平面之间的位置关系习题

点、直线、平面之间的位置关系一、选择题.1.下面说法中正确的是()A.如果两个平面α，β有一条公共直线a，就说平面α，β相交，并记作α∩β=aB.两平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过点A的任意一条直线C.两平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于点A，并记作α∩β=AD.两平面ABC与DBC相交于线段BC2.三个平面最多可以把空间分成()A.4部分B.6部分C.7部分D.8部分3.空间四点A，B，C，D共面，但不共线，则下面结论成立的是()A.四点中必有三点共线B.四点中必有三点不共线C.AB，BC，CD，DA四条直线中总有两条平行D.AB与CD必相交4.a，b是异面直线，以下四个命题：①过a至少有一个平面平行于b；②过a至少有一个平面垂直于b；③至多有一条直线与a，b都垂直；④至少有一个平面分别与a，b都平行.正确命题的个数是()A.0B.1C.2D.35.下列命题：①若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α；②若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线平行；③两条平行线中的一条直线与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行；④若一条直线a和平面α内一条直线b平行，则a∥α.正确的个数是()A．0个B．1个C．2个D．3个6.下列命题中，不正确的是()A.两条平行直线与同一平面所成的角相等B.一条直线与两个平行平面所成的角相等C.一条直线平行于两个平行平面中的一个平面，它也平行于另一个平面D.如果两条直线与同一平面所成的角相等，那么这两条直线不一定平行8 7.下列判断中正确的是()A.若平面α内有两条直线都和平面β平行，则α∥βB.若一条直线l与平面α和β所成的角相等，则α∥βC.若直线l∥平面β，直线mβ，则l∥mD.若平面α∥平面β，直线lα，则l∥β8.一个二面角的两个面分别垂直于另一个二面角的两个面，那么这两个二面角的大小关系是()A.相等B.互补C.相等或互补D.不能确定9.已知三条直线m，n，l，三个平面α，β，γ，下面四个命题中，正确的是()10.正方形ABCD沿对角线AC折成直二面角后，AB与CD所成的角为()A.30°B.45°C.60°D.90°二、填空题.1.若点M在直线a上，直线a在平面α内，则M，a，α之间的关系表示为__________.2.设a，b，c是空间的三条直线，以下四个命题：①若a⊥b，b⊥c，则a∥c；②若a，b是异面直线，b，c是异面直线，则a，c也是异面直线；③若a和b相交，b和c相交，则a和c也相交；④若a和b共面，b和c共面，则a和c也共面.正确的个数是_________.3.如图，AA1∥BB1∥CC1，且AA1，BB1，CC1不共面，则图中各条线段所在的直线中，共有______对异面直线.4.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，点E，F分别是BB1，CC1的中点，则A1D1到截面AEFD的距离是___________.8 5.已知三棱锥P-ABC的三条侧棱PA，PB，PC两两垂直，且三个侧面的面积分别为S1，S2，S3，则这个三棱锥的体积为______________________.6.△ABC所在平面α外有一点P，过点P作PO⊥平面，垂足为O，连接PA，PB，PC.(1)若PA=PB=PC，则点O为△ABC的___________心；(2)若PA⊥PB，PA⊥PC，PC⊥PA，则点O是△ABC的___________心；(3)若点P到三边AB，BC，CA的距离相等，则点O是△ABC的___________心；(4)若PA=PB=PC，∠C=90º，则点O是AB边的___________点；(5)若PA=PB=PC，AB=AC，则点O点在___________线上.三、解答题.F1.如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，点E，F分别是棱AA1，CC1的中点，求证：点D1，E，F，B共面.2.已知平面α∩平面β=a，平面α∩平面=b，平面β∩平面=c，且a∩b=O.求证：a，b，c相交于一点.11113.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P，Q，R分别在棱AB，BB1，CC1上，且DP，QR相交于点O，求证：O，B，C三点共线.8 4.已知四边形ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，点M、N分别是AB，PC的中点.（1）求证：MN∥平面PAD；（2）当MN⊥平面PCD时，求二面角P-CD-B的大小.8 参考答案一、选择题.1.A2.D【解析】23=8(部分).3.B【解析】若任取三点都共线，即有4个点都共线，与题设不符.4.C①对；②不一定，只有a⊥b时成立；③错；④对.5.A①错，相交也行；②错，可以异面；③错，a可以在平面内；④错，a可以在α上.6.C【解析】这条直线可在另一平面内.7.D8.D【解析】若一个二面角的一个半平面恰好过另一二面角的棱，并与其中一个半平面垂直，则此时两二面角的大小既不相等也不互补；若两二面角的棱不互相平行，则其大小关系不能确定.9.D10.C【解析】取AC的中点E，AD的中点F，BC的中点G，连接EF1，FG，EG.可得△EFG为等边三角形.∴AB与CD所成的角为60º.二、填空题.1.M∈aα.8 2.0个.3.12.【解析】A1B1和AC；A1B1和BC；A1A和B1C1；A1A和BC；B1C1和AB；B1C1和AC；B1B和AC；B1B和A1C1；A1C1和AB；A1C1和BC；CC1和A1B1；C1C和AB.4.a.【解析】过点D1作D1H⊥DF于点H，D1H即为所求.∵=，∴D1H=a.5..【解析】设三条侧棱长分别为a，b，c，则ab=S1，bc=S2，ca=S3.三式相乘，得a2b2c2=S1S2S3.∴abc=2.∵三侧棱两两垂直，∴V=abc·=.6.(1)外；(2)垂；(3)内；(4)中；(5)BC边的高.【解析】(1)由三角形全等可证得，点O为△ABC的外心；(2)由直线和平面垂直的判定定理可证得，点O为△ABC的垂心；(3)由直线和平面垂直的判定定理可证得，点O为△ABC的内心；(4)由三角形全等可证得，点O为AB边的中点；(5)由(1)知，点O在BC边的高线上(或说在∠A的平分线上，或者说在BC边的中线上).三、解答题.1.证明：连接D1E，D1F，并分别延长，使D1F与DC的延长线交于点H，D1E的延长线与DA的延长线交于点G.8 ∵D1，E，F三点不共线，∴D1，E，F确定一个平面.∴G，H∈.又∵点E是AA1的中点，∴EA∥DD，∴点A是DG的中点.同理可得，点C是DH的中点.F∴CH=BC=BA=GA.又∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCH=∠BAG=90º.连接BH，BG.∴△BCH，△GAB是全等的等腰直角三角形.∴∠CBH=∠ABG=45°.∴∠GBA+∠ABC+∠CBH=180°.∴G，B，H三点共线.又G，H∈，∴GH，而B∈GH，∴B∈.∴D，E，F，B四点共面.2.证明：∵α∩=a，α∩=b，∴αβ，b.又∵a∩b=O，∴O∈a，O∈b.∴O∈β，O∈.∴点O在β，的交线c上.∴三条直线a，b，c相交于一点O.11113.证明：∵P∈直线AB，D∈直线CD，∴P∈平面ABCD.D∈平面ABCD.∴直线DP平面ABCD.又∵O∈直线DP，8 ∴O∈平面ABCD.同理可证，O∈平面BCC1B1.∵平面ABCD∩平面BCC1B1=直线BC，∴O∈直线BC.∴O，B，C三点共线.4.(1)证明：取PD的中点为Q，连接AQ、QN，∵点N为PC的中点，∴QNDC，Q∴QNAM，∴四边形AMNQ为平行四边形，∴MN∥AQ，∴MN∥平面PAD.(2)解：∵PA⊥平面ABCD，CD⊥AD，∴PD⊥CD，∴∠PDA为二面角P-DC-B的平面角.∵MN⊥平面PCD，MN∥AQ，∴AQ⊥平面PDC，∴AQ⊥PD.∵点Q为PD的中点，∴△PAD为等腰直角三角形，∴∠PDA=45º.即二面角P-DC-B为45º.8