α,所以a与b的位置关系是平行或异面,故选D.4.以下说法正确的是( D )(A)若直线a不平行于平面α,则直线a与平面α相交(B)直线a和b是异面直线,若直线c∥a,则c与b一定相交(C)若直线a和b都和平面α平行,则a和b也平行(D)若直线c平行直线a,直线b⊥a,则b⊥c 解析:若直线a不平行于平面α,则直线a与平面α相交,或a⊂α,故A错误;若直线a和b是异面直线,若直线c∥a,则c与b相交或异面,故B错误;若直线a和b都和平面α平行,则a和b可能平行,可能相交,也可能异面,故C错误;若直线c平行直线a,直线b⊥a,则b⊥c,故D正确,故选D.5.梯形ABCD中,AB∥CD,AB⊂平面α,CD⊄平面α,则直线CD与平面α内的直线的位置关系只能是( B )(A)平行(B)平行或异面(C)平行或相交(D)异面或相交解析:如图所示,CD与平面α不能有交点,若有,则一定在直线AB上,从而矛盾.故选B.6.给出以下说法:①三个平面最多可以把空间分成八部分;②若直线a⊂平面α,直线b⊂平面β,则a与b相交⇔α与β相交;③若α∩β=l,直线a⊂平面α,直线b⊂平面β,且a∩b=P,则P∈l;④若n条直线中任意两条共面,则这n条直线共面.其中正确的说法是( D )(A)①②(B)②③(C)③④(D)①③解析:①显然正确;对于②,α与β相交推不出a与b相交,a与b也可能平行,故②错误;③显然正确;对于④,举反例:正方体的四条侧棱中任意两条都共面,但这四条侧棱却不共面,故④错误.所以正确的说法是①③.故选D.7.在空间中,下列命题不正确的是( D )(A)若两个平面有一个公共点,则它们有无数个公共点(B)若已知四个点不共面,则其中任意三点不共线(C)若点A既在平面α内,又在平面β内,则α与β相交于b,且A在直线b上(D)任意两条直线都能确定一个平面解析:若两条直线是异面直线,则不能确定一个平面,D不正确.8.若平面α∥β,直线a⊂α,点B∈β,则在β内过点B的所有直线中( D )(A)不一定存在与a平行的直线(B)只有两条直线与a平行(C)存在无数条直线与a平行(D)存在唯一一条与a平行的直线解析:因为α∥β,B∈β,所以B∉α.因为a⊂α,所以B,a可确定平面γ且γ∩α=a,设γ与β交过点B的直线为b,则a∥b.因为a,B在同一平面γ内.所以b唯一,即存在唯一一条与a平行的直线.9.若a,b是两条异面直线,且a∥平面α,则b与α的位置关系是            . 解析:如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,设平面ABCD为α,A1B1为a,则a∥α,当分别取EF,BC1,BC为b时,均满足a与b异面,于是b∥α,b∩α=B,b⊂α(其中E,F为棱的中点). 答案:b与α平行或相交或b在α内10.如图的直观图,用符号语言表述为(1) , (2)       . 答案:(1)a∩b=P,a∥平面M,b∩平面M=A.(2)平面M∩平面N=l,a∩平面N=A,a∥平面M.11.已知下列说法:①若两个平面α∥β,a⊂α,b⊂β,则a∥b;②若两个平面α∥β,a⊂α,b⊂β,则a与b是异面直线;③若两个平面α∥β,a⊂α,b⊂β,则a与b一定不相交;④若两个平面α∥β,a⊂α,b⊂β,则a与b平行或异面;⑤若两个平面α∩β=b,a⊂α,则a与β一定相交.其中正确的序号是    .(将你认为正确的序号都填上) 解析:①错.a与b也可能异面.②错.a与b也可能平行.③对.因为α∥β,所以α与β无公共点.又因为a⊂α,b⊂β,所以a与b无公共点.④对.由③知a与b无公共点,那么a∥b或a与b异面.⑤错.a与β也可能平行.答案:③④12.已知平面α外不共线的三点A,B,C到α的距离都相等,则正确的结论是   (填序号). ①平面ABC必平行于α;②平面ABC必与α相交;③平面ABC必不垂直于α;④存在△ABC的一条中位线平行于α或在α内.解析:平面α外不共线且到平面α距离都相等的三点可以在平面α的同侧,也可以在平面α的异侧,若A,B,C在平面α的同侧,则平面ABC必平行于平面α;若A,B,C在平面α的异侧,则平面ABC必与平面α相交且交线是△ABC的一条中位线所在的直线,故①②③均错误,④正确.答案:④13.如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F分别为B1C1,A1D1的中点.求证:平面ABB1A1与平面CDFE相交.证明:在正方体ABCDA1B1C1D1中,E为B1C1的中点, 所以EC与B1B不平行,则延长CE与BB1必相交于一点H,所以H∈EC,H∈B1B.又知B1B⊂平面ABB1A1,CE⊂平面CDFE,所以H∈平面ABB1A1,H∈平面CDFE,故平面ABB1A1与平面CDFE相交.14.如图,平面α,β,γ满足α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b,判断a与b,a与β的关系并证明你的结论.解:a∥b,a∥β,理由:由α∩γ=a知a⊂α且a⊂γ,由β∩γ=b知b⊂β且b⊂γ,因为α∥β,a⊂α,b⊂β,所以a,b无公共点.又因为a⊂γ,且b⊂γ,所以a∥b.因为α∥β,所以α与β无公共点,又a⊂α,所以a与β无公共点,所以a∥β.15.将一个三棱柱的各面延展成平面后,这些平面可将空间分成几部分?解:将三棱柱的三个侧面延展成平面后,可将空间分成7部分,然后将三棱柱的两底面延展成平面,那么每一个平面将这7部分一分为二,故共可分成3×7=21部分.16.过直线l外两点作与直线l平行的平面,可以作( D )(A)1个(B)1个或无数个(C)0个或无数个(D)0个、1个或无数个解析:当两点所在的直线与直线l平行时,可以作无数个平面与l平行;当两点所在的直线与l异面时,仅可以作一个平面与直线l平行;当两点所在的直线与直线l相交时,则不能作与直线l平行的平面.故过直线l外两点可以作0个、1个或无数个平面与直线l平行.故选D.17.如图,平面α∩平面β=l,A∈α,B∈α,AB∩l=D,C∈β,C∉l,则平面ABC与平面β的交线是( C )(A)直线AC(B)直线AB(C)直线CD(D)直线BC解析:因为D∈l,l⊂β,所以D∈β. 又C∈β,所以CD⊂β.同理CD⊂平面ABC,所以平面ABC∩平面β=CD,故选C.18.已知平面α和β,在平面α内任取一条直线a,在β内总存在直线b∥a,则α与β的位置关系是    (填“平行”或“相交”). 解析:假设α∩β=l,平面α内与l相交的直线为a,a∩l=A,对于β内的任意直线b,若b过点A,则a与b相交,若b不过点A,则a与b异面,即β内不存在直线b∥a,故α∥β.答案:平行19.已知异面直线a,b外的一点M,那么过点M可以作    个平面与直线a,b都平行. 解析:过点M分别作直线a,b的平行线,若其中一条平行线与已知直线a或b相交,则满足题意的平面不存在.否则过点M的两条相交直线确定的平面与a,b都平行.答案:0或120.如图所示,已知平面α∩β=l,点A∈α,点B∈α,点C∈β,且A∉l,B∉l,C∉l,直线AB与l不平行,那么平面ABC与平面β的交线与l有什么关系?证明你的结论.解:平面ABC与β的交线与l相交.证明:因为AB与l不平行,且AB⊂α,l⊂α,所以AB与l一定相交,设AB∩l=P,则P∈AB,P∈l.又因为AB⊂平面ABC,l⊂β,所以P∈平面ABC,P∈β.所以点P是平面ABC与β的一个公共点,而点C也是平面ABC与β的一个公共点,且P,C是不同的两点,所以直线PC就是平面ABC与β的交线.即平面ABC∩β=PC,而PC∩l=P,所以平面ABC与β的交线与l相交.