点、直线、平面之间的位置关系复习讲义

www.longwenedu.com龙文教育教师1对1——教育是一项良心工程！个性化辅导讲义学生：科目：第单元第节第课时教师：课题点、直线、平面之间的位置关系教学目标1、知识与技能（1）使学生掌握知识结构与联系，进一步巩固、深化所学知识；（2）通过对知识的梳理，提高学生的归纳知识和综合运用知识的能力。2、过程与方法利用框图对本章知识进行系统的小结，直观、简明再现所学知识，化抽象学习为直观学习，易于识记；同时凸现数学知识的发展和联系。3情态与价值学生通过知识的整合、梳理，理会空间点、线面间的位置关系及其互相联系，进一步培养学生的空间想象能力和解决问题能力。重点、难点重点：各知识点间的网络关系；难点：在空间如何实现平行关系、垂直关系、垂直与平行关系之间的转化。考点及考试要求（1）空间点、线、面间的位置关系；（2）直线、平面平行的判定及性质；（3）直线、平面垂直的判定及性质。教学内容知识框架1、刻画平面的四个公理是立体几何公理体系的基石，是研究空间图形问题，进行逻辑推理的基础。公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内——判定直线是否在平面内的依据；公理2过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面——提供确定平面最基本的依据；公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线——判定两个平面交线位置的依据；公理4平行于同一条直线的两条直线互相平行——判定空间直线之间平行的依据。我们把不同人任何一个平面内的两条直线叫做异面直线空间中两条直线的位置关系有且只有三种共面直线1相交直线：同一个平面内，有且只有一个公共点2平行直线：同一个平面内，没有公共点异面直线3不在一个平面内，没有公共点空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们说这两条异面直线垂直。2、空间问题解决的重要思想方法：化空间问题为平面问题；3、空间平行、垂直之间的转化与联系： www.longwenedu.com龙文教育教师1对1——教育是一项良心工程！平面与平面平行直线与直线平行直线与平面平行平面与平面垂直直线与直线垂直直线与平面垂直4、观察和推理是认识世界的两种重要手段，两者相辅相成，缺一不可。本章知识结构框图平面（公理1、公理2、公理3、公理4）空间直线、平面的位置关系直线与直线的位置关系平面与平面的位置关系直线与平面的位置关系考点1：空间点、线、面间的位置关系；典型例题第1题.下列命题正确的是（  ）Ａ．经过三点确定一个平面Ｂ．经过一条直线和一个点确定一个平面Ｃ．四边形确定一个平面Ｄ．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面第2题.如图，空间四边形中，，，，分别是，，，的中点．求证：四边形是平行四边形．答案：证明：连接．因为是的中位线，所以，且．同理，，且．因为，且．所以四边形为平行四边形．第3题.如图，已知长方体中，，，．（１）和所成的角是多少度？（２）和所成的角是多少度？ www.longwenedu.com龙文教育教师1对1——教育是一项良心工程！第4题.下列命题中正确的个数是（  ）若直线上有无数个点不在平面内，则．若直线与平面平行，则与平面内的任意一条直线都平行．如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行．若直线与平面平行，则与平面内的任意一条直线都没有公共点．A．Ｂ．1Ｃ．2Ｄ．3答案：Ｂ．第5题.若直线不平行于平面，且，则下列结论成立的是（  ）Ａ．内的所有直线与异面Ｂ．内不存在与平行的直线Ｃ．内存在唯一的直线与平行Ｄ．内的直线与都相交答案：Ｂ．第6题.已知，，是三条直线，角，且与的夹角为，那么与夹角为   ．答案：．第7题.如图，是长方体的一条棱，这个长方体中与垂直的棱共   条．答案：8条．第8题.如果，是异面直线，直线与，都相交，那么这三条直线中的两条所确定的平面共有   个．答案：2个．第9题.已知两条相交直线，，则与的位置关系是   ．答案：，或与相交．第10题.如图，三条直线两两平行且不共面，每两条确定一个平面，一共可以确定几个平面？如果三条直线相交于一点，它们最多可以确定几个平面？第11题.如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中：与平行．与是异面直线．与成角．与垂直． www.longwenedu.com龙文教育教师1对1——教育是一项良心工程！以上四个命题中，正确命题的序号是（  ）Ａ．，，Ｂ．，Ｃ．，  Ｄ．，，答案：Ｃ．第12题.下列命题中，正确的个数为（）①两条直线和第三条直线成等角，则这两条直线平行；②平行移动两条异面直线中的任何一条，它们所成的角不变；③过空间四边形的顶点引的平行线段，则是异面直线与所成的角；④四边相等，且四个角也相等的四边形是正方形Ａ．0Ｂ．1Ｃ．2Ｄ．3答案：Ｂ．第13题.在空间四边形中，，分别是，的中点，则与的大小关系是      ．答案：．第14题.已知是一对异面直线，且成角，为空间一定点，则在过点的直线中与所成的角都为的直线有      条．答案：第15题.已知平面，是平面外的一点，过点的直线与平面分别交于两点，过点的直线与平面分别交于两点，若，则的长为      ．答案：．第16题.空间四边形中，，，，分别是，，，的中点，若，且与所成的角为，则四边形的面积是      ．答案：．知识概括、方法总结与易错点分析四个定理的理解、认识与运用，空间感觉的形成针对性练习第1题.已知下列四个命题：①很平的桌面是一个平面；②一个平面的面积可以是m；③平面是矩形或平行四边形；④两个平面叠在一起比一个平面厚．其中正确的命题有（  ）Ａ．个Ｂ．个Ｃ．个Ｄ．个第2题.给出下列命题： www.longwenedu.com龙文教育教师1对1——教育是一项良心工程！和直线都相交的两条直线在同一个平面内；三条两两相交的直线在同一平面内；有三个不同公共点的两个平面重合；两两平行的三条直线确定三个平面．其中正确命题的个数是（  ）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．第3题.直线，在上取点，上取点，由这点能确定的平面有（  ）Ａ．个Ｂ．个Ｃ．个Ｄ．个第4题.三条直线相交于一点，可能确定的平面有（  ）Ａ．个Ｂ．个Ｃ．个Ｄ．个或个第5题.下列命题中，不正确的是（  ）①一条直线和两条平行直线都相交，那么这三条直线共面；②每两条都相交但不共点的四条直线一定共面；③两条相交直线上的三个点确定一个平面；④两条互相垂直的直线共面．Ａ．①与②Ｂ．③与④Ｃ．①与③Ｄ．②与④第6题.分别和两条异面直线都相交的两条直线一定是（  ）Ａ．异面直线Ｂ．相交直线Ｃ．不相交直线Ｄ．不平行直线                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                               第7题.在长方体中，点，分别是四边形，的对角线的交点，点，分别是四边形，的对角线的交点，点，分别是四边形，的对角线的交点．求证：．第8题.若，是异面直线，，也是异面直线，则与的位置关系是（  ）Ａ．异面Ｂ．相交或平行Ｃ．平行或异面Ｄ．相交或平行或异面第9题.，是异面直线，，是上两点，，是上的两点，，分别是线段和的中点，则和的位置关系是（  ）Ａ．异面直线Ｂ．平行直线Ｃ．相交直线Ｄ．平行、相交或异面第10题.如下图是正方体的平面展开图，在这个正方体中①与平行；②与是异面直线；③与成角；④与垂直． www.longwenedu.com龙文教育教师1对1——教育是一项良心工程！以上四个命题中，正确命题的序号是（  ）Ａ．①②③Ｂ．②④Ｃ．③④Ｄ．②③④第11题.直线与平面平行的条件是这条直线与平面内的（  ）Ａ．一条直线不相交Ｂ．两条直线不相交Ｃ．任意一条直线不相交Ｄ．无数条直线不相交第12题.如果直线平行于平面，则 （  ）Ａ．平面内有且只有一直线与平行Ｂ．平面内有无数条直线与平行Ｃ．平面内不存在与平行的直线Ｄ．平面内的任意直线与直线都平行巩固作业课后作业试卷考点2：异面直线夹角典型例题１．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N、P、Q分别是棱AB、BC、CD、CC1的中点，直线MN与PQ所成的度数是     （   ）（A）  （B）  （C）  （D）2．下列命题中，正确的命题是 （    ）（A）直线a、b异面，过空间任一点O，作OA∥a，OB∥a，则∠AOB叫做异面直线a和b所成的角（B）如果∠CBA=∠BAD，那么BC∥AD（C）和两条异面直线都垂直的直线，叫做这两条异面直线的公垂线（D）两条异面直线所成的角只能是锐角或直角知识概括、方法总结与易错点分析先把异面直线平移成共面的针对性练习1．正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，则BD1与CC1所成角的正切值为＿＿＿＿＿，BD1与CC1的距离为＿＿＿＿＿．2．2．长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB=BC=2a，ＡＡ1＝a，Ｍ、Ｎ分别是Ａ1Ｂ1、ＢＢ1的中点，则Ａ1 www.longwenedu.com龙文教育教师1对1——教育是一项良心工程！Ｄ与ＭＮ所成角的余弦值是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．巩固作业正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、G分别为AB、BC、CC的中点，则EF与BG所成角的余弦值为 （   ）（A） （B） （C） （D）-考点3：直线与平面平行的求法典型例题例1如图所示，正方体ABCD—A1B1C1D1中，侧面对角线AB1，BC1上分别有两点E，F，且B1E=C1F.求证：EF∥平面ABCD.证明方法一分别过E，F作EM⊥AB于M，FN⊥BC于N，连接MN.∵BB1⊥平面ABCD，∴BB1⊥AB，BB1⊥BC，∴EM∥BB1，FN∥BB1，∴EM∥FN.又∵B1E=C1F，∴EM=FN，故四边形MNFE是平行四边形，∴EF∥MN.又MN平面ABCD，EF平面ABCD，所以EF∥平面ABCD.方法二过E作EG∥AB交BB1于G，连接GF，则，∵B1E=C1F，B1A=C1B，∴，∴FG∥B1C1∥BC，又EG∩FG=G，AB∩BC=B，∴平面EFG∥平面ABCD，而EF平面EFG，∴EF∥平面ABCD.例2已知P为△ABC所在平面外一点，G1、G2、G3分别是△PAB、△PCB、△PAC的重心.（1）求证：平面G1G2G3∥平面ABC；（2）求S△∶S△ABC.（1）证明如图所示，连接PG1、PG2、PG3并延长分别与边AB、BC、AC交于点D、E、F，连接DE、EF、FD，则有PG1∶PD=2∶3，PG2∶PE=2∶3，∴G1G2∥DE.又G1G2不在平面ABC内，∴G1G2∥平面ABC.同理G2G3∥平面ABC.又因为G1G2∩G2G3=G2，∴平面G1G2G3∥平面ABC.（2）解由（1）知=，∴G1G2=DE. www.longwenedu.com龙文教育教师1对1——教育是一项良心工程！又DE=AC，∴G1G2=AC.同理G2G3=AB，G1G3=BC.∴△G1G2G3∽△CAB，其相似比为1∶3，∴S△∶S△ABC=1∶9.例3（16分）如图所示，平面∥平面，点A∈，C∈，点B∈，D∈,点E，F分别在线段AB，CD上，且AE∶EB=CF∶FD.（1）求证：EF∥;（2）若E，F分别是AB，CD的中点，AC=4，BD=6，且AC，BD所成的角为60°，求EF的长.（1）证明①当AB，CD在同一平面内时，由∥，平面∩平面ABDC=AC，平面∩平面ABDC=BD，∴AC∥BD，∵AE∶EB=CF∶FD，∴EF∥BD，又EF,BD,∴EF∥.②当AB与CD异面时，设平面ACD∩=DH，且DH=AC.∵∥，∩平面ACDH=AC，∴AC∥DH，∴四边形ACDH是平行四边形，在AH上取一点G，使AG∶GH=CF∶FD，又∵AE∶EB=CF∶FD，∴GF∥HD，EG∥BH，又EG∩GF=G，∴平面EFG∥平面.∵EF平面EFG，∴EF∥.综上，EF∥.（2）解如图所示，连接AD，取AD的中点M，连接ME，MF.∵E，F分别为AB，CD的中点，∴ME∥BD，MF∥AC，且ME=BD=3，MF=AC=2，∴∠EMF为AC与BD所成的角（或其补角），∴∠EMF=60°或120°，∴在△EFM中由余弦定理得，EF===，即EF=或EF=.知识概括、方法总结与易错点分析定理见解总结针对性练习1.判断下列命题是否正确，若正确，请简述理由，若不正确，请给出反例:(1)如果a、b是两条直线，且a∥b,那么a平行于经过b的任何平面；(2)如果直线a和平面α满足a∥α,那么a与α内的任何直线平行(3)如果直线a、b和平面α满足a∥α,b∥α,那么a∥b; www.longwenedu.com龙文教育教师1对1——教育是一项良心工程！(1)如果直线a、b和平面α满足a∥b,a∥α,bα,那么b∥α;(2)过平面外一点和这个平面平行的直线只有一条1.下列命题中，正确命题的个数是.①若直线l上有无数个点不在平面内，则l∥;②若直线l与平面平行，则l与平面内的任意一条直线都平行；③如果两条平行直线中的一条直线与一个平面平行，那么另一条直线也与这个平面平行；④若直线l与平面平行，则l与平面内的任意一条直线都没有公共点.2.下列条件中，不能判断两个平面平行的是（填序号）.①一个平面内的一条直线平行于另一个平面②一个平面内的两条直线平行于另一个平面③一个平面内有无数条直线平行于另一个平面④一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面3.对于平面和共面的直线m、n，下列命题中假命题是（填序号）.①若m⊥，m⊥n，则n∥②若m∥，n∥，则m∥n③若m，n∥，则m∥n④若m、n与所成的角相等，则m∥n4.已知直线a,b,平面，则以下三个命题：①若a∥b,b,则a∥;②若a∥b,a∥,则b∥;③若a∥,b∥,则a∥b.其中真命题的个数是.5.如图所示，在三棱柱ABC—A1B1C1中，M、N分别是BC和A1B1的中点.求证：MN∥平面AA1C1.巩固作业1.下列命题，其中真命题的个数为.①直线l平行于平面内的无数条直线，则l∥；②若直线a在平面外，则a∥;③若直线a∥b,直线b,则a∥；④若直线a∥b,b,那么直线a就平行于平面内的无数条直线.2.对于不重合的两个平面与，给定下列条件：①存在平面，使得，都垂直于;②存在平面，使得，都平行于;③存在直线l,直线m,使得l∥m;④存在异面直线l、m，使得l∥,l∥,m∥,m∥.其中，可以判定与平行的条件有（写出符合题意的序号）.3.已知平面⊥平面,∩=l,点A∈,Al,直线AB∥l,直线AC⊥l,直线m∥,m∥,则下列四种位置关系中,一定成立的是.①AB∥m②AC⊥m③AB∥④AC⊥4.设有直线m、n和平面、.下列命题不正确的是（填序号）.①若m∥,n∥,则m∥n www.longwenedu.com龙文教育教师1对1——教育是一项良心工程！②若m，n,m∥,n∥,则∥③若⊥，m，则m⊥④若⊥,m⊥,m,则m∥5.下列关于互不相同的直线m,l,n和平面，的四个命题：①若m,l∩=A,点Am，则l与m不共面；②若m,l是异面直线，l∥,m∥,且n⊥l,n⊥m,则n⊥;③若l∥,m∥,∥,则l∥m;④若l,m,l∩m=A,l∥,m∥,则∥.其中假命题的序号是.考点4：二面角典型例题DPCAB1.如图三棱锥P-ABC中，PC⊥平面ABC，PC=，D是BC的中点，且△ADC是边长为2的正三角形，求二面角P-AB－C的大小。解：由已知条件，D是BC的中点∴CD=BD=2又△ADC是正三角形∴AD=CD=BD=2∴D是△ABC之外心又在BC上∴△ABC是以∠BAC为直角的三角形，∴AB⊥AC，又PC⊥面ABC∴PA⊥AB(三垂线定理)∴∠PAC即为二面角P-AB-C之平面角，易求∠PAC=30°2.如图在三棱锥S-ABC中，SA⊥底面ABC，AB⊥BC，DE垂直平分SC，且分别交AC、SC于D、E，又SA=AB，BS=BC，求以BD为棱，BDE与BDC为面的二面角的度数。EDBASC解：∵BS=BC，又DE垂直平分SC∴BE⊥SC，SC⊥面BDE∴BD⊥SC，又SA⊥面ABC∴SA⊥BD，BD⊥面SAC∴BD⊥DE，且BD⊥DC则∠EDC就是所要求的平面角设SA=AB=a，则BC=SB=a且AC= www.longwenedu.com龙文教育教师1对1——教育是一项良心工程！易证△SAC∽△DEC∴∠CDE=∠SAC=60°3.如图：ABCD是矩形，AB=8，BC=4，AC与BD相交于O点，P是平面ABCD外一点，PO⊥面ABCD，PO=4，M是PC的中点，求二面角M-BD-C大小。SRNMOBDPAC解：取OC之中点N，则MN∥PO∵PO⊥面ABCD∴MN⊥面ABCD且MN=PO/2=2，过N作NR⊥BD于R，连MR，则∠MRN即为二面角M-BD-C的平面角过C作CE⊥BD于S则RN=CE在Rt△BCD中，CD·BC=BD·CE∴∴∴DBAEC4.如图△ABC与△BCD所在平面垂直，且AB=BC=BD，∠ABC=∠DBC=，求二面角A-BD-C的余弦值。解：过A作AE⊥CB的延长线于E，连结DE，∵面ABC⊥面BCD∴AE⊥面BCD∴E点即为点A在面BCD内的射影∴△EBD为△ABD在面BCD内的射影设AB=a则AE=DE=ABsin60°=∴AD=，∴sin∠ABD= www.longwenedu.com龙文教育教师1对1——教育是一项良心工程！∴又∴∴考虑到我们求的是二面角A-BD-E，而二面角A-BD-C与A-BD-C互补∴二面角A-BD-C的余弦值为。5.已知正方体AC'，M、N分别是BB'，DD'的中点，求截面AMC'N与面ABCD，CC'D'D所成的角。D’B’DAC’BA’CMN解：设边长为a，易证ANC'N是菱形且MN=，A'C=∴Ｓ□AMC'N=由于AMC'N在面ABCD上的射影即为正方形ABCD∴Ｓ□ABCD=∴∴取CC'的中点M'，连结DM'则平行四边形DM'C'N是四边形AMC'N在CC'D'D上的射影，Ｓ□DM'C'M=∴知识概括、方法总结与易错点分析二面角求法：首先要找出二面角的平面角然后求出二面角针对性练习 www.longwenedu.com龙文教育教师1对1——教育是一项良心工程！DOABC三棱锥A-BCD中，∠BAC=∠BCD=90°，∠DBC=30°，AB=AC=，AD=4，求二面角A-BC-D的度数。巩固作业如图，将边长为a的正三角形ABC按它的高AD为折痕折成一个二面角．  （1）若二面角是直二面角，求的长；  （2）求与平面所成的角；  （3）若二面角的平面角为120°，求二面角的平面角的正切值．