平面与平面的位置关系

【同步教育信息】一.本周教学内容：平面与平面的位置关系二、本周教学目标：1、了解平面与平面的位置关系，掌握两个平面平行的判定定理和性质定理，并能简单应用；掌握两个平行平面间距离的概念。2、掌握二面角的有关概念、二面角的平面角的定义及作法，会求二面角的平面角。3、理解两个平面垂直的定义，掌握面面垂直的判定定理与性质定理。三、知识要点：一、两个平面1.两个平面的位置关系（1）两个平面平行如果两个平面没有公共点，我们就说这两个平面互相平行．（2）两个平面相交如果两个平面有公共点，它们就相交于一条过该公共点的直线，就称这两个平面相交．（3）两个平面的位置关系只有两种：①两个平面平行——没有公共点．②两个平面相交——有一条公共直线．（4）两个平面平行的画法画两个互相平行的平面时，要注意使表示平面的两个平行四边形的对应边平行（图1，而不应画成图2那样）．平面和平行，记作．图1图22.两个平面平行的判定工人师傅将水平仪在桌面上交叉放置两次，如果水平仪的气泡都在中央，就能判断桌面是水平的。该检测原理就是：[两个平面平行的判定定理]如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．用符号表示为：若，且则。注意：（1）由符号语言知：判定两个平面平行时需五个条件，在解题时请特别注意，不要漏掉条件。（2）数学知识的学习过程是一个不断转化的过程，我们往往把一个未知的知识向已知的知识转化，实现化未知为已知的过程。目前为止，我们已经学习了线线平行和线面平行的内容，于是关于面面平行的问题自然想到能否化为线面平行来处理.3.两个平面平行的性质（1 ）一个结论：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面。，．（2）两个平面平行的性质定理[两个平面平行的性质定理]如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。已知：，，。求证：．简证：因为，所以与没有公共点，因而交线a,b也没有公共点，又因为a,b都在平面内，所以.注：由符号语言知：两个平面平行的性质是由三个条件推出一个结论，在解题时请特别注意，不要漏写条件。4.两个平行平面的距离（1）两个平行平面的公垂线及公垂线段直线a与两个平面α、β都垂直，我们把与两个平行平面都垂直的直线称作两个平行平面的公垂线。公垂线夹在两个平行平面之间的线段称为这两个平行平面的公垂线段。注意：两个平面不平行时，由于不可能存在同时与它们垂直的直线，因此此时没有公垂线可言，换句话说，当论及公垂线时，就隐含着两个平面平行。（2）两个平行平面的距离我们把公垂线段的长度叫做两个平行平面的距离．说明：两个平行平面的公垂线段都相等．二、二面角半平面：平面内的一条直线把这个平面分成两部分，其中的每一部分都叫做半平面。1.二面角的定义：一条直线和由这条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．棱为AB，面为的二面角，记作二面角 2、二面角的画法：分直立式与平卧式两种①直立式②平卧式3、二面角的平面角：（1）二面角的平面角的定义：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．如图，二面角，是二面角的平面角．思考：二面角的平面角的大小与点O的位置有关吗？注意：i.二面角的平面角的范围是，当两个半平面重合时，平面角为；当两个半平面合成一个平面时，平面角为。ii.求解二面角问题的关键是确定平面角的位置，需抓住“二面角的平面角”的三个要素：①确定二面角的棱上一点；②经过这点分别在两个面内引射线；③所引的射线都垂直于棱。（2）作二面角的平面角的常用方法①点P在棱上——义法②点P在一个半平面上——三垂线(逆)定理法③点P在二面角内——垂面法三、两平面垂直1.定义：如果两个平面所成的二面角是直二面角，我们就说这两个平面互相垂直。思考：为什么教室的门转到任何位置时，门所在平面都与地面垂直？通过观察可以发现，门在转动的过程中，门轴始终与地面垂直。 2.[两个平面垂直的判定定理]：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．符号语言：若，，则注意：由符号语言知：判定两个平面垂直时需两个条件，在解题时请特别注意，不要漏掉条件。3.两个平面垂直的性质[两个平面垂直的性质定理]如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面符号表示：分析：在内作，要证，只需证AB垂直于内的两条相交直线就行，而我们已经有，只需寻求另一条就够了，而我们还有这个条件没使用，由定义，则为直角，即有，也就有，问题也就得到解决。【典型例题】例1.如图，在正方体中，分别是棱的中点。求证：平面平面．证明：连接 例2.如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面的一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内。已知：，，求证：。证明：设．过点P在平面内作直线，根据平面与平面垂直的性质定理。因为经过一点有且只有一条直线与平面垂直，所以直线a应与直线b重合，即例3.如图，在正方体中：（1）求二面角的大小；（2）求二面角的大小.解：（1）在正方体中，，故即为二面角的平面角。在中，＝45° 所以二面角的大小为45°（2）同理，为二面角的平面角，二面角的大小为90°例4.如图，平面角为锐角的二面角，，，，若AG与所成角为，求二面角的平面角．解：作于H，作于B，连结GB  则，是二面角的平面角．  又是AG与所成的角，设AG=a，则，GH=a，sin=  ∴=【模拟试题】一、选择题 1.二面角指的是（）A.两个平面相交所组成的图形B.一个平面绕这个平面内的一条直线旋转所成的图形C.从一个平面内一条直线出发的一个半平面与这个平面组成的图形D.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形2.下列命题中错误的是（）A.平行于同一个平面的两个平面平行B.垂直于同一条直线的两个平面平行C.一条直线与两个平行平面中的一个相交，那么这条直线必与另一个平面相交D.垂直于同一个平面的两个平面平行3.二面角内一点到两个面的距离分别为6和8，两垂足间的距离为10，则这个二面角的大小是（）A.30°B.90°C.30°或150°D.60°或120°4.设平面α//平面β，直线aα，点b∈β，则在β内过点b的所有直线中（）A.不一定存在与a平行的直线B.只有两条与a平行的直线C.存在无数条与a平行的直线D.存在唯一一条与a平行的直线5.自二面角内任意一点分别向两个面引垂线，则两垂线所成的角与二面角的平面角的关系是（）  A.相等B.互补C.互余D.无法确定6.有下列四个命题：①夹在两个平行平面间的线段中，较长的线段与平面所成的角较小；②夹在两个平行平面间的所有线段与两个平面所成的角相等；③夹在两个平行平面间的线段相等，则这两条线段必平行；④夹在两个平行平面间的平行线段必相等 其中的真命题是（）A.①③B.②③C.①④D.①②③7.下列命题中，错误的是（  ）A.若一直线垂直于一平面，则此直线必垂直于此平面内所有直线B.若一个平面通过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直C.若一直线垂直于一个平面内的一条垂线，则此直线平行于这个平面D.若平面内的一条直线和这个平面的一条斜线的射影垂直，则它也和这条斜线垂直8.m、n表示直线，α、β、γ表示平面，给出下列四个命题：①α∩β=m，nα，n⊥m，则α⊥β②α⊥β，α∩γ=m，β∩γ=n，则m⊥n③α⊥β，α⊥γ，β∩γ=m，则m⊥α④m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β其中正确命题为（  ）A.①与②B.②与③C.③与④D.②与④9.在三棱锥A—BCD中，若AD⊥BC，BD⊥AD，△BCD是锐角三角形，那么必有（  ）A.平面ABD⊥平面ADCB.平面ABD⊥平面ABCC.平面ADC⊥平面BCDD.平面ABC⊥平面BCD二、填空题10.在两个互相垂直的平面的交线上，有两点A、B，AC和BD分别是这两个平面内垂直于AB的线段，AC=6，AB=8，BD=24，则C、D间距离为_____。11.（1）当a∥b时l⊥a，则l与b的关系是；（2）当a∥b，g∥b，则a与g的关系是。12.正四面体P－ABC（各棱都相等）的侧面PAB与底面ABC所成锐角的余弦值为________三、解答题13.如图，过S引三条长度相等但不共面的线段SA、SB、SC，且∠ASB=∠ASC=60°，∠BSC=90°，求证：平面ABC⊥平面BSC。14.设平面α//平面β，两条异面线段AC和BD分别在平面α和平面β内.①设M、N分别是AB、CD的中点，求证：MN//平面α；②设AC=6，BD=8，AB=CD=10，且AB与CD所成的角为60°，求AC与BD所成角的大小。15.如图，AB是圆O的直径，C是圆周上一点，PA⊥平面ABC。 （1）求证：平面PAC⊥平面PBC；（2）若D也是圆周上一点，且与C分居直径AB的两侧，试写出图中所有互相垂直的各对平面。 【试题答案】一、选择题1.D2.D3.B4.D5.B6.C7.C8.C9.C二、填空题10.解析：CD=====2611.（1）垂直（2）平行12.三、解答题13.证明：∵SB=SA=SC，∠ASB=∠ASC=60°∴AB=SA=AC取BC的中点O，连AO、SO，则AO⊥BC，SO⊥BC，∴∠AOS为二面角的平面角，设SA=SB=SC=a，又∠BSC=90°，∴BC=a，SO=a，AO2=AC2－OC2=a2－a2=a2，∴SA2=AO2+OS2，∴∠AOS=90°，从而平面ABC⊥平面BSC.［评述］要证两平面垂直，证其二面角的平面角为直角，这也是证两平面垂直的常用方法。14.①连结BC，取BC的中点P，连结MP、NP.∵M为AB的中点，∴MP//AC，∴MP//平面α同理NP//β则NP//α，∴平面MNP//平面α，故MN//平面α②过C作CE//AB交平面β于E，连结BE、DE，则∠DCE为AB与CD所成的角，∠DCE=60°又AB=CD=10∴DE=10而平面α//平面β，∴AC//BE∴∠DBE为AC与BD所成的角△BDE中，BE=6，BD=8，DE=10.∴∠DBE=90°即AC与BD所成的角为90°15.（1）证明：∵C是AB为直径的圆O的圆周上一点，AB是圆O的直径∴BC⊥AC；又PA⊥平面ABC，BC平面ABC，∴BC⊥PA，从而BC⊥平面PAC.∵BC平面PBC，∴平面PAC⊥平面PBC（2）解：平面PAC⊥平面ABCD；平面PAC⊥平面PBC；平面PAD⊥平面PBD；平面PAB⊥平面ABCD；平面PAD⊥平面ABCD。