高中数学人教A版必修2第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.2.1 直线与平面平行的判定 学案

2.2.1直线与平面平行的判定2.2.2平面与平面平行的判定疱丁巧解牛知识·巧学一、直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行.符号语言：lα,mα,且l∥ml∥α.已知直线mα，直线lα，l∥m.求证：l∥α.证明：如图2-2-1，假设直线l不平行于α，因为直线在平面外，所以直线l只有和平面α相交，则l和α一定有公共点.可设l∩α=P，再设l和m确定的平面为β，则依据平面的基本性质，点P一定在平面α与平面β的交线m上，于是l和m相交，这和l∥m矛盾.由此可以判定l和α不可能有公共点，即l∥α.图2-2-1方法点拨用此判定定理判定直线a和平面α平行时，必须具备三个条件：(1)直线a在平面α外，即aα；(2)直线b在平面α内，即bα；(3)两直线a、b平行，即a∥b，这三个条件缺一不可.判定定理可简记为：若线线平行，则线面平行.此定理的作用是证明线面平行，应用时，只需在平面内找到一条直线与已知直线平行即可.定理告诉我们，可以通过直线间的平行，推证直线与平面平行，这是处理空间位置关系的一种常用方法，即将直线与平面平行关系(空间问题)转化为直线间的平行关系(平面问题).二、平面与平面的位置关系两个平面的位置关系可以从它们有无公共点来划分：如果两个平面有不共线的三个公共点，那么这两个平面重合；如果两个平面有一个公共点，那么这两个平面就一定相交于过这个公共点的一条直线；如果两个平面没有公共点，我们就说这两个平面平行.画两个平行平面时，要注意把表示平面的平行四边形画成对应边平行.方法点拨两平面的位置关系可按公共点的个数来划分.三、两平面平行的判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行.符号语言：aβ,bβ,a∩b=P,a∥α,b∥αα∥β.已知:aβ、bβ，a∩b=P，a∥α，b∥α，如图2-2-2，求证：β∥α.图2-2-2证明:用反证法.假设α∩β=c.∵a∥α，aβ，∴a∥c.同理,b∥c. 于是在平面β内过点P有两条直线与c平行，这与平行公理矛盾，假设不成立.∴α∥β.方法点拨在判定定理中，要透彻理解并掌握六个字“两条”“相交”“平行”，三者缺一不可，在应用定理时，应时刻检查三个条件是否均满足.由此定理还可以得到一个推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行.问题·探究问题1证明线面平行时常用的方法有哪些?探究:证明线面平行时，只需在平面内找到一条直线与已知直线平行即可.可以通过直线间的平行，推证直线与平面平行，这是处理空间位置关系的一种常用方法，即将直线与平面平行关系(空间问题)转化为直线间的平行关系(平面问题).问题2证明面面平行时常用的方法有哪些?探究:判定两个平面平行的方法有：(1)根据定义，如果两个平面没有公共点，那么这两个平面平行.而判断这两个平面没有公共点，通常用反证法；(2)利用判定定理：如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；(3)利用判定定理的推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行；(4)垂直于同一条直线的两个平面平行；(5)平行于同一平面的两个平面互相平行.典题·热题例1(2020天津高考)如图2-2-3，在斜三棱柱ABC—A1B1C1中，∠A1AB=∠A1AC,AB=AC,A1A=A1B=a，侧面B1BCC1与底面ABC所成的二面角为120°，E、F分别是棱B1C1、A1A的中点.证明A1E∥平面B1FC.图2-2-3思路解析：本题关键在于在平面内作出与直线A1E平行的直线PF.证明：取BC中点为G,连结EG.设EG与B1C的交点为P，点P为EG的中点.连结PF,在平行四边形AGEA1中，因F为A1A的中点，故A1E∥FP.而FP平面B1FC，A1E平面B1FC，所以A1E∥平面B1FC.深化升华证明平面外的一条直线和该平面平行，只要在平面内找到一条直线和已知直线平行即可，证明线面平行关键是证明线线平行.例2直线a∥直线b，直线a与平面α相交，判定直线b与平面α的位置关系，并证明你的结论.思路解析：由直观想象可知，b与α相交，而直接利用相交的定义显然不好证明，故可用反证法. 证明：假设直线b与α不相交，则bα或b∥α.(1)若bα，由a∥b，bα，aαa∥α，这与a与平面α相交矛盾，故bα不可能.(2)若b∥α，又a∥b，a、b可以确定平面β.设α∩β=c，由cα，知b与c没有公共点.又b、c同在平面β内，故b∥c.又a∥b，故a∥c，cα，aαa∥α，这与a与平面α相交矛盾，故bα.综上所述，b与α必相交.方法归纳先猜想结果，然后严格证明，这是数学发现的常用方法，也是中学数学的常用方法.例3如图2-2-4，在正方形ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是棱BC、C1D1的中点，求证：EF∥平面BDD1B1.图2-2-4思路解析：本题要点在于构造平面BDD1B1内与EF平行的直线BO.答案：取D1B1的中点O，连结OF、OB.∵OF，BEB1C1，∴OFBE.∴四边形OFEB为平行四边形.∴EF∥BO.∵EF平面BDD1B1，BO平面BDD1B1，∴EF∥平面BDD1B1.深化升华证明线面平行可先证线线平行，但要注意“三条件”的说明，关键是找到面内的线.例4已知点S是正△ABC所在平面外的一点，且SA=SB=SC，CG为△ABC上的高，D、E、F分别是AC、BC、SC的中点，试判断SG与平面DEF的位置关系，并证明.思路解析：如图2-2-5,连结DF、EF、DE,CG与DE相交于H，连结FH,FH就是适合题意的直线.怎样证明SG∥FH?只需证明H是CG的中点.图2-2-5证明：连结DF、EF、DE,CG与DE交于点H，∵DE是△ABC的中位线，∴DE∥AB.在△ACG中，D是AC的中点，且DH∥AG，∴H为CG的中点.∵FH是△SCG的中位线，∴FH∥SG. 又SG平面DEF，FH平面DEF，∴SG∥平面DEF.误区警示观察图形，即可判定SG∥平面DEF，要证明结论成立，只需要证明SG与平面DEF内的一条直线平行.解决本类问题的关键是弄清题中的线线、线面平行关系，利用线线、线面平行定理来求.例5已知AB、CD是夹在两个平行平面α、β之间的线段,M、N分别为AB、CD的中点,求证:MN∥平面α.思路解析：注意分情况讨论，分AB、CD平行，AB、CD异面，两种情况讨论.证明：(1)若AB、CD在同一平面内,则平面ABDC与α、β的交线为AC、BD.∵α∥β,∴AC∥BD.又M、N为AB、CD的中点,∴MN∥BD.又AC平面α,∴MN∥平面α.(2)若AB、CD异面,如图2-2-6,过A作AE∥CD交β于E,取AE的中点P,连结MP、PN、BE、ED.图2-2-6∵AE∥CD,∴AE、CD确定平面AEDC.则平面AEDC与α、β的交线为ED、AC.∵α∥β,∴AC∥ED.又P、N为AE、CD的中点,∴PN∥ED.∴PN∥α.同理,可证MP∥BE.∴MP∥α.∴平面MPN∥α.又MN平面MPN,∴MN∥α.误区警示(1)本题容易疏忽AB、CD是否共面,把AB、CD看成同一平面内的线段,直接用平面几何知识得证.(2)本题是平面几何中梯形中位线在空间的推广.例6已知平面α∥平面β∥平面γ，两条直线l、m分别与平面α、β、γ相交于点A、B、C和点D、E、F.求证：.思路解析：本类问题一般需要分类讨论，本例把几种情况全包括了.答案：如图2-2-7,连结DC，设DC与平面β相交于点G,则平面ACD与平面α、β分别相交于直线AD、BG.平面DCF与平面β、γ分别相交于直线GE、CF.因为α∥β,β∥γ，所以BG∥AD,GE∥CF.图2-2-7 于是,得,.所以.误区警示本例通常可叙述为：两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例，可作为结论或定理应用.应该注意不要忘记分类讨论.