直线、平面平行的判定及性质

立体几何课件遂宁中学罗辉 直线、平面平行的判定及性质 直线、平面平行的判定及性质考题大攻略考前大冲关考向大突破2考向大突破1考向大突破3栏目顺序●请点击相关内容 考向大突破一直线与平面平行的判定与性质例1如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点N在BD上，点M在B1C上，并且CM＝DN.求证MN∥平面AA1B1B.证明：方法一：如图所示，作ME∥BC交BB1于E；作NF∥AD，交AB于F，连接EFEF结束放映返回导航页考向大突破1考向大突破2考向大突破3考题大攻略考前大冲关栏目导引 考向大突破一直线与平面平行的判定与性质例1如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点N在BD上，点M在B1C上，并且CM＝DN.求证MN∥平面AA1B1B.方法二：过M作MQ∥BB1交BC于Q，连接NQ.Q结束放映返回导航页考向大突破1考向大突破2考向大突破3考题大攻略考前大冲关栏目导引 归纳升华证明直线与平面平行常用的方法有以下三种：(1)利用定义(常用反证法)．(2)利用判定定理：关键是找平面内与已知直线平行的直线．可先直观判断平面内是否已有，若没有，则需作出该直线，常考虑三角形的中位线、平行四边形的对边或过已知直线作一平面找其交线．(3)利用面面平行的性质：当两平面平行时，其中一个平面内的任一直线平行于另一平面．结束放映返回导航页考向大突破1考向大突破2考向大突破3考题大攻略考前大冲关栏目导引 变式训练1如图所示，在空间四边形ABCD中，截面EFGH为平行四边形，试证：BD∥平面EFGH，AC∥平面EFGH.证明：∵截面EFGH为平行四边形，∴EH∥FG，根据直线与平面平行的判定定理知，EH∥平面BCD，又EH⊂平面ABD，平面ABD∩平面CBD＝BD，根据直线与平面平行的性质定理知，BD∥EH，又EH⊂平面EFGH，BD⊄平面EFGH，因此，BD∥平面EFGH.同理，AC∥平面EFGH.结束放映返回导航页考向大突破1考向大突破2考向大突破3考题大攻略考前大冲关栏目导引 考向大突破二平面与平面平行的判定与性质例2在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N，P分别是C1C，B1C1，C1D1的中点，求证：平面PMN∥平面A1BD.证明：方法一：如图，连接B1D1，B1C.∵P，N分别是D1C1，B1C1的中点，∴PN∥B1D1.又B1D1∥BD，∴PN∥BD.又PN⊄平面A1BD，∴PN∥平面A1BD.同理MN∥平面A1BD，又PN∩MN＝N，∴平面PMN∥平面A1BD结束放映返回导航页考向大突破1考向大突破2考向大突破3考题大攻略考前大冲关栏目导引 考向大突破二平面与平面平行的判定与性质证明：方法二：如图，连接AC1，AC.∵ABCD－A1B1C1D1为正方体，∴AC⊥BD.又CC1⊥平面ABCD，∴AC为AC1在平面ABCD上的射影．∴AC1⊥BD.同理可证AC1⊥A1B，∴AC1⊥平面A1BD.同理可证AC1⊥平面PMN，∴平面PMN∥平面A1BD.例2在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N，P分别是C1C，B1C1，C1D1的中点，求证：平面PMN∥平面A1BD.结束放映返回导航页考向大突破1考向大突破2考向大突破3考题大攻略考前大冲关栏目导引 归纳升华方法一利用了平面与平面平行的判定定理，关键是证明MN∥平面A1BD与PN∥平面A1BD，即用线线平行⇒线面平行⇒面面平行．方法二的证明利用了线面垂直的性质，需要注意证明线面垂直满足的条件“已知直线与平面内两条相交直线垂直”结束放映返回导航页考向大突破1考向大突破2考向大突破3考题大攻略考前大冲关栏目导引 变式训练2.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，若Q是CC1上的中点．证明：平面D1BQ∥平面PAO.证明：∵Q为CC1的中点，P为DD1的中点，∴QB∥PA.∵P，O分别为DD1，DB的中点，∴D1B∥PO.又∵D1B⊄平面PAO，PO⊂平面PAO，QB⊄平面PAO，PA⊂平面PAO，∴D1B∥平面PAO，QB∥平面PAO，又D1B∩QB＝B，D1B，QB⊂平面D1BQ，∴平面D1BQ∥平面PAO.结束放映返回导航页考向大突破1考向大突破2考向大突破3考题大攻略考前大冲关栏目导引 考向大突破三线面、面面平行的综合应用例3如图，已知α∥β，异面直线AB，CD和平面α，β分别交于A，B，C，D四点，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点．求证：(1)E，F，G，H共面；(2)平面EFGH∥平面α.结束放映返回导航页考向大突破1考向大突破2考向大突破3考题大攻略考前大冲关栏目导引 考向大突破三线面、面面平行的综合应用例3如图，已知α∥β，异面直线AB，CD和平面α，β分别交于A，B，C，D四点，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点．求证：(1)E，F，G，H共面；(2)平面EFGH∥平面α.解析：(1)∵E，H分别是AB，DA的中点，∴EH1/2BD.同理，FG1/2BD，∴FGEH.∴四边形EFGH是平行四边形，∴E，F，G，H共面．(2)平面ABD和平面α有一个公共点A，设两平面交于过点A的直线AD′.∵α∥β，∴AD′∥BD.又∵BD∥EH，∴EH∥BD∥AD′.∴EH∥平面α，同理，EF∥平面α，又EH∩EF＝E，EH⊂平面EFGH，EF⊂平面EFGH，∴平面EFGH∥平面α.∥∥∥结束放映返回导航页考向大突破1考向大突破2考向大突破3考题大攻略考前大冲关栏目导引 归纳升华面面平行的性质定理的应用问题，往往涉及面面平行的判定、线面平行的判定与性质的综合应用．解题时，要准确地找到解题的切入点，灵活地运用相关定理来解决问题，注意三种平行关系之间的相互转化结束放映返回导航页考向大突破1考向大突破2考向大突破3考题大攻略考前大冲关栏目导引 变式训练3平面α内有△ABC，AB＝5，BC＝8，AC＝7，梯形BCDE的底DE＝2，过EB的中点B1的平面β∥α，若β分别交EA、DC于A1，C1，求△A1B1C1的面积．结束放映返回导航页考向大突破1考向大突破2考向大突破3考题大攻略考前大冲关栏目导引 变式训练3平面α内有△ABC，AB＝5，BC＝8，AC＝7，梯形BCDE的底DE＝2，过EB的中点B1的平面β∥α，若β分别交EA、DC于A1，C1，求△A1B1C1的面积．结束放映返回导航页考向大突破1考向大突破2考向大突破3考题大攻略考前大冲关栏目导引 方法感悟2．证明线面平行的思路在证明线面、面面平行的判定时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而在应用性质定理时，其顺序恰好相反，但也要注意，转化的方向总是由题目的具体条件而定，决不可过于“模式化”1．平行问题的相互转化结束放映返回导航页考向大突破1考向大突破2考向大突破3考题大攻略考前大冲关栏目导引 (12分)(2012·北京卷)如图(1)，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图(2)．(1)求证：DE∥平面A1CB；(2)求证：A1F⊥BE.(3)线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ？说明理由．考题大攻略平行与垂直关系证明题的规范解答解答本题有以下三点易造成失分：(1)图形在折叠后，不能正确确定平行与垂直关系(2)对于存在性问题的判定步骤书写不规范(3)在应用定理时，易忽略线在面内，线不在面内的叙述，如(1)中易忽略DE⊄面A1CB本题主要考查线面间的平行与垂直知识考查失分警示结束放映返回导航页考向大突破1考向大突破2考向大突破3考题大攻略考前大冲关栏目导引 [规范解答](1)证明：因为D，E分别为AC，AB的中点，所以DE∥BC.又因为DE⊄平面A1CB，所以DE∥平面A1CB.(2)证明：由已知得AC⊥BC且DE∥BC，所以DE⊥AC.所以DE⊥A1D，DE⊥CD.所以DE⊥平面A1DC.而A1F⊂平面A1DC，所以DE⊥A1F.又因为A1F⊥CD，DE∩CD＝D，所以A1F⊥平面BCDE，所以A1F⊥BE.……4分……2分……7分结束放映返回导航页考向大突破1考向大突破2考向大突破3考题大攻略考前大冲关栏目导引 (3)线段A1B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ.理由如下：如图，分别取A1C，A1B的中点P，Q，则PQ∥BC.又因为DE∥BC，所以DE∥PQ.所以平面DEQ即为平面DEP.由(2)知，DE⊥平面A1DC，所以DE⊥A1C.又因为P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点，所以A1C⊥DP.所以A1C⊥平面DEP.从而A1C⊥平面DEQ.故线段A1B上存在点Q，使得A1C⊥平面DEQ.……10分……12分结束放映返回导航页考向大突破1考向大突破2考向大突破3考题大攻略考前大冲关栏目导引 [学习建议]解答立体几何解答题要重视解题步骤的规范性，规范的解题能够养成良好的学习习惯，提高思维水平．解题时，要注意以下几点：(1)审题的规范性，明确条件，弄清条件与目标的联系，确定正确的解题思路；(2)语言叙述的规范性，垂直、平行的相互转化应严格按定理成立的条件书写，不要跳步，另外要注意正确使用数学符号，如直线l在平面α内可写成l⊂α，而不能写成lα；(3)作图的规范性，所作辅助线要在解析中作出说明，图形中注意实线虚线的区别．结束放映返回导航页考向大突破1考向大突破2考向大突破3考题大攻略考前大冲关栏目导引 跟踪训练结束放映返回导航页考向大突破1考向大突破2考向大突破3考题大攻略考前大冲关栏目导引