高考数学点、直线、平面之间的位置关系

    点、直线、平面之间的位置关系江苏高考立体几何部分在正常情况下考两题。一道填空题，常考空间的线、面位置关系的辨析与判定或特殊几何体的体积、表面积等，要求考生对公理、定理、性质、定义等非常熟悉．并能借助已有的几何体中的线与面来解决问题；一道大题，常考线面的平行、垂直，面面的平行与垂直，偶尔也求确定几何体的体积，通过线段长度、线段长度比，点的位置确定等来探索几何体中的线线、线面、面面的位置关系，要重视，要学会规范答题．1.直线a，b是长方体的相邻两个面的对角线所在的直线，则a与b的位置关系是________．2.a，b，c为三条不重合的直线，α，β，γ为三个不重合的平面，直线均不在平面内，给出以下命题：①a∥b；②a∥α；③α∥β.其中真命题是____________(填所有正确命题的序号)．如果直线l⊥平面α，给出下列判断：①若直线m⊥l，则m∥α；②若直线m⊥α，则m∥l；③若直线m∥α，则m⊥l；④若直线m∥l，则m⊥α.其中正确判断的序号是________________．3.已知A、B、C、D不共面，A在平面BCD上的射影为O，则AB⊥CD，AC⊥BD是O为△BCD垂心的________(填“充分必要，充分不必要，必要不充分，既不充分又不必要”)条件．【例1】 如图，AB为圆O的直径，点C在圆周上(异于点A，B)，直线PA垂直于圆O所在的平面，点M为线段PB的中点，求证：(1)MO∥平面PAC；(2)平面PAC⊥平面PBC.凤凰出版传媒集团 版权所有  网站地址：南京市湖南路1号B座808室联系电话：025-  Mail：admin@fhedu.cn    【例2】 如图四棱锥PABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD＝60°，AD＝1，侧面PAD是正三角形，且与底面垂直，Q是AD的中点．(1)求四棱锥PABCD的体积；(2)M在线段PC上，PM＝tPC，线段BC上是否存在一点R，使得当t∈(0,1)时，总有BQ∥平面MDR？若存在，确定R点位置；若不存在，说明理由．【例3】 如图，已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为3的正方体，点E在AA1上，点F在CC1上，且AE＝FC1＝1.(1)求证：E、B、F、D1四点共面；(2)若点G在BC上，BG＝，点M在BB1上，GM⊥BF，垂足为H，求证：EM⊥平面BCC1B1.【例4】凤凰出版传媒集团 版权所有  网站地址：南京市湖南路1号B座808室联系电话：025-  Mail：admin@fhedu.cn     如图，在矩形ABCD中，AD＝2，AB＝4，E、F分别为边AB、AD的中点，现将△ADE沿DE折起，得四棱锥ABCDE.(1)求证：EF∥平面ABC；(2)若平面ADE⊥平面BCDE，求四面体FDCE的体积．1.(2011·福建)如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上．若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于________．2.(2010·湖北)用a、b、c表示三条不同的直线，γ表示平面，给出下列命题：①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若a⊥b，b⊥c，则a⊥c；③若a∥γ，b∥γ，则a∥b；④若a⊥γ，b⊥γ，则a∥b.其中正确的命题有________________(填所有正确命题的序号)．3.(2009·江苏)设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：①若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β；②若α外一条直线l与α内一条直线平行，则l和α平行；③设α和β相交于直线l，若α内有一条直线垂直于l，则α和β垂直；④直线l与α垂直的充分必要条件是l与α内的两条直线垂直．上面命题中，真命题的是________(填所有真命题的序号)．4.(2011·浙江)下列命题中错误的是________①如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β；②如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β；③如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γ；④如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β.凤凰出版传媒集团 版权所有  网站地址：南京市湖南路1号B座808室联系电话：025-  Mail：admin@fhedu.cn    5.(2011·江苏)如图，在四棱锥PABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB＝AD，∠BAD＝60°，E、F分别是AP、AD的中点，求证：(1)直线EF∥平面PCD；(2)平面BEF⊥平面PAD.6.(2010·山东)在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，MA⊥平面ABCD，PD∥MA，E、G、F分别为MB、PB、PC的中点，且AD＝PD＝2MA.(1)求证：平面EFG⊥平面PDC；(2)求三棱锥PMAB与四棱锥PABCD的体积之比．(2011·南京一模)(本小题满分14分)如图，在棱长均为4的三棱柱ABCA1B1C1中，D、D1分别是BC和B1C1的中点．(1)求证：A1D1∥平面AB1D；(2)若平面ABC⊥平面BCC1B1，∠B1BC＝60°，求三棱锥B1ABC的体积．凤凰出版传媒集团 版权所有  网站地址：南京市湖南路1号B座808室联系电话：025-  Mail：admin@fhedu.cn    (1)证明：如图，连结DD1.在三棱柱ABCA1B1C1中，因为D、D1分别是BC与B1C1的中点，所以B1D1∥BD，且B1D1＝BD，所以四边形B1BDD1为平行四边形，(2分)所以BB1∥DD1，且BB1＝DD1.又AA1∥BB1，AA1＝BB1，所以AA1∥DD1，AA1＝DD1，所以四边形AA1D1D为平行四边形，(4分)所以A1D1∥AD.又A1D1平面AB1D，AD平面AB1D，故A1D1∥平面AB1D.(6分)(2)解：(解法1)在△ABC中，因为AB＝AC，D为BC的中点，所以AD⊥BC.因为平面ABC⊥平面B1C1CB，交线为BC，AD平面ABC，所以AD⊥平面B1C1CB，即AD是三棱锥AB1BC的高.(10分)在△ABC中，由AB＝AC＝BC＝4，得AD＝2.在△B1BC中，B1B＝BC＝4，∠B1BC＝60°，所以△B1BC的面积S△B1BC＝×42＝4.所以三棱锥B1ABC的体积即三棱锥AB1BC的体积：V＝×S△B1BC·AD＝×4×2＝8. (14分)(解法2)在△B1BC中，因为B1B＝BC，∠B1BC＝60°，所以△B1BC为正三角形，因此B1D⊥BC.因为平面ABC⊥平面B1C1CB，交线为BC，B1D平面B1C1CB，所以B1D⊥平面ABC，即B1D是三棱锥B1ABC的高.(10分)在△ABC中，由AB＝AC＝BC＝4得△ABC的面积S△ABC＝×42＝4.在△B1BC中，因为B1B＝BC＝4，∠B1BC＝60°，所以B1D＝2.所以三棱锥B1ABC的体积V＝×S△ABC·B1D＝×4×2＝8.(14分)第15讲 点、直线、平面之间的位置关系1.过三棱柱ABC—A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线共有________条．【答案】 62.m、n是空间两条不同的直线，α、β是空间两个不同的平面，下面有四个命题：①m⊥α，n∥β，α∥βm⊥n；  ②m⊥n，n∥β，m⊥αα∥β；③m⊥n，α∥β，m∥αn⊥β；  ④m⊥α，m∥n，α∥βn⊥β.其中真命题是____________(写出所有真命题的序号)．【答案】 ①④凤凰出版传媒集团 版权所有  网站地址：南京市湖南路1号B座808室联系电话：025-  Mail：admin@fhedu.cn    3.给出以下四个命题，其中真命题是____________(写出所有真命题的序号)．①如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行；②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面；③如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行；④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．【答案】 ①②④4.如图，AB为圆O的直径，点C在圆周上(异于点A、B)，直线PA垂直于圆O所在的平面，点M为线段PB的中点，有以下四个命题：①PA∥平面MOB；  ②MO∥平面PBC；③OC⊥平面PAC；  ④平面PAC⊥平面PBC.其中正确的命题是____________．(填上所有正确命题的序号)【答案】 ④5.直三棱柱ABC—A1B1C1中，AC＝BC＝BB1＝1，AB1＝.(1)求证：平面AB1C⊥平面B1CB；(2)求三棱锥A1—AB1C的体积．解：(1)证明：直三棱柱ABC—A1B1C1中，BB1⊥底面ABC，则BB1⊥AB，BB1⊥BC.又由于AC＝BC＝BB1＝1，AB1＝，则AB＝，则由AC2＋BC2＝AB2，可知AC⊥BC.又由BB1⊥底面ABC，可知BB1⊥AC，则AC⊥平面B1CB，所以平面AB1C⊥平面B1CB.(2)解：三棱锥A1—AB1C的体积VA1—AB1C＝VB1—A1AC＝××1＝.(注：还有其他转换方法)6.已知等腰梯形PDCB中(如图1)，PB＝3，DC＝1，PD＝BC＝，A为PB边上一点，且PA＝1，将△PAD沿AD折起，使面PAD⊥面ABCD(如图2)．(1)证明：平面PAD⊥平面PCD；(2)试在棱PB上确定一点M，使截面AMC把几何体分成的两部分VPDCMA∶VMACB＝2∶1；(3)在点M满足(2)的情况下，判断直线PD是否平行面AMC.凤凰出版传媒集团 版权所有  网站地址：南京市湖南路1号B座808室联系电话：025-  Mail：admin@fhedu.cn    图1   图2解：(1)证明：依题意知CD⊥AD，又∵面PAD⊥面ABCD，∴DC⊥平面PAD.又DC面PCD，∴平面PAD⊥平面PCD.(2)解：由(1)知PA⊥平面ABCD，∴平面PAB⊥平面ABCD.在PB上取一点M，作MN⊥AB，垂足为N，则MN⊥平面ABCD，设MN＝h，则VM—ABC＝S△ABC·h＝××2×1×h＝，VP—ABC＝S△ABC·PA＝××1×1＝，要使VPDCMA∶VMACB＝2∶1，即∶＝2∶1，解得h＝，即M为PB的中点．(3)连结BD交AC于O.因为AB∥CD，AB＝2，CD＝1，由相似三角形易得BO＝2OD.∴O不是BD的中心．又∵M为PB的中点，∴在△PBD中，OM与PD不平行∴OM所在直线与PD所在直线相交．又OM平面AMC，∴直线PD与平面AMC不平行．基础训练1.相交或异面 2.②③ 3.②③④ 4.充分必要例题选讲例1 证明：(1)∵M，O分别是PB、AB的中点，∴MO∥PA，又∵MO平面PAC，PA平面PAC，∴MO∥平面PAC.(2)∵直线PA垂直于圆O所在的平面，∴PA⊥BC凤凰出版传媒集团 版权所有  网站地址：南京市湖南路1号B座808室联系电话：025-  Mail：admin@fhedu.cn    ∵C是圆周上一点，AB是直径，∴BC⊥AC.又PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC.∵BC平面PBC，∴平面PBC⊥平面PAC.变式训练 如图，四棱锥P—ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD＝DC＝BC＝1，AB＝2，AB∥DC，∠BCD＝90°.(1)求证：PC⊥BC；(2)求点A到平面PBC的距离．(1)证明：因为PD⊥平面ABCD，BC平面ABCD，所以PD⊥BC.由∠BCD＝90°，得BC⊥DC.又PD∩DC＝D，PD平面PCD，DC平面PCD，所以BC⊥平面PCD，因为PC平面PCD，故PC⊥BC.(2)解：如图，连结AC.设点A到平面PBC的距离为h，因为AB∥DC，∠BCD＝90°，所以∠ABC＝90°，从而由AB＝2，BC＝1，得△ABC的面积S△ABC＝1.由PD⊥平面ABCD及PD＝1，得三棱锥P—ABC的体积V＝S△ABC·PD＝，因为PD⊥平面ABCD，DC平面ABCD，所以PD⊥DC.又PD＝DC＝1，所以PC＝＝.由PC⊥BC，BC＝1，得S△PBC＝.由V＝S△PBCh＝··h＝，∴h＝.故点A到平面PBC的距离等于.点评：本小题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考查几何体的体积，考查空间想象能力、推理论证能力和运算能力．例2 解：(1)连结PQ，则PQ⊥AD，由题意易得PQ＝，SABCD＝.∵平面PAD⊥平面ABCD且交线为AD，PQ⊥AD，PQ平面PAD，∴PQ⊥平面ABCD，凤凰出版传媒集团 版权所有  网站地址：南京市湖南路1号B座808室联系电话：025-  Mail：admin@fhedu.cn    ∴VP—ABCD＝PQ·SABCD＝.(2)存在，R为BC的中点．取R为BC中点，连结MR，DR，DM，则BQ∥DR.∵BQ∥DR，BQ平面DMR，DR平面DMR，∴BQ∥平面DMR.因此，R为BC中点，当t∈(0,1)时，总有BQ∥平面MDR，反之也成立．变式训练 如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝3a，BC＝2a，D是BC的中点，E为AB的中点，F是C1C上一点，且CF＝2a.(1)求证：C1E∥平面ADF；(2)试在BB1上找一点G，使得CG⊥平面ADF；(3)求三棱锥D—AB1F的体积．(1)证明：∵AB＝AC，D为BC中点，又E为AB的中点，连结CE交AD于O，连结FO，易知＝＝，故FO∥C1E.又FO平面AFD，C1E平面AFD，故C1E∥平面AFD.(2)解：在平面C1CBB1内，过C作CG⊥DF，交B1B于G.在Rt△FCD和Rt△CBG中，FC＝CB，∠CFD＝∠BCG，故Rt△FCD≌Rt△CBG.而AD⊥BC，CC1⊥AD且CC1∩CB＝C，故AD⊥平面C1CBB1.而CG平面C1CBB1，故AD⊥CG.又CG⊥DF，AD∩FD＝D，故CG⊥平面ADF，此时BG＝CD＝a.(3)解：∵AD⊥平面BCC1B1，∴VD—AB1F＝VA—B1DF＝·S△B1DF·AD凤凰出版传媒集团 版权所有  网站地址：南京市湖南路1号B座808室联系电话：025-  Mail：admin@fhedu.cn    ＝×B1F·FD·AD＝.例3 解：(1)如图，在DD1上取点N，使DN＝1，连结EN，CN，则AE＝DN＝1，CF＝ND1＝2.因为AE∥DN，ND1∥CF，所以四边形ADNE，CFD1N都为平行四边形．从而ENAD，FD1∥CN.又因为ADBC，所以ENBC，故四边形BCNE是平行四边形，由此推知CN∥BE，从而FD1∥BE.因此，E、B、F、D1四点共面．(2)如图，GM⊥BF，又BM⊥BC，所以∠BGM＝∠CFB，BM＝BG·tan∠BGM＝BG·tan∠CFB＝BG·＝×＝1.因为AEBM，所以ABME为平行四边形，从而AB∥EM.又AB⊥平面BCC1B1，所以EM⊥平面BCC1B1.例4 (1)证明：(证法1)取线段AC的中点M，连结MF、MB.因为F为AD的中点，所以MF∥CD，且MF＝CD.在折叠前，四边形ABCD为矩形，E为AB的中点，所以BE∥CD，且BE＝CD.所以MF∥BE，且MF＝BE.所以四边形BEFM为平行四边形，故EF∥BM.又EF平面ABC，BM平面ABC，所以EF∥平面ABC.凤凰出版传媒集团 版权所有  网站地址：南京市湖南路1号B座808室联系电话：025-  Mail：admin@fhedu.cn    (证法2)延长DE交CB的延长线于点N，连结AN.在折叠前，四边形ABCD为矩形，E为AB的中点，所以BE∥CD，且BE＝CD.所以∠NBE＝∠NCD，∠NEB＝∠NDC.所以△NEB∽△NDC.所以＝＝，即E为DN的中点．又F为AD的中点，所以EF∥NA.又EF平面ABC，NA平面ABC，所以EF∥平面ABC.(证法3)取CD的中点O，连结OE、OF.折叠前，四边形ABCD为矩形，E为AB的中点，所以BE∥CD，且BE＝CD.所以BE∥CO，且BE＝CO.所以四边形BEOC为平行四边形．所以EO∥BC.又EO平面ABC，BC平面ABC，所以EO∥平面ABC.因为F、O分别为AD、CD的中点，所以FO∥AC.又FO平面ABC，AC平面ABC，所以FO∥平面ABC.又FO、EO平面FEO，FO∩EO＝O，所以平面FEO∥平面ABC.因为EF平面EOF，所以EF∥平面ABC.(2)解：(解法1)在折叠前，四边形ABCD为矩形，AD＝2，AB＝4，E为AB的中点，所以△ADE、△CBE都是等腰直角三角形，且AD＝AE＝EB＝BC＝2，凤凰出版传媒集团 版权所有  网站地址：南京市湖南路1号B座808室联系电话：025-  Mail：admin@fhedu.cn    所以∠DEA＝∠CEB＝45°，且DE＝EC＝2.又∠DEA＋∠DEC＋∠CEB＝180°，所以∠DEC＝90°.CE⊥DE，又平面ADE⊥平面BCDE，平面ADE∩平面BCDE＝DE，CE平面BCDE，所以CE⊥平面ADE，即CE为三棱锥C—EFD的高．因为F为AD的中点，所以S△EFD＝××AD·AE＝×2×2＝1.所以四面体FDCE的体积V＝×S△EFD·CE＝×1×2＝.(解法2)过F作FH⊥DE，H为垂足．因为平面ADE⊥平面BCDE，平面ADE∩平面BCDE＝DE，FH平面ADE，所以FH⊥平面BCDE，即FH为三棱锥F—ECD的高．在折叠前，四边形ABCD为矩形，且AD＝2，AB＝4，E为AB的中点，所以△ADE是等腰直角三角形．又F为AD的中点，所以DF＝1.所以FH＝DF·sin45°＝.又S△EDC＝×CD·BC＝×4×2＝4，所以四面体FDCE的体积V＝×S△EDC·FH＝×4×＝.(解法3)过A作AG⊥DE，G为垂足．因为平面ADE⊥平面BCDE，平面ADE∩平面BCDE＝DE，AG平面ADE，所以AG⊥平面BCDE，即AG为三棱锥A—ECD的高．在折叠前，四边形ABCD为矩形，凤凰出版传媒集团 版权所有  网站地址：南京市湖南路1号B座808室联系电话：025-  Mail：admin@fhedu.cn    且AD＝2，AB＝4，E为AB的中点，所以△ADE是等腰直角三角形．所以AG＝AD·sin45°＝.又S△EDC＝×DC·BC＝×4×2＝4，所以三棱锥A—ECD的体积VA—ECD＝×S△EDC·AG＝×4×＝.因为F为AD的中点，所以S△EFD＝S△EAD.所以V三棱锥C—EFD＝V三棱锥C—EAD＝VA—ECD＝.即四面体FDCE的体积为.(说明：在第(2)问中，可以证明AD⊥AC；求点D到平面EFC的距离)高考回顾1. 解析：EF∥AC，EF＝AC，AC＝2，∴EF＝.2.①④3.①②4.④5.证明：(1)因为E、F分别是AP、AD的中点，∴EF∥PD.又∵PD面PCD，EF面PCD，∴直线EF∥平面PCD.(2)连结BD，∵AB＝AD，∠BAD＝60°，∴△ABD为正三角形．又F是AD的中点，∴BF⊥AD.又平面PAD⊥平面ABCD，面PAD∩面ABCD＝AD，∴BF⊥面PAD，又BF面BEF，所以，平面BEF⊥平面PAD.6.(1)证明：由已知MA⊥平面ABCD，PD∥MA，所以PD⊥平面ABCD，又BC平面ABCD.所以PD⊥BC.因为四边形ABCD为正方形，所以BC⊥DC，又PD∩DC＝D，因此BC⊥平面PDC，在△PBC中，因为G、F分别为PB、PC的中点，所以GF∥BC.因此GF⊥平面PDC.又GF平面EFG，所以平面EFG⊥平面PDC.(2)解：因为PD⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，不妨设MA＝1，凤凰出版传媒集团 版权所有  网站地址：南京市湖南路1号B座808室联系电话：025-  Mail：admin@fhedu.cn    则PD＝AD＝2，所以VP—ABCD＝S正方形ABCD·PD＝.由于DA⊥面MAB，且PD∥MA，所以DA即为点P到平面MAB的距离三棱锥VP—MAB＝，所以VP—MAB∶VP—ABCD＝1∶4.凤凰出版传媒集团 版权所有  网站地址：南京市湖南路1号B座808室联系电话：025-  Mail：admin@fhedu.cn