直线、平面平行的判定和性质

【考纲下载】以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理．2．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的平行关系的简单题.第4讲直线、平面平行的判定及其性质 直线和平面平行的判定与性质(1)判定定理：⇒a∥α；(2)性质定理：⇒.平面和平面平行的判定与性质(1)判定定理：⇒α∥βa⊄αb⊂αa∥ba∩b＝M1．2． (2)性质定理：提示：两平面平行时，一个平面内的任何直线都平行于另一个平面，而分别在两个平行平面内的两条直线，它们可能平行，也可能异面．l⊥βa∥βa∥b 1．下列条件中，能判断两个平面平行的是()A．一个平面内的一条直线平行于另一个平面B．一个平面内的两条直线平行于另一个平面C．一个平面内有无数条直线平行于另一个平面D．一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面解析：由面面平行的判定定理易知选D项．A、B、C三项中的两个平面可能相交，如图所示．答案：D 2．如果直线a∥平面α，则()A．平面α内有且只有一条直线与a平行B．平面α内无数条直线与a平行C．平面α内不存在与a平行的直线D．平面α内的任意直线与a都平行解析：过直线a可作无数个平面与平面α相交，得无数条交线，这些交线都互相平行．答案：B 已知两个不同的平面α、β和两条不重合的直线m、n，有下列四个命题：①若m∥n，n⊂α，则m∥α；②若m∥α，n∥α，且m⊂β，n⊂β，则α∥β；③m∥α，n⊂α，则m∥n；④若α∥β，m⊂α，则m∥β.其中正确命题的个数是()A．1B．2C．3D．4解析：①有可能m⊂α；②只有当m与n相交时，才有命题正确；③m、n还可能是异面直线；④正确，故正确答案是A.答案：A3． 过三棱柱ABC－A1B1C1任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线共有________条．解析：如图所示，过任意两条棱中点的直线与平面ABB1A1平行的直线有：DE、DD1、DE1、D1E1、D1E、EE1共6条．答案：64． 证明线面平行的问题通常转化为证明两条直线平行的问题．通过对数据的计算构造平行四边形、利用三角形的中位线性质是证明两条直线平行的常见方法． (2009·山东卷)如图，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB＝4，BC＝CD＝2，AA1＝2，E、E1、F分别为棱AD、AA1、AB的中点，求证：直线EE1∥平面FCC1.思维点拨：在平面FCC1中找一条线平行于EE1或证平面ADD1A1∥平面FCC1均可.【例1】 证明：证法一：取A1B1的中点为F1，连结FF1，C1F1，由于FF1∥BB1∥CC1，所以F1∈平面FCC1，因此平面FCC1即为平面C1CFF1.连结A1D，F1C，由于A1F1D1C1CD，所以四边形A1DCF1为平行四边形，因此A1D∥F1C.又EE1∥A1D，得EE1∥F1C，而EE1⊄平面FCC1，F1C⊂平面FCC1，故EE1∥平面FCC1.证法二：因为F为AB的中点，CD=2，AB=4，AB∥CD，所以CDAF，因此四边形AFCD为平行四边形，所以AD∥FC.又CC1∥DD1，FC∩CC1=C，FC⊂平面FCC1，CC1⊂平面FCC1，所以平面ADD1A1∥平面FCC1，又EE1⊂平面ADD1A1，所以EE1∥平面FCC1. 如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，O为正方形ABCD的中点，求证：B1O∥平面A1C1D.变式1：证明：分别连结BD和B1D1，则O∈BD且A1C1∩B1D1＝O1.∵BB1綊DD1，∴BB1D1D是平行四边形．∴BD綊B1D1，∴OD綊O1B1.连结O1D，则四边形B1ODO1是平行四边形，∴B1O∥DO1.∵DO1⊂平面A1C1D，B1O⊄平面A1C1D，且B1O∥DO1，∴B1O∥平面A1C1D. 证明线线平行常用方法：(1)利用定义：证明两线共面且无公共点；(2)利用公理4，证两线同时平行于第三条直线；(3)利用线面平行的性质定理把证线线平行转化为证线面平行，转化思想在立体几何中，贯穿始终，转化的途径是把空间问题转化为平面问题． 已知ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH，求证：AP∥GH.思维点拨：先将三角形中位线的线线平行关系转化为线面平行，然后由线面平行转化为所要证明的线线平行．【例2】证明：如图所示，连结AC，交BD于O，连结MO，由ABCD是平行四边形得O是AC的中点．又M是PC的中点，知AP∥OM，AP⊄平面BMD，DM⊂平面BMD，故PA∥平面BMD.由平面PAHG∩平面BMD＝GH，知PA∥GH. 证明面面平行的方法有：1．面面平行的定义；2．面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；3．利用垂直于同一条直线的两个平面平行；4．两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行；5．利用“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”的相互转化． 如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中．(1)求证：平面A1BD∥平面B1D1C；(2)若E、F分别是AA1、CC1的中点，求证：平面EB1D1∥平面FBD.思维点拨：(1)证BD∥平面B1D1C，A1D∥平面B1D1C；(2)证BD∥平面EB1D1，DF∥平面EB1D1.【例3】证明：(1)由B1B綊DD1，得四边形BB1D1D是平行四边形，∴B1D1∥BD，又BD⊄平面B1D1C，B1D1⊂平面B1D1C，∴BD∥平面B1D1C.同理A1D∥平面B1D1C.而A1D∩BD＝D，∴平面A1BD∥平面B1D1C. (2)由BD∥B1D1，得BD∥平面EB1D1.取BB1中点G，得AE綊B1G，从而B1E∥AG.又GF綊AD，∴AG∥DF.∴B1E∥DF，∴DF∥平面EB1D1.又BD∩DF＝D，∴平面EB1D1∥平面FBD. 如图所示，三棱柱ABC－A1B1C1中，D是BC上一点，且A1B∥平面AC1D，D1是B1C1的中点．求证：平面A1BD1∥平面AC1D.变式3：证明：如图所示，连结A1C交AC1于E.∵四边形A1ACC1是平行四边形，∴E是A1C的中点，连结ED.∵A1B∥平面AC1D，平面A1BC∩平面AC1D=ED，∴A1B∥ED.∵E是A1C的中点，∴D是BC的中点．∵D1是B1C1的中点，BD1∥C1D，A1D1∥AD，又A1D1∩BD1=D1，∴平面A1BD1∥平面AC1D. 面面平行的性质定理的应用问题，往往涉及面面平行的判定、线面平行的判定与性质的综合应用．解题时，要准确地找到解题的切入点，灵活地运用相关定理来解决问题，注意三种平行关系之间的相互转化． 如图所示，平面α∥平面β，点A∈α，C∈α，点B∈β，D∈β，点E、F分别在线段AB，CD上，且AE∶EB＝CF∶FD.(1)求证：EF∥β；(2)若E，F分别是AB，CD的中点，AC＝4，BD＝6，且AC，BD所成的角为60°，求EF的长．【例4】 证明：(1)①当AB，CD在同一平面内时，由α∥β，平面α∩平面ABDC=AC，平面β∩平面ABDC=BD，∴AC∥BD，∵AE∶EB=CF∶FD，∴EF∥BD，又EF⊄β，BD⊂β，∴EF∥β. ②当AB与CD异面时，设平面ACD∩β=DH，且DH=AC.∵α∥β，α∩平面ACDH=AC，∴AC∥DH，∴四边形ACDH是平行四边形，在AH上取一点G，使AG∶GH=CF∶FD，又∵AE∶EB=CF∶FD，∴GF∥HD，EG∥BH，又EG∩GF=G，∴平面EFG∥平面β.∵EF⊂平面EFG，∴EF∥β.综上，EF∥β. (2)解：如图所示，连接AD，取AD的中点M，连接ME，MF.∵E，F分别为AB，CD的中点，∴ME∥BD，MF∥AC，且ME=BD=3，MF=AC=2，∴∠EMF为AC与BD所成的角(或其补角)，∴∠EMF=60°或120°，∴在△EFM中由余弦定理得， 【方法规律】1．直线和平面平行时，注意把直线和平面的位置关系转化为直线和直线的位置关系，直线和平面平行的性质在应用时，要特别注意“一条直线平行于一个平面，就平行于这个平面的一切直线”的错误结论．2．以求角为背景考查两个平行平面间的性质，也可以是已知角利用转化和降维的思想方法求解其他几何参量． 3．线面平行和面面平行的判定和性质：4．要能够灵活地作出辅助线或辅助平面来解题．对此需强调两点：第一，辅助线、辅助面不能随意作，要有理论根据；第二，辅助线或辅助面有什么性质，一定要以某一性质定理为依据，决不能凭主观臆断，否则谬误难免. 【高考真题】(2009·福建卷)设m，n是平面α内的两条不同直线；l1，l2是平面β内的两条相交直线，则α∥β的一个充分而不必要条件是()A．m∥β且l1∥αB．m∥l1且n∥l2C．m∥β且n∥βD．m∥β且n∥l2 【规范解答】解析：选项A作条件，由于这时两个平面中各有一条直线与另一个平面平行，不能得到α∥β，但α∥β却能得到选项A，故选项A是必要而不充分条件；选项B作条件，此时m，n一定是平面α内的两条相交直线(否则，则推出直线l1∥l2，与已知矛盾)，这就符合两个平面平行的判定定理的推论“一个平面内如果有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，则这两个平面平行”，故条件是充分的，但是在α∥β时，由于直线m，n在平面α内的位置不同，只能得到m，n与平面β平行，得不到m∥l1，n∥l2的结论，故条件是不必要的，故选项B中的条件是充分而不必要的； 选项C作条件，由于m，n只是平面α内的两条不同直线，这两条直线可能相互平行，故得不到α∥β的必然结论，这个条件是不充分的，但α∥β却能得到选项C，故选项C是必要而不充分条件；选项D作条件，由n∥l2可得n∥β，平面α内的直线m，n分别与平面β平行，由于m，n可能平行，得不到α∥β的必然结论，故这个条件是不充分的，当α∥β时，只能得到m∥β但得不到n∥l2，故条件也不是必要的，故选项D中的条件是既不充分也不必要的．答案：B 本题是教材上两个平面平行的判定定理的推论，隐含了一个必然关系“m，n为相交直线”而设计出来的，目的是考查考生对两个平面平行关系及充分必要关系的掌握．【探究与研究】 解本题很容易出现把充分而不必要条件判断为必要而不充分条件的错误，问题的根源是作为选择题，在题目的叙述上和一般问题中的叙述正好相反．在一般问题的叙述中往往是给出条件P，Q后，设问P是Q的什么条件，其解决方法是看P⇒Q、Q⇒P能不能成立，确定问题的答案，但在选择题中却把“P是Q的什么条件”中的条件P放到了选项中，而把Q放在了题干中，这就容易使考生误以为“Q是P的什么条件”，导致错解题目．考生在解决充要条件的问题时一定要注意题目中所说的什么是P，什么是Q. 解决这类空间线面位置关系的判断题，要善于利用常见的立体几何模型(如长方体模型，空间四边形模型)．作为选择题要善于排除最不可能的选项，如选项A、C，通过简单的回顾两个平面平行的判定定理，首先就可以排除，选项D和选项C基本一致，也可以排除，就剩下了选项B.解答选择题要学会排除法.