平面与平面位置关系

平面与平面的位置关系【要点】一．平面与平面的位置关系两平面平行：平面与平面没有交点；两平面相交：平面和平面有一条公共直线。二．两平面平行1．两平面平行的判定：（1）如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行（线线平行，则线面平行）。（2）垂直直于同一直线的两平面平行。（3）平行于同一平面的两平面平行。2．两平面平行的性质（1）两平行平面被第三个平面所截，则交线互相平行。（2）直线垂直于两平行平面中的一个，必垂直于另一个。（3）过平面外一点，有且只有一个平面与之平行。（4）两平面平行，则在其中一个平面内的所有直线必平行于另一个平面。（5）两平行平面中的一个垂直于一个平面，则另一个也垂直于这个平面。三．两平面垂直1．两平面垂直的定义：如果两个平面相交，所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。2．平面与平面垂直的判定：（1）如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直。（2）一平面垂直于两平行平面中的一个，则必垂直于另一个。3．平面和平面垂直的性质：（1）两平面互相垂直，则在其中一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面。（2）过一平面内一点而垂直于另一平面的直线必在这一平面（3）两相交平面同时垂直于第三个平面，则交线垂直于第三个平面。（3）过不垂直于平面的一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直。10 【复习要求】平面与平面的位置关系两个平面的位置关系只有平行（没有公共点）和相交（有一条公共直线）两种情况。（1）两个平面平行的判定和性质定理。（2）两个平面垂直的判定和性质定理。（3）二面角和二面角的平面角。从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角，叫做二面角的平面角。这就是说，顶点在棱上，也分别在两个半面内，边与棱垂直是构成二面角的平面角的三个条件。求二面角的平面角的大小步骤：首先，根据定义或其它办法做出二面角的平面角，要注意理论依据，不能凭印象或直观。然后作出含有该角的三角形，利用有关知识计算出来。【例题】一．两平面平行例1．已知P，Q，M分别是45°的二面角α－l－β的面α，β和棱l上的点，直线MQ是直线PQ在β上的射影，若PQ和β成角，l和MQ成θ角，PM=a，求PQ的长。解：作PH⊥β于O，∵MQ是PQ在β上的射影，∴H在MQ上。作HN⊥l于N，并连接PN，则由三垂线定理可知PN⊥l，∴∠PNH是二面角α－l－β的平面角，即∠PNH=45°.设PQ=x，则NH=PH=xsin，，MN=NHctgθ=xsin·ctgθ.在RtΔPMN中，∵PM2=PN2＋MN2，∴。故.例2．已知P是棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1的棱AD上的动点。（1）画出过点B，P，D1的截面，判断截面的形状，并证明你的结论；10 （2）求截面面积的最小值，并证明你的结论。解：（1）平行四边形；（2）∵（Q为截面与B1C1的交点，QH⊥BD1于H），∴只需求QH的最小值，即BC到面B1C1DA的距离为，∴.此时Q为B1C1中点，而P为AD中点。例3．在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，（1）求证：截面BDC1∥截面AB1D1；（2）求截面BDC1与截面AB1D1间的距离。解：⑴证明略（2）。用体积法证。例4．已知平面α∥平面β，O为α，β外一点，三条射线OA，OB，OC分别交α于点A1，B1，C1，交β于点A，B，C.（1）求证：ΔABC∽ΔA1B1C1；（2）若OA=a，AA1=b，B1C1=c，求BC的长。解：（1）由α∥β得A1B1∥AB，B1C1∥BC，A1C1∥AC，于是∴ΔA1B1C1∽ΔABC；（2）.例5．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，根据给出的条件，分别画出有关的图形：（1）过B，A1，C1三点的截面；（2）过B1，A，C三点的截面；（3）上述两截面的交线。解：（3）设BA1交AB1于M，BC1交CB1于N，则直线MN即所求作的交线。10 例6．正方体ABCD—中，E、F分别是的中点。，（1）求证：平面∥平面FBD，（2）若正方体棱长为a，求平面与平面FBD间的距离。解：⑴取中点G，连EG、，∵ABCD—是正方体，∴是平行形，∴∥，又也是平地四边形，∴∥BF，∴∥，又∥BD，∴平面∥平面FBD。⑵取BD中点O，中点，作于M，由平面得平面即OM是平行平面与FBD间的距离。∵tg∠，∴ctg∠。例7．平面∥平面，AB、CD为夹在、间的异面线段，E、F分别为AB、CD的中点，求证：（1）EF∥；EF∥。证明1：连AF并延长交β于M，因为AC∥DM可得AF=MF，所以EF∥BM，BMβ，所以EF∥，同理EF∥；证明2：连AD取AD中点G，连EG、FG则EG∥BD、FG∥AC∴EF∥、FG∥α而α∥，∴EF∥，∴面EFG∥，10 ∴EF∥同理EF∥例8．已知：两条异面直线a、b分别与三个平行平面α、β、r相交于点A、B、C和P、Q、R，又AR、CP与平面β相交于点M、N，求证：MBNQ为平行四边形。证：因为面APC和α、β的交线AP∥BN。同理MQ∥AP，∴BN∥MQ同理可证：BM∥NQ故MBNQ为平行四边形例9．在长方体中，已知AB=BC=a，=b（b＞a）连结，过作交于E，交于Q。求证：（1）平面；（2）求点到平面的距离。解：（1）连，∵平面，而为正方形，∴。同理∴平面（2），∴同理∵∥∴△∽，∴，设到平面的距离为h，则S△∵S△∴10 例10．如图：AB、BC、CD为首尾相接的不共面的三条线段，分别为AB、BC、CD的三等分点，求证：（1）平面∥平面，（2）=证：（1）由中位线定理可得：∥，且∥，且∴面∥面（2）由等角定理得：∠与∠相等或互补，由（1）得：·=·∴例11．如图：平面α∥平面β线段AB分别交α、β于M、N，AM=m，BN=n，MN=p，△FMC的面积为S，求△END的面积。解：∵α∥β平面AND分别交α、β于MC、MD，∴MC∥MD。同理，MF∥NF，于是Sin∠FMC=Sin∠END，，，由得：=例12．ABCD是矩形，四个顶点在平面上的射形分别为、、、，直线与不重合。⑴求证：是平行四边形；⑵在怎样的条件下，也是矩形？并证明你的结论？10 解：⑴∥平面∥又ABCD是矩形∴AB∥CD平面∴AB∥平面从而为∥平面∥同理∥，因此为平行四边形⑵设AB=mBC=n=a=b=c不失一般性设a≥b≥c在直角梯形中，=同样地=、=当为矩形时∠=，=于是∴a=b或b=c当a=b时，是矩形，AB∥∴AB∥同理当b=c时，BC∥下面再证当AB∥或BC∥时，为矩形，当AB∥时，是矩形，∥ABAB⊥BC∴于是⊥平面，因此∴是矩形。因此当矩形ABCD的一边平行或在内时，射影是矩形。例13、（2002年·全国·文19）四棱锥的底面是边长为的正方形，面。（Ⅰ）若面与面所成的二面角为，求这个四棱锥的体积；（Ⅱ）证明无论四棱锥的高怎样变化，面与面所成的二面角恒大于。解：（Ⅰ）∵面∴是在面上的射影又，∴∴∠是面与面所成的二面角的平面角，∠10 而是四棱锥的高，∴（Ⅱ）证明：不论棱锥的高怎样变化，棱锥侧面与恒为全等三角形，作⊥，垂足为，连结，则⊿≌⊿，∴，∠，故∠是面与面所成的二面角的平面角。设与相交于点，连结，则⊥，∴在⊿中，所以，面与面所成的二面角恒大于。例14、（2002年·全国·理18）如图，正方形、的边长都是1，而且平面、互相垂直。点在上移动，点在上移动，若。（Ⅰ）求的长；（Ⅱ）当为何值时，的长最小；（Ⅲ）当长最小时，求面与面所成的二面角的大小。10 解：（Ⅰ）作∥交于点，∥交于点，连结，依题意可得 ∥，且，即是平行四边形∴由已知，∴又，，即∴（Ⅱ）由（Ⅰ），所以，当时，即、分别移动到、的中点时，的长最小，最小值为。（Ⅲ）取的中点，连结、，∵，，为的中点∴⊥，⊥，∠即为二面角的平面角又，所以，由余弦定理有10 故所求二面角10