点、直线、平面之间的位置关系教案

个性化辅导教案教师姓名学生姓名上课时间学科数学年级教材版本北师大阶段第（）阶段观察期：□维护期：□课题名称点、直线、平面之间的位置关系课时计划第（）次课共（）次课教学目标 学会判定点、直线、平面之间的位置关系教学重点难点重点：空间直线、平面的位置关系。难点：三种语言（文字语言、图形语言、符号语言）的转换。知识要点教学过程：【知识要点】1．空间直线和平面的位置关系：(1)空间两条直线：①有公共点：相交，记作：a∩b＝A，其中特殊位置关系：两直线垂直相交．②无公共点：平行或异面．平行，记作：a∥b．异面中特殊位置关系：异面垂直．(2)空间直线与平面：①有公共点：直线在平面内或直线与平面相交．直线在平面内，记作：aa．直线与平面相交，记作：a∩a＝A，其中特殊位置关系：直线与平面垂直相交．②无公共点：直线与平面平行，记作：a∥a．(3)空间两个平面：①有公共点：相交，记作：a∩b＝l，其中特殊位置关系：两平面垂直相交．②无公共点：平行，记作：a∥b．2．空间作为推理依据的公理和定理：(1)四个公理与等角定理：公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内．公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．定理：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补．(2)空间中线面平行、垂直的性质与判定定理：①判定定理：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行．如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面平行． 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直．如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．②性质定理：如果一条直线与一个平面平行，那么经过该直线的任一个平面与此平面的交线与该直线平行．如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线相互平行．垂直于同一个平面的两条直线平行．如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直．(3)我们把上述判定定理与性质定理进行整理，得到下面的位置关系图：【例题分析】例1如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AA1的中点．求证：(Ⅰ)E、C、D1、F四点共面；(Ⅱ)CE、DA、D1F三线共点．【分析】对于(Ⅰ)中证明“E、C、D1、F四点共面”，可由这四点连接成两条直线，证明它们平行或相交即可；对于(Ⅱ)中证明“CE、DA、D1F三线共点”，可证其中两条相交直线的交点位于第三条直线上．证明：(Ⅰ)连接D1C、A1B、EF．∵E，F分另是AB，AA1的中点，∴EF∥A1B，又A1D1∥BC，A1D1＝BC，∴A1D1CB是平行四边形．∴A1B∥D1C，EF∥D1C，∴E、C、D1、F四点共面．(Ⅱ)由(Ⅰ)得EF∥CD1，∴直线CE与直线D1F必相交，记CE∩D1F＝P，∵P∈D1F平面A1ADD1，P∈CE平面ABCD，∴点P是平面A1ADD1和平面ABCD的一个公共点．∵平面A1ADD1∩平面ABCD＝AD，∴P∈AD，∴CE、DA、D1F三线共点． 【评述】1、证明多点共面、多点共线、多线共面的主要依据：(1)证明多点共面常用公理2及其推论；(2)证明多点共线常用公理3，即证明点在两个平面内，从而点在这两个平面的交线上；(3)证明多线共面，首先由其中两直线确定平面，再证其余直线在此平面内．2、证明a，b，c三线交于一点的主要依据：(1)证明a与b相交，c与b相交，再证明两交点重合；(2)先证明a与b相交于点P，再证明P∈c．例2在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，M，N分别是AB，PC的中点，求证：MN∥平面PAD．【分析】要证明“线面平行”，可通过“线线平行”或“面面平行”进行转化；题目中出现了中点的条件，因此可考虑构造(添加)中位线辅助证明．证明：方法一，取PD中点E，连接AE，NE．∵底面ABCD是平行四边形，M，N分别是AB，PC的中点，∴MA∥CD，∵E是PD的中点，∴NE∥CD，∴MA∥NE，且MA＝NE，∴AENM是平行四边形，∴MN∥AE．又AE平面PAD，MN平面PAD，∴MN∥平面PAD．方法二取CD中点F，连接MF，NF．∵MF∥AD，NF∥PD，∴平面MNF∥平面PAD，∴MN∥平面PAD．【评述】关于直线和平面平行的问题，可归纳如下方法：(1)证明线线平行：a∥c，b∥c，a∥α，aβα∥βa⊥α，b⊥αα∩β＝bg∩α＝a，g∩β＝ba∥ba∥ba∥ba∥b (2)证明线面平行：a∩α＝a∥bα∥βbα，aαaβa∥αa∥αa∥α(3)证明面面平行：α∩β＝a∥β，b∥βa⊥α，a⊥βα∥g，β∥ga，bα，a∩b＝Aα∥βα∥βα∥βα∥β例3在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝AC，AB⊥AC，求证：A1C⊥BC1．【分析】要证明“线线垂直”，可通过“线面垂直”进行转化，因此设法证明A1C垂直于经过BC1的平面即可．证明：连接AC1．∵ABC－A1B1C1是直三棱柱，∴AA1⊥平面ABC，∴AB⊥AA1．又AB⊥AC，∴AB⊥平面A1ACC1，∴A1C⊥AB．①又AA1＝AC，∴侧面A1ACC1是正方形，∴A1C⊥AC1．②由①，②得A1C⊥平面ABC1，∴A1C⊥BC1．【评述】空间中直线和平面垂直关系的论证往往是以“线面垂直”为核心展开的．如本题已知条件中出现的“直三棱柱”及“AB⊥AC”都要将其向“线面垂直”进行转化．例4在三棱锥P－ABC中，平面PAB⊥平面ABC，AB⊥BC，AP⊥PB，求证：平面PAC⊥平面PBC． 【分析】要证明“面面垂直”，可通过“线面垂直”进行转化，而“线面垂直”又可以通过“线线垂直”进行转化．证明：∵平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC＝AB，且AB⊥BC，∴BC⊥平面PAB，∴AP⊥BC．又AP⊥PB，∴AP⊥平面PBC，又AP平面PAC，∴平面PAC⊥平面PBC．【评述】关于直线和平面垂直的问题，可归纳如下方法：(1)证明线线垂直：a⊥c，b∥c，a⊥αbαa⊥ba⊥b(1)证明线面垂直：a⊥m，a⊥na∥b，b⊥αα∥β，a⊥βα⊥β，α∩β＝lm，nα，m∩n＝Aaβ，a⊥la⊥αa⊥αa⊥αa⊥α(1)证明面面垂直：a⊥β，aαα⊥β例5如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面A1ABB1是菱形，且垂直于底面ABC，∠A1AB＝60°，E，F分别是AB1，BC的中点．(Ⅰ)求证：直线EF∥平面A1ACC1；(Ⅱ)在线段AB上确定一点G，使平面EFG⊥平面ABC，并给出证明． 证明：(Ⅰ)连接A1C，A1E．∵侧面A1ABB1是菱形，E是AB1的中点，∴E也是A1B的中点，又F是BC的中点，∴EF∥A1C．∵A1C平面A1ACC1，EF平面A1ACC1，∴直线EF∥平面A1ACC1．(2)解：当时，平面EFG⊥平面ABC，证明如下：连接EG，FG．∵侧面A1ABB1是菱形，且∠A1AB＝60°，∴△A1AB是等边三角形．∵E是A1B的中点，，∴EG⊥AB．∵平面A1ABB1⊥平面ABC，且平面A1ABB1∩平面ABC＝AB，∴EG⊥平面ABC．又EG平面EFG，∴平面EFG⊥平面ABC．学生的课堂表现：很积极□比较积极□一般□不积极□ 学生上次的作业完成情况：数量%完成质量分存在问题配合需求：家长：学管师：班主任签字家长或学生签字教研主任审批