...点、直线、平面之间的位置关系 [配套课件

第3讲点、直线、平面之间的位置关系1．平面的基本性质公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的______都在这个平面内．公理2：经过_________________的三点有且只有一个平面．推论1：经过一条直线和这条直线外的一点有且只有一个平面．所有点不在同一条直线上 推论2：经过两条直线有且只有一个平面．推论3：经过两条直线有且只有一个平面．公理3：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是．公理4：平行于同一条直线的两条直线．定理：空间中，如果两个角的两条边分别对应平行，那么2．空间线、面之间的位置关系相交平行一条直线平行相等或互补这两个角___________． 平行相交异面无数个只有一个没有没有重合一 1．互不重合的三个平面最多可以把空间分成__________个部分()DA．4B．5C．7D．82．若空间中有两条直线，则“这两条直线为异面直线”是)“这两条直线没有公共点”的(A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．非充分非必要条件3．下列说法不正确的是()AA．空间中，一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形DB．同一平面的两条垂线一定共面C．过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一个平面内D．过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直 4．对于任意的直线l与平面a，在平面a内必有直线m，使m与l()CA．平行C．垂直B．相交D．互为异面直线5．若空间中有四个点，则“这四个点中有三点在同一直线上”是“这四个点在同一平面上”的()AA．充分非必要条件C．充要条件B．必要非充分条件D．非充分非必要条件 考点1共点、共线、共面问题(1)对角线AC、BD是异面直线；(2)直线EF、HG、AC三线共点．例1：已知空间四边形ABCD，E、H分别是AB、AD的中点，F、G分别是边BC、DC的三等分点(如图13－3－4)，求证：图13－3－4 解题思路：先找出EF、HG的交点，再证明交点在AC上．证明：(1)假设对角线AC、BD在同一平面α内，则A、B、C、D都在平面α内，这与ABCD是空间四边形矛盾．∴AC、BD是异面直线．(2)∵E、H分别是AB、AD的中点，∴EH12BD.又F、G分别是BC、DC的三等分点，∴FG2BD.3∴EH∥FG，且EH＜FG.∴FE与GH相交．设FE与GH的交点为O，∵O在GH上，又GH在平面ADC内，∴O在平面ADC内．同理，O在平面ABC内．从而O在平面ADC与平面ABC的交线AC上． 证明三线共点，可证明两直线的交点在第三条直线上，而第三条直线往往是两平面的交线．【互动探究】1．如图13－3－5，正方体ABCD－A1B1C1D1中，对角线A1C与平面BDC1交于点O，AC、BD交于点M，求证：点C1、O、M三点共线． 图13－3－5证明：∵A1A∥C1C，∴A1A与C1C确定平面A1C.∵O∈A1C，且A1C⊂平面A1C，∴O∈平面A1C.∵A1C∩平面BDC1＝O，∴O∈平面BDC1，即O在平面A1C与平面BDC1的交线上．∵平面A1C∩平面BDC1＝C1M，∴O∈C1M.∴C1、O、M共线． 考点2异面直线的判定及证明例2：如图13－3－6，已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝4，AA1＝4，点M是棱D1C1的中点．试用反证法证明直线AB1与BC1是异面直线．图13－3－6 证明：假设直线AB1与BC1都在平面α上，则A、B、B1、C1∈α.因此，平面ABB1A1、平面BCC1B1都与平面α有不共线的三个公共点，即平面ABB1A1和平面BCC1B1重合(都与平面α重合)．又长方体的相邻两个面不重合，矛盾，于是，假设不成立．所以直线AB1与BC1是异面直线．证明两直线是异面直线的常用方法是“判定定理”、“排除法”和“反证法”，其中“反证法”最为常用． 【互动探究】2．如图13－3－7是正方体的平面展开图，在这个正方体中，图13－3－7①BM与ED平行；②CN与BE是异面直线；③CN与BM成60°角；④DM与BN垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是_____.③④ 解析：如图13－3－8，把正方体的平面展开图还原到原来的正方体，显然BM与ED为异面直线，故命题①不成立；而CN与BE平行，故命题②不成立；利用平移转化法易判定③④正确．图13－3－8 错源：空间作图时随心所欲，没有依据例3：在长方体ABCD－A1B1C1D1的A1C1面上有一点P(如图13－3－9，其中P点不在对角线B1D1上)．图13－3－9(1)过P点在空间作一直线l，使l∥BD，应该如何作图？并说明理由； 误解分析：没有在平面内作平行或相交关系．正解：(1)连接B1D1，在平面A1C1内过P作直线l，使l∥B1D1，则l即为所求做的直线．∵B1D1∥BD，l∥B1D1，∴l∥BD.(2)在平面A1C1内作直线m，使直线m与B1D1相交成α角，∵BD∥B1D1，∴直线m与BD也成α角，即直线m为所求作的直线． 【互动探究】3．设α、β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是()C．若l⊥α，α∥β，则l⊥βD．若l∥α，α⊥β，则l⊥βA．若l⊥α，α⊥β,则l⊂βB．若l∥α，α∥β，则l⊂β解析：对于A、B、D均可能出现l∥β，故C是正确的．C 例4：(2010年江西)过正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点A作直线l，使l与棱AB、AD、AA1所成的角都相等，这样的直线l可以作()DA．1条B．2条C．3条D．4条解题思路：分两类情况考虑：①直线在正方体内；②直线在正方体外．解析：第一类：通过点A位于三条棱之间的直线有一条对角线AC1，第二类：在图形外部和每条棱的外角和另2条棱夹角相等，有3条，合计4条．故选D. 【互动探究】4．设有三条直线a、b、c，其中b和c是一对异面直线，如果三条直线可确定平面的个数为n个，则n的所有可能值组成的集合是________．解析：当a与b、c两两异面时，n＝0；当a仅与b或c共面时，n＝1；当a与b、c分别共面时，n＝2.1．本节考查的是对公理、定义、定理的理解与应用，对符号语言、图形语言、文字语言要熟练转换，应充分利用身边的物体进行比划和举反例，如将教室当成正方体，就能找到很多线面关系．2．遇到异面直线的判断或证明时常通过反证法转化为共面的判断或证明，只要排除平行和相交两种关系，则异面关系成立．{0,1,2}