高中数学人教A必修2 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.3.3直线与平面垂直的性质 课件

3、两个平面互相垂直两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。两个平面互相垂直通过画成：直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直。平面α与β垂直，记作：α⊥β。两个平面互相垂直的画法及其表示: 4、两个平面垂直的判定两个平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．αβlO注：这个定理简称“线面垂直，则面面垂直”下面我们来证明这个定理 求证：α⊥β．分析：要证明两个平面互相垂直，只有根据两个平面互相垂直的定义，证明由它们组成的二面角是直二面角，因此必须作出它的一个平面角，并证明这个平面角是直角．如何作平面角呢？根据平面角的定义，可以作BE⊥CD，使∠ABE为二面角α-CD-β的平面角． 求证：α⊥β．证明：设a∩β=CD，则B∈CD．∴AB⊥CD．在平面β内过点B作直线BE⊥CD，则∠ABE是二面角α-CD-β的平面角，又AB⊥BE，即二面角α-CD-β是直二面角．∴α⊥β．αβCDABE 特别注意：两个平面垂直的判定定理，不仅是判定两个平面互相垂直的依据，而且是找出垂直于一个平面的另一个平面的依据．另外，这个定理说明要证明面面垂直，实质上是转化为线面垂直来证明． 课堂诊断:1.如果平面α内有一条直线垂直于平面β内的一条直线，则α⊥β.（）2.如果平面α内有一条直线垂直于平面β内的两条直线，则α⊥β.（）3.如果平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条相交直线,则α⊥β.（）4.若m⊥α，m//β，则α⊥β.（）××√√5.二面角指的是（ ）A、从一条直线出发的两个半平面所夹的角度。B、从一条直线出发的两个半平面所组成的图形。C、两个平面相交时，两个平面所夹的锐角。D、过棱上一点和棱垂直的二射线所成的角。B 证明：设⊙O所在平面为α，由已知条件，有PA⊥α，BC在α内，所以，PA⊥BC，因为，点C是不同于A，B的任意一点，AB为⊙O的直径，所以，∠BCA＝90°，即BC⊥CA又因为PA与AC是△PAC所在平面内的两条相交直线，所以，BC⊥平面PAC，又因为BC在平面PBC内，所以，平面PAC⊥平面PBC。例1：如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周一不同于A，B的任意一点，求证：平面PAC⊥平面PBC。ABOCP探究：你还能发现哪些面互相垂直？ 直线与平面垂直的性质2010～2011学年度高一数学·必修2（人教A版）济宁育才中学高一数学组 朱继哲 ，1、直线与平面垂直的定义一条直线和平面内的任何一条直线都垂直，我们就说这条直线和这个平面互相垂直．2、直线与平面垂直的判定如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面．复 习 思考1:如图，长方体ABCD—A1B1C1D1中，棱AA1，BB1，CC1，DD1所在直线与底面ABCD的位置关系如何？它们彼此之间具有什么位置关系？AA1BCDB1C1D1知识探究(一)直线与平面垂直的性质定理 思考2:如果直线a，b都垂直于同一条直线l，那么直线a，b的位置关系如何？ablablabl知识探究(一)直线与平面垂直的性质定理 思考3:一个平面的垂线有多少条？这些直线彼此之间具有什么位置关系？思考4:如果直线a，b都垂直于平面α，由观察可知a//b，从理论上如何证明这个结论？b’Oabα知识探究(一)直线与平面垂直的性质定理 证明：假定b与a不平行,设b∩α＝O，b′是经过点O与直线a平行的直线，∵a∥b′，a⊥α，∴b′⊥α．所以,经过同一点O的两条直线b，b′都垂直于平面α。显然这是不可能的．因此，a∥b． 思考5：根据上述分析，得到一个什么结论？垂直于同一个平面的两条直线平行思考6:上述定理通常叫做直线与平面垂直的性质定理.用符号语言可表述为：.该定理有什么功能作用？知识探究(一)直线与平面垂直的性质定理 思考1:设a，b为直线，α为平面，若a⊥α，b//a，则b与α的位置关系如何？为什么？abα知识探究(二)直线与平面垂直的性质探究 思考2:设a，b为直线，α为平面，若a⊥α，b//α，则a与b的位置关系如何？为什么？abαl知识探究(二)直线与平面垂直的性质探究 思考3:设l为直线，α，β为平面，若l⊥α，α//β，则l与β的位置关系如何？为什么？βlα知识探究(二)直线与平面垂直的性质探究 思考4:设l为直线，α、β为平面，若l⊥α，l⊥β，则平面α、β的位置关系如何？为什么？βlα知识探究(二)直线与平面垂直的性质探究 例1如图，已知于点A，于点B，求证：.ABCαβla例 题 例2如图，已知求证：αaABbβl例 题 例3如图，已知PA垂直于矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC的中点.求证：（1）MN⊥CD；（2）若∠PDA＝45°，求证：MN⊥面PCDPABCDMNE例 题 平面与平面垂直的性质 思考1:如果平面α与平面β互相垂直，直线l在平面α内，那么直线l与平面β的位置关系有哪几种可能？αβllαβlαβ知识探究(三)平面与平面垂直的性质定理 思考2:黑板所在平面与地面所在平面垂直，在黑板上是否存在直线与地面垂直？若存在，怎样画线？αβ知识探究(三)平面与平面垂直的性质定理 思考3:如图，长方体ABCD—A1B1C1D1中，平面A1ADD1与平面ABCD垂直，其交线为AD，直线A1A，D1D都在平面A1ADD1内，且都与交线AD垂直，这两条直线与平面ABCD垂直吗？AA1BCDB1C1D1知识探究(三)平面与平面垂直的性质定理 思考4:一般地，,垂足为B，那么直线AB与平面的位置关系如何？为什么？αβABDCE知识探究(三)平面与平面垂直的性质定理 思考5:据上分析可得什么定理？试用文字语言表述之.定理若两个平面互相垂直，则在一个平面内垂直交线的直线与另一个平面垂直.αβABDC知识探究(三)平面与平面垂直的性质定理 思考6:上述定理通常叫做两平面垂直的性质定理，结合下图，如何用符号语言描述这个定理？该定理在实际应用中有何理论作用？αβlm知识探究(三)平面与平面垂直的性质定理 思考1:若α⊥β，过平面α内一点A作平面β的垂线，垂足为B，那么点B在什么位置？说明你的理由.BαβA知识探究(四)平面与平面垂直的性质探究 思考2:上述分析表明：如果两个平面互相垂直，那么经过一个平面内一点且垂直于另一个平面的直线，必在这个平面内.该性质在实际应用中有何理论作用？BαβA知识探究(四)平面与平面垂直的性质探究 思考3:对于三个平面α、β、γ，如果α⊥γ，β⊥γ，，那么直线l与平面γ的位置关系如何？为什么？αβγlab知识探究(四)平面与平面垂直的性质探究 思考4:上述结论如何用文字语言表述？该性质在实际应用中有何理论作用？如果两个相交平面都垂直于另一个平面，那么这两个平面的交线垂直于这个平面.αβγl知识探究(四)平面与平面垂直的性质探究 例4如图，已知α⊥β，l⊥β，，试判断直线l与平面α的位置关系，并说明理由.αβlma例 题 例5如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，AB=2，，侧面PAB是等边三角形，且侧面PAB⊥底面ABCD.（1）证明：侧面PAB⊥侧面PBC；（2）求侧棱PC与底面ABCD所成的角.PABCDE例 题 作业:P73练习：1，2.（做书上）P73习题2.3A组：2.P74习题2.3B组：3.