考点21 直线、平面之间的位置关系

b考点21直线、平面之间的位置关系1.（2010·湖北高考文科·Ｔ4）用、、表示三条不同的直线，表示平面，给出下列命题：①若∥，∥，则∥；②若⊥，⊥，则⊥；③若∥，∥，则∥；④若⊥，⊥，则∥.其中真命题的序号是（）A.①②B.②③C.①④D.③④【命题立意】本题主要考查立体几何中的线线、线面关系，考查考生的逻辑推理和空间想象能力．【思路点拨】空间中线线平行具有传递性，线线垂直不具有传递性，线面平行不具有传递性.【规范解答】选C，由空间直线的平行公理知①正确；⊥，⊥时与可以平行、相交也可以异面，故②错；∥，∥时，与可以平行、相交也可以异面，故③错；由直线与平面垂直的性质定理知④正确.2.（2010·江西高考文科·Ｔ１１）如图，是正方体的棱的中点，给出下列命题①过点有且只有一条直线与直线，都相交；②过点有且只有一条直线与直线，都垂直；③过点有且只有一个平面与直线，都相交；④过点有且只有一个平面与直线，都平行.其中真命题是：（）.A．②③④B．①③④C．①②④D．①②③【命题立意】本题主要考查空间中线与线的位置关系、线与面的位置关系，考查空间想象力．【思路点拨】由线与线、线与面关系定理直接判断.【规范解答】选C.①如图：设分别为，的中点，则平面平面,这个交线是唯一的，且.正确.②这条唯一成立的直线是,正确；③显然平面,平面等与直线，都相交，错误;④这样的唯一平面是过且与上、下底面都平行的平面，正确.故选C.b b3.（2010·全国高考卷Ⅰ文科·Ｔ6）直三棱柱中，若，，则异面直线与所成的角等于（）.(A)(B)(C)(D)【命题立意】本小题主要考查直三棱柱的性质、异面直线所成的角、异面直线所成的角的求法.【思路点拨】本题源于人教版高二第二册（下B）第63页第4题，可以采用常规法利用平移找到异面直线与所成的角，也可建立空间直角坐标系求角.【规范解答】选C.如图：延长到，使得，连结,则为平行四边形，∴就是异面直线与所成的角，又三角形为等边三角形，∴.【方法技巧】求两条异面直线所成的角的方法：（1）两条异面直线所成的角，是借助平面几何中的角的概念予以定义的，是研究空间两条直线的基础.（2）“等角定理”为两条异面直线所成角的定义提供了可能性与唯一性，过空间任一点，引两条直线分别平行于两条异面直线，它们所成的锐角（或直角）都是相等的而与所取点的位置无关.（3）建立空间直角坐标系，利用向量数量积公式：4.（2010·全国高考卷Ⅰ理科·Ｔ7）正方体中，与平面所成角的余弦值为（）.(A)(B)(C)(D)【命题立意】本小题主要考查正方体的性质、直线与平面所成的角、点到平面的距离的求法，突出考查学生的空间想象能力和运算能力.【思路点拨】画出正方体图形，利用辅助线并结合正方体的性质，找到线面垂直关系确定与平面所成角.【规范解答】选D.设上下底面的中心分别为；如图：则∥，与平面所成角就是与平面所成角，b b.【方法技巧】求立体几何中的线面角的方法：（1）定义法：先作出斜线在平面内的射影，则斜线与射影的夹角就是斜线与平面所夹角，然后在直角三角形中，求出这个角的某种函数值，最后求出这个角.（2）公式法：利用公式（3）向量法：5.（2010·全国高考卷Ⅱ文科·Ｔ8）已知三棱锥中，底面为边等于的等边三角形，垂直于底面，,那么直线与平面所成角的正弦值为（）.(A)(B)(C)(D)【命题立意】本题考查线面角的概念及其求法.【思路点拨】先找到与面垂直的平面，再作出该平面的垂线，找到直线在平面上的射影，然后作出所求的线面角求解.【规范解答】选D，如图：取的中点，连结、，过作、连结,则即所求，,,所以,.【方法技巧】正确作出线面角是解决此类问题的关键,作线面角的方法是先找到平面的垂线，可以利用面面垂直的性质，过一个平面内一点向另一平面作交线的垂线，这样就找到该斜线在平面内的射影，从而找到线面角.在求角的函数值时注意计算要准确.6.（2010·江西高考理科·Ｔ１０）过正方体的顶点作直线，使与棱所成的角都相等，这样的直线可以作().(A)1条(B)2条(C)3条(D)4条【命题立意】本题主要考查空间中线面关系，空间角的概念，b b考查考生的空间想象能力．【思路点拨】建立空间想象能力是关键.【规范解答】选Ｄ．第一类：过点位于三条棱之间的直线有一条体对角线；第二类：在图形外部和每条棱的外角和另2条棱夹角相等，有3条，合计4条.故选D.7.（2010·重庆高考文科·Ｔ9）到两互相垂直的异面直线的距离相等的点（）.A．只有1个B．恰有3个C．恰有4个D．有无穷多个【命题立意】本小题考查异面直线、空间距离等基础知识，考查空间想象能力，考查推理论证能力，考查数形结合的思想方法.【思路点拨】把两条异面直线放在一个几何模型内，寻找符合题意的点.【规范解答】选D如图：在正方体中，直线与直线是两条互相垂直的异面直线，则符合题意的点有正方体的中心，点，点，的中点等4个点；进一步思考，在平面中，到点的距离就是到直线的距离，所以问题可以转化为在平面中，到定点的距离等于到定直线的距离的点的轨迹是抛物线，所以符合题意的点有无数个.【方法技巧】构造几何模型——正方体，可以简捷解答.8.（2010·重庆高考理科·Ｔ１0）到两互相垂直的异面直线的距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是().(A)直线(B)椭圆(C)抛物线(D)双曲线【命题立意】本小题考查立体几何中的线线、线面的垂直关系，考查空间想象能力，考查圆锥曲线的定义和标准方程，考查转化与化归的思想.【思路点拨】把空间问题转化到一个平面上，抓住互相垂直的两条异面直线的距离是定值，利用空间几何体模型，建立平面直角坐标系进行推导.【规范解答】选D异面直线，是已知互相垂直的异面直线，以正方体为模型，如图所示，设，的距离是，，在直角坐标系中，设，那么，所以，所以，点P的轨迹为双曲线.b b【方法技巧】借助于正方体这个模型是解题的关键，注意到两条异面直线之间的距离为定值，寻找等量关系和即可求出轨迹方程.9.（2010·全国高考卷Ⅱ理科·Ｔ11）与正方体的三条棱所在直线的距离相等的点().（A）有且只有1个（B）有且只有2个（C）有且只有3个（D）有无数个【命题立意】本题考查了空间直线、平面间的距离.【思路点拨】建立空间直角坐标系，利用距离公式求解.【规范解答】选D，设正方体的棱长为，以点为坐标原点建立空间直角坐标系，设点，由点分别作的垂线，垂足分别为，则，根据两点间距离公式，得方程组，显然时这个方程恒成立，即这个方程组有无穷多组解，故这样的点有无穷多个.【方法技巧】利用方程思想求解.方程组中的每个方程都是双曲抛物面的方程，本题中符合要求的点的集合就是两个双曲抛物面的交线。在一些错误解答中认为其轨迹为柱面或者是平面是本质性的错误.这个题作为选择题，命题者的目的是考查考生空间想象能力和直觉猜想能力的.10.（2010·全国高考卷Ⅱ理科·Ｔ9）已知正四棱锥中，，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为（）.（A）1（B）（C）2（D）3【命题立意】本题考查了立体几何棱锥的体积计算与导数的运用.【思路点拨】列出关于棱锥高的函数表达式，利用导数求最大值.【规范解答】选C，如图：设棱锥的高为,底面边长为,则,，，，令，得.棱锥的体积最大.11.（2010·江西高考理科·Ｔ１６）如图，在三棱锥中，三条棱两两垂直，且，分别经过三条棱b b作一个截面平分三棱锥的体积，截面面积依次为，则的大小关系为________________．【命题立意】本题主要考查棱锥的基本知识，考查空间点线面的位置关系，考查面积和体积的问题，考查两数大小的比较，考查空间想象力．【思路点拨】先确定截面的位置，如图：∵,∴.即为底面的高，则,过棱的截面若要平分三棱锥的体积，只要平分底面即可，故取的中点,则截面平分三棱锥的体积.过棱的截面同理.再确定截面面积，最后比较大小.【规范解答】依次取的中点，则截面三角形所在平面均平分三棱锥的体积，设，则=，又因为，即，所以，即.同理可得.【答案】.【方法技巧】为了便于计算，可取特殊值，如.12.(2010·四川高考理科·Ｔ15）如图，二面角的大小是60°，线段.，与所成的角为30°.则与平面所成的角的正弦值是.【命题立意】本题考查了空间几何体的二面角，线面角的求法问题.【思路点拨】首先作出与平面所成的角，二面角的平面角，然后利用具有已知条件的直角三角形求边.【规范解答】如图：过点作,垂足为，联结，则就是与平面所成的角.再过作,垂足为，联结，则就是二面角的平面角.即，设，在中，∵,∴，b b在，.在中，【答案】.【方法技巧】本题主要利用三垂线定理及其逆定理把要求的角作出来再求.13.（2010·全国卷Ⅰ理科·Ｔ19）如图，四棱锥中，，//，，,，为棱上的一点，平面平面.（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）求二面角的大小.【命题立意】“似曾相识燕归来”.本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，二面角等基础知识,考查空间想象能力、推理论证能力和运算能力立体几何中的两种主要的处理方法：传统方法与向量的方法仍处于各自半壁江山的状况，命题人在这里一定会照顾双方的利益.学生在备考中也应注意这一点，两种方法都应重视，不可偏颇.【思路点拨】本题很常规，给人感觉很熟悉，尤其给出，底面为直角梯形，，这就为解答提供很大的方便，大部分考生会考虑到用建立空间直角坐标系，运用向量解答.再者，此题与2007年全国高考数学卷Ⅱ第19题，2009全国高考数学卷Ⅰ第18题年非常类似，给人似曾相识的感觉，如果考前接触过这道试题，解决今年的这道考题不会有太大的困难.【规范解答】(I)连结,取的中点,连结,由此知,即为直角三角形,故,又,故,所以以,,.作,为垂足,因平面平面,故,.与平面内的两条相交直线、都垂直.,,,,,b b,.所以,.(II)由,,,,知,又,故是等腰三角形.取中点,连结,则,.连结,则∥,.所以,是二面角的平面角.连结,,,.所以,二面角的大小为.解法二:以为坐标原点,射线为轴的正半轴,建立如图所示的直角坐标系.设,则,,.(Ⅰ),.设平面的法向量为,由,得,.故,.令,则，.又设,则.,.设平面的法向量,由,得.b b故,.令,则.由平面平面，,,,.故.(II)由(I)知,取中点,则,,故,由此得.又,故,由此得,向量与的夹角等于二面角的平面角.于是,所以,二面角的大小为.【方法技巧】求二面角的方法求二面角的方法说明定义法在棱上任取一点，过这点在两个平面内分别引棱的垂线，这两条垂线所成的角即为二面角的平面角垂面法利用二面角的棱垂直于二面角所在的平面三垂线定理自二面角的一个平面上一点向另一个面引垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点（即斜足），斜足与面上一点连线和斜足与垂足连线所夹的角，即为二面角的平面角.14.（2010·湖北高考文科·Ｔ18）如图，在四面体中，，，且.（Ⅰ）设为的中点，在上且，证明：；（Ⅱ）求二面角的平面角的余弦值.【命题立意】本题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系以及二面角等，同时考查考生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．【思路点拨】（Ⅰ）由三垂线定理，可先在上找一点，使,再证明即可。（Ⅱ）可利用三垂线法做出二面角的平面角的平面角，再解直角三角形即可(也可利用空间向量求解).【规范解答】（Ⅰ）在平面内过点作交于,连接。在等腰中，,,在b b,,在中，。又,为的中点。在中，分别为的中点，。由，知：，又，，由知：.（Ⅱ）连接.由知：.又平面,.由知：.是在平面内的射影。在等腰直角中，为的中点，。由三垂线定理知：。因此为二面角的平面角。在等腰直角中，,。在中，。在中，.∴.解法二:(Ⅰ)取为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴，建立空间直角坐标系（如图所示）则,∵为的中点，∴.,又由已知可得,又,,.故.即。(Ⅱ)记平面的法向量为，则由且,得b b，故可取，又平面的法向量为，，二面角的平面角是锐角，记为，则.【方法技巧】1.空间中的两直线异面垂直往往可通过三垂线定理或线面垂直两个途径来实现，也可由已有的线线垂直，借用线线平行实现新的线线垂直。2.求二面角的大小一般有以下五种办法：①三垂线法（过其中一个半平面内某点易做出另一个半平面的垂线时最适合用此法）.②垂面法（有一个平面与二面角的棱垂直时适合用此法）.③定义法.④射影面积法（无棱二面角或容易找出一个半平面内的某个图形在另一个半平面内的射影时适合用此法）.⑤向量法.15.（2010·上海高考理科·Ｔ21）如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4个全等的矩形骨架，总计耗用9.6米铁丝，骨架把圆柱底面8等份，再用平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面（不安装上底面）.(1)当圆柱底面半径取何值时，取得最大值？并求出该最大值（结果精确到0.01平方米）;（2）在灯笼内，以矩形骨架的顶点为点，安装一些霓虹灯，当灯笼的底面半径为0.3米时，求图中两根直线与所在异面直线所成角的大小（结果用反三角函数表示）【命题立意】本题是个应用题，主要考查学生分析问题、解决问题的能力，涉及函数求最值，立体几何中求角等问题．【思路点拨】（1）建立关于的函数，根据函数的性质求最值；（2）按求异面直线所成的角的步骤进行．【规范解答】（1）设圆柱形灯笼的高为，则，所以所以．b b所以，当时S有最大值．最大值为（平方米）（2）由（1）时，，如图，连接，易得，且相互平行，所以四边形为平行四边形，所以∥，且，所以为异面直线与所成的角，中可得，，所以；同理可得；在中，，，，由余弦定理,可得，所以．异面直线与所成的角为．【方法技巧】求异面直线所成的角按如下步骤进行:（1）作角：通过作辅助线，作出或找到异面直线所成的角；（2）证明：由异面直线所成的角的定义证明前面所作的角是满足条件的角；（3）指角：指明前面作（找）的角就是所求的角（这里仅一句话即可）；（4）求角：在三角形中求出这个角的大小．16.（2010·湖北高考理科·Ｔ18）如图,在四面体中，,,，且.(Ⅰ)设为的中点.证明：在上存在一点,使,并计算的值；(Ⅱ)求二面角的平面角的余弦值.【命题立意】本题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系、二面角的求法等，同时考查考生的空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力．【思路点拨】(Ⅰ)由,利用三垂线定理在上找一点，使，过作b b，交上一点即为所求的点。在中即可计算的值。(Ⅱ)由(Ⅰ)利用三垂线法做出二面角的平面角，再解直角三角形求出二面角的平面角的余弦值。(也可利用空间向量求解)【规范解答】方法一:(Ⅰ)在平面内过点作交于,连接。,.,.取为的中点，则.在等腰中，,,在,,在中，,.(Ⅱ)连接P.由知：.又平面,.由知：.是在平面内的射影。在等腰直角中，为的中点，。由三垂线定理知：。因此为二面角的平面角。在等腰直角中，,。在中，。在中，.。方法二:(Ⅰ)(Ⅰ)取为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴，建立空间直角坐标系（如图所示）则,∵为的中点，∴.设,且（0，1），,=+b b=,,,,即，，因此存在点,使得.(Ⅱ)记平面的法向量为，则由且,得，故可取，又平面的法向量为，，二面角的平面角是锐角，记为，则cos=.【方法技巧】1.空间中的两直线异面垂直往往可通过三垂线定理或线面垂直两个途径来实现。2.求二面角的大小一般有以下四种办法：①三垂线法（过其中一个半平面内某点易做出另一个半平面的垂线时最适合用此法）。②垂面法（有一个平面与二面角的棱垂直时适合用此法）。③定义法。④射影面积法（无棱二面角或容易找出一个半平面内的某个图形在另一个半平面内的射影时适合用次法）17.（2010·全国高考卷Ⅱ理科·Ｔ19）如图，直三棱柱中，，，为的中点，为上的一点，．（Ⅰ）证明：为异面直线与的公垂线；（Ⅱ）设异面直线与的夹角为45°，求二面角的大小．【命题立意】本题考查了立体几何公垂线概念及二面角概念及其求法。【思路点拨】（1）由公垂线的定义，需证明；（2）利用面面垂直的性质，先作出二面角的平面角，再解直角形.【规范解答】（1）如图：连结,设与的交点为,因为为正方形，故,且,b b又所以又为的中点，故设为的中点，连结，由知,又由底面，得，连结，则,故,由三垂线定理，得.所以为异面直线与的公垂线.（Ⅱ）因为，故为异面直线与的夹角，故.设则作为垂足，因为底面，故.又作,K为垂足，连结，由三垂线定理，得因此∠为二面角的平面角。,所以二面角的大小为.b