直线与平面平行的判定与性质定理

2.2.1直线与平面平行的判定 直线与平面有几种位置关系？复习引入其中平行是一种非常重要的关系，不仅应用较多，而且是学习平面和平面平行的基础．有三种位置关系：在平面内，相交、平行．问题 如何判定一条直线和一个平面平行呢？线面平行的定义是什么？用定义好判断吗？引入新课问题 根据定义，判定直线与平面是否平行，只需判定直线与平面有没有公共点．但是，直线无限延长，平面无限延展，如何保证直线与平面没有公共点呢？a 观察请您动手体验一下将一本书平放在桌面上，翻动书的硬皮封面，封面边缘AB所在直线与桌面所在平面具有什么样的位置关系？ 如果平面内有直线与直线平行，那么直线与平面的位置关系如何？是否可以保证直线与平面平行？观察直线与平面平行 直线与平面平行的判定请同学们预习课本P54--P56 直线与平面平行的判定您做对了吗？如果一条直线与一个平面没有公共点我们称做直线与平面平行，表示式：a与α没有公共点a∥α如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行.用符号表示为：αα，bα且a∥ba∥α 平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行.（用符号表示？）直线与平面平行的判定定理：ab三个条件不能少？线线平行线面平行化归与转化的思想：（1）化线面平行为线线平行（2）化空间问题为平面问题 定理说明1、线面平行的判定定理的数学符号表示，其中三个条件缺一不可.2、线线平行线面平行线线平行是条件的核心.3、注意定理中文字叙述、符号语言、图形表示的相互转换。4、判定线面平行的二种方法：（1）定义法（2）判定定理 思考：您现在判定线面平行的方法有几种？方法一：根据定义判定方法二：根据判定定理判定直线和平面平行的判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。线线平行线面平行 直线和平面平行的性质定理1 线面平行的判定定理解决了判定线面平行的问题（即所需条件）；反之，在直线与平面平行的条件下，会得到什么结论？直线和平面平行的性质新课引入： （1）如果一条直线和一个平面平行，那么这条直线和这个平面内的直线有怎样的位置关系？abαaαb问题讨论：平行异面(2)什么条件下，平面内的直线与直线a平行呢？ 直线和平面平行的性质定理如果一直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.求证：l∥m证明：∵l∥α∴l和α没有公共点；∴l和m也没有公共点；又l和m都在平面β内，且没有公共点；∴l∥m.αmβ已知：l∥α,lβ,α∩β=m又∵mα二、l (1)“线面平行线线平行”(3)在有线面平行的条件或要证线线平行时，m∥l(2)线线平行线面平行a∥α证线面平行关键在于找线线平行（中位线、平行四边形） 练习:(1).如果一条直线和一个平面平行,这个平面内是否只有一条直线和已知直线平行呢?平面内哪些直线都和已知直线平行?有几条?(有无数条)(不是) (2).如果a∥α,经过a的一组平面分别和α相交于b、c、d…,b、c、d…是一组平行线吗？为什么？(平行，线面平行的性质定理) (3).平行于同一平面的两条直线是否平行？(不一定) (4).过平面外一点与这平面平行的直线有多少条？(无数条) 判定定理的定理的应用例1.如图，空间四边形ABCD中，E、F分别是AB，AD的中点.求证：EF∥平面BCD.ABCDEF分析：要证明线面平行只需证明线线平行，即在平面BCD内找一条直线平行于EF，由已知的条件怎样找这条直线？ 证明：连结BD.∵AE=EB,AF=FD∴EF∥BD（三角形中位线性质）例1.如图，空间四边形ABCD中，E、F分别是AB，AD的中点.求证：EF∥平面BCD.ABDEF定理的应用 1.如图，在空间四边形ABCD中，E、F分别为AB、AD上的点，若，则EF与平面BCD的位置关系是_____________.EF//平面BCD变式1:ABCDEF 变式2:ABCDFOE2.如图,四棱锥A—DBCE中,O为底面正方形DBCE对角线的交点,F为AE的中点.求证:AB//平面DCF.分析:连结OF,可知OF为△ABE的中位线,所以得到AB//OF. ∵O为正方形DBCE对角线的交点,∴BO=OE,又AF=FE,∴AB//OF,BDFO2.如图,四棱锥A—DBCE中,O为底面正方形DBCE对角线的交点,F为AE的中点.求证:AB//平面DCF.证明:连结OF,ACE变式2: 例2.如图，四面体ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD的中点.BCADEFGH(3)你能说出图中满足线面平行位置关系的所有情况吗？(1)E、F、G、H四点是否共面？(2)试判断AC与平面EFGH的位置关系； BCADEFGH解：(1)E、F、G、H四点共面。∵在△ABD中，E、H分别是AB、AD的中点.∴EH∥BD且同理GF∥BD且EH∥GF且EH＝GF∴E、F、G、H四点共面。（2）AC∥平面EFGH证明：∵AC∥HG,AC平面EFGH,HG平面EFGH∴AC∥平面EFGH BCADEFGH（3）由EF∥HG∥AC，得EF∥平面ACDAC∥平面EFGHHG∥平面ABC由BD∥EH∥FG，得BD∥平面EFGHEH∥平面BCDFG∥平面ABD 例2：已知：如图，四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,M,N分别为AB,PC中点.求证：MN//平面PADPABCDMN分析：找一条在平面PAD内并且和MN平行的线O平行四边形的平行关系 例3:正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于AB,在AE､BD上各有一点P､Q,且AP=DQ.求证:PQ∥平面BCE.分析:解法1:证明线面平行,可用线面平行的判定定理. 证明:如图所示,作PM∥AB交BE于M,作QN∥AB交BC于N,连结MN.∵正方形ABCD和正方形ABEF有公共边AB, ∴AE=BD.又∵AP=DQ,∴PE=QB.又∵PM∥AB∥QN,∴∴PMQN.∴PQ∥MN. 解法2:线面平行可以转化为线线平行,而线线平行可通过“线段对应成比例”得到.连结AQ并延长交BC于K,连结EK,只需证出即可. 证明:如图所示,由AD∥BC,AK∩BD=Q知,△ADQ∽△KBQ,∴另一方面,由题设知,AE=BD,且AP=DQ.∴PE=QB,∴∴PQ∥EK.又PQ平面BCE,EK平面BCE.∴PQ∥平面BCE. 练习：如图，在三棱柱ABC——A1B1C1中，D是AC的中点。求证：AB1//平面DBC1P 1、如下图在底面为平行四边形的四棱锥P-ABCD中,点E是PD的中点,求证:PB∥平面AEC.能力提升 证明:连结BD与AC相交于O,连结EO,∵ABCD为平行四边形,∴O是BD的中点,又E为PD的中点,∴EO∥PB.∵ 2.如图所示,在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E､F､P､Q分别是BC､C1D1､AD1､BD的中点.(1)求证:PQ∥平面DCC1D1;(2)求PQ的长;(3)求证:EF∥平面BB1D1D. 解:(1)证明:连结D1C,∵P､Q分别为AD1､AC的中点,∴PQ∴PQ∥面DCC1D1.(2)∵ (3)证明:取B1D1的中点Q1,连结Q1F､Q1B,∵F为D1C1的中点,Q1FBE.∴四边形Q1FEB为平行四边形,EF∥Q1B,∴∴EF∥面BB1D1D. 3.(天津高考)如图所示,在五面体ABCDEF中,点O是矩形ABCD的对角线的交点,面CDE是等边三角形,EF,求证:FO∥平面CDE. 证明:取CD的中点M,连结OM,EM,则OM又EF∴OMEF.∴四边形OMEF为平行四边形,∴FO∥ME.∵FO平面CDE,ME平面CDE,∴FO∥平面CDE. 例1如图所示的一块木料中,棱BC平行于面A'C'．过点P作直EF//B'C'，棱A'B'、C'D'于点E、F，连结BE、CF，FPBCADA'B'C'D'E解：⑴如图，在平面A'C'内，下面证明EF、BE、CF为应画的线．分别交⑴要经过面A'C'内的一点P和棱BC将木料锯开，应怎样画线？性质定理的应用： ⑴则EF、BE、CF为应画的线．BC//B'C'EF//B'C'BC//EFEF、BE、CF共面．例1如图所示的一块木料中,棱BC平行于面A'C'．解：FPBCADA'B'C'D'E⑴要经过面内的一点P和棱BC将木料锯开，应怎样画线？ 例1如图所示的一块木料中,棱BC平行于面A'C'．⑴要经过面内的一点P和棱BC将木料锯开，应怎样画线？⑵所画的线与平面AC是什么位置关系？⑵解：EF//面AC由⑴，得BE、CF都与面相交．EF//BC，EF//BC线面平行线线平行线面平行FPBCADA'B'C'D'E 例2.已知平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面，求证：另一条也平行于这个平面．已知：直线a、b，平面，且a//b，b//求证：提示：过a作辅助平面，且ab 例2.已知平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面，求证：另一条也平行于这个平面．已知：直线a、b，平面，且a//b，b//求证：证明：且过a作平面，abc性质定理判定定理线面平行线线平行线面平行 例3.求证：如果一条直线和两个相交平面都平行，那么这条直线和它们的交线平行.αβaγδlbc已知:α∩β=l,a∥α,a∥β.求证:a∥l.提示：过a作两个辅助平面 变式1.设平面α、β、γ两两相交，且，若a∥b.求证：a∥b∥c.bαβγacαγβOcba(全国高考)三个平面两两相交，试证明它们的交线交于同一点或互相平行.若a，b不平行，求证：a，b，c交于同一点 例5:如图所示,四边形EFGH为空间四边形ABCD的一个截面,若截面为平行四边形.(1)求证:AB∥平面EFGH,CD∥平面EFGH.(2)若AB=4,CD=6,求四边形EFGH周长的取值范围. 变式:如图,已知A､B､C､D四点不共面,且AB∥平面α,CD∥平面AC∩α=E,AD∩α=F,BD∩α=G,BC∩α=H,(1)求证:EFGH是一个平行四边形;(2)若AB=CD=a,试求四边形EFGH的周长. (1)证明:AB∥α,AB平面ABC,平面ABC∩α=EHAB∥EH,同理AB∥FGEH∥FG,同理EF∥GHEFGH是平行四边形.(2)解:∵AB∥EH,∴∵AB=CD=a,∴EH+EF=a,∴平行四边形EFGH的周长为2a. 例6：已知异面直线AB、CD都平行于平面 且AB、CD在 两侧,若AC、BD与 分别交于Ｍ、Ｎ两点，求证：方法１ 例6：已知异面直线AB、CD都平行于平面 且AB、CD在 两侧,若AC、BD与 分别交于Ｍ、Ｎ两点，求证：方法２ 直线和平面平行的判定知识小结：本节课您收获了什么请告诉我们吧 1.证明线面平行的方法（1）利用定义；（2）利用判定定理．2．数学思想方法：转化的思想空间问题平面问题知识小结：线线平行线面平行直线与平面没有公共点 小结1、线面平行的判定定理文字语言：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行.符号语言：外线与内线平行线面平行简记：2、运用定理的关键是找平行线（内线），常通过什么方法找到平行线？方法一：三角形、梯形的中位线；方法二：平行四边形的平行关系。3．数学思想方法：转化化归的思想方法：（1）化线面平行为线线平行（2）化空间问题为平面问题 ⑴判定定理．线线平行线面平行⑵性质定理．线面平行线线平行1．直线与平面平行的性质定理2．判定定理与性质定理展示的数学思想方法：3．要注意判定定理与性质定理的综合运用a∥b．ab性质定理的运用．课堂小结：