中华文化源远流长
2.1.3直线与平面之间的位置关系2.1.4平面与平面之间的位置关系
复习引入：1、空间两直线的位置关系（1）相交；（2）平行；（3）异面2.公理4的内容是什么?平行于同一条直线的两条直线互相平行.3.等角定理的内容是什么?空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。（同向相等）5.什么是异面直线?什么是异面直线所成的角?什么是异面直线垂直?4.等角定理的推论是什么?
研探新知（1）一支笔所在直线与一个作业本所在的平面，可能有几种位置关系？A1B1C1D1ABCD（2）如图，线段A1B所在直线与长方体ABCD-A1B1C1D1的六个面所在平面有几种位置关系？
2.1.3直线与平面之间的位置关系
学习导航学习目标
重点难点重点:会判断直线与平面、平面与平面的位置关系.难点:用符号、图形语言表示直线与平面、平面与平面的位置关系.
新知初探·思维启动1.直线与平面的位置关系无数个相交有且只有一个平行没有
想一想1.“直线与平面不相交”与“直线与平面没有公共点”是相同的意义吗？提示:不是.“直线与平面不相交”和“直线与平面没有公共点”表示不同的意义,前者包括直线与平面平行及直线在平面内这两种情况,而后者仅指直线与平面平行.
做一做1.直线l与平面α有两个公共点,则()A.l∈αB.l∥αC.l与α相交D.l⊂α答案:D
第一、二层的底面α和β无论怎样延伸都没有公共点；前、后两面房顶γ和δ则有一条交线AB．二层楼房示意图平面与平面之间的位置关系又是怎样的呢？探究
2.1.4平面与平面之间的位置关系
相交一条平行没有
想一想2.平面平行有传递性吗？提示:有.若α、β、γ为三个不重合的平面,则α∥β,β∥γ⇒α∥γ.
做一做2.对于两个平面α、β,若M∈平面α,M∈平面β,则α与β的位置关系是()A.平行B.相交C.重合D.不确定答案:B
3.平面γ与两个平行平面α、β都相交,交线分别为a、b,用符号表示为________答案:α∥β,γ∩α＝a,γ∩β＝b
下图表示两平面之间的两种位置，如何用符号语言描述这两种位置关系？αβ思考:
典题例证·技法归纳题型一 直线与平面的位置关系题型探究例1下列命题中正确的个数是()①若直线l上有无数个点不在平面α内,则l∥α;②若直线l与平面α平行,则l与平面α内的任意一条直线都平行;
③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行,那么另一条也与这个平面平行;④若直线l与平面α平行,则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点.A.0B.1C.2D.3
【解析】可借助长方体模型,棱AA1所在直线有无数点在平面ABCD外,但棱AA1所在直线与平面ABCD相交,所以命题①不正确;
A1B1所在直线平行于平面ABCD,A1B1显然不平行于BD,所以命题②不正确;A1B1∥AB,A1B1所在直线平行于平面ABCD,但直线AB⊂平面ABCD,所以命题③不正确;l与平面α平行,则l与α无公共点,l与平面α内所有直线都没有公共点,所以命题④正确.【答案】B
【名师点评】解答此类问题,首先要正确理解直线与平面的三种位置关系的定义.在直线和平面的三种位置关系中,否定其中一种,其反面是另外两种位置关系.
变式训练1.下列命题中,正确的个数是()①如果两条平行直线中的一条和一个平面相交,那么另一条直线也和这个平面相交;②一条直线和另一条直线平行,它就和经过另一条直线的任何平面都平行;③经过两条异面直线中的一条直线,有一个平面与另一条直线平行;
④两条相交直线,其中一条与一个平面平行,则另一条一定与这个平面平行.A.0B.1C.2D.3解析:选C.①正确,②错误.如图(1)所示l1∥m,l1∥β,而l2∥m,l2⊂β.
③正确.如图(2)所示,在正方体ABCD－A1B1C1D1中,直线A1C1与直线BD异面,A1C1⊂平面A1B1C1D1,且BD∥平面A1B1C1D1,故③正确.④错误,直线还可能与平面相交,由此可知,①③正确,故选C.
例2题型二 平面与平面的位置关系如果三个平面两两相交,那么它们的交线有多少条？画出图形表示你的结论.【解】 交线有一条或三条,如图.
【名师点评】图(1)表示三个平面有一条交线,联想书本;(2)(3)表示3条交线.联想三棱柱或三面墙角.
题型三 空间中线面、面面关系的证明(本题满分10分)求证:两条平行线中的一条与已知平面相交,则另一条也与该平面相交.已知:直线a∥b,a∩平面α＝P.求证:直线b与平面α相交.例3
【思路点拨】a与b平行,可知a,b确定一个平面,设为β.平面α和平面β有公共点P,因此,必有一条公共直线l,b与直线l有公共点,所以,b与平面α也有公共点.
【证明】如图所示,∵a∥b,∴a和b确定一个平面β.2分∵a∩α＝P,∴平面α和平面β相交于过P点的直线l.4分
∵在平面β内l与两条平行直线a、b中的一条直线a相交,∴l必与b相交,设b∩l＝Q,6分又因为b不在平面α内,Q在平面α内(若b在α内,则α和β都过两相交直线a和l,因此α和β重合,a在α内,和已知矛盾),故直线b和平面α相交.10分
名师微博公理3，熟练运用公式是解题的关键【名师点评】证明直线和平面相交的一般方法有:(1)否定直线在平面内,否定直线与平面平行;(2)证明直线与平面只有一个公共点;(3)证明直线不在平面内,且有一个公共点.
互动探究2.若本例改为:两个平行平面中的一个与已知直线相交,则另一个平面也与该直线相交,请予以证明.已知:平面α∥β,a∩α＝P,求证:β与a相交证明:假设a与β不相交,则有a⊂β或者a∥β.
若a⊂β,∵α∥β,∴a∥α,与a∩α＝P矛盾;若a∥β,∵α∥β,∴a∥α或a⊂α,与a∩α＝P矛盾.∴假设不成立,β与a相交.
备选例题1.过三棱柱ABC－A1B1C1的任意两条棱的中点作直线,其中与平面ABB1A1平行的直线共有__________条.解析:画出图形,结合图形作出判断.如图所示,
E、F、G、H分别是所在棱的中点,显然EF、EH、HG、GF、EG、FH都与平面ABB1A1平行.答案:6
2.证明:如果一条直线经过平面内一点,又经过平面外一点,则此直线和平面相交.解:已知:A∈α,A∈a,B∉α,B∈a,求证:直线a和平面α相交.
证明:如图,根据已知a和平面α有公共点A.∴a不平行于平面α,假设直线a和平面α不相交,则a⊂α.∵B∈a,∴B∈α,与已知B∉α矛盾.∴假设不成立.∴直线a和平面α相交.
方法感悟方法技巧1.a⊂α时,表示直线a的线段全部画在表示平面α的平行四边形内;a∥α时,直线a要和平行四边形的水平边平行.2.研究线面关系时,利用正方体(或长方体)能有效地判定与两个平面的位置关系有关命题的真假.
3.判断线线、线面、面面的位置关系,要牢牢地抓住其特征与定义,要有画图的意识,结合空间想象能力全方位、多角度地考虑问题,作出判断.如例1、例3.4.两个相交平面的画法(1)先画表示两个平面的平行四边形的相交两边,如图(a).(2)再画出表示两个平面交线的线段,如图(b).
(3)过图(b)中线段的端点分别引线段,使它们平行于图(b)中表示交线的线段,如图(c).(4)画出图(c)中表示两个平面的平行四边形的第四边(被遮住的线可以画成虚线,也可以不画),如图(d).(如例2)
失误防范1.直线与平面平行时,该直线与平面内的任一直线不一定都平行.2.两平面平行,两平面内的任一对直线不一定都平行.3.直线与平面间的平行不具有传递性.
知能演练·轻松闯关
本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放
aAaa∥（1）空间中线与面的位置关系直线上所有的点都在平面内直线在平面内直线与平面有一个公共点直线与平面相交直线与平面无公共点直线与平面平行aaaa归纳总结
（2）空间中面与面的位置关系两个平面有一公共直线两个平面相交两个平面无公共点两个平面平行α∥βαβ
微信/支付宝扫码支付