直线、平面平行的判定及性质

第七章立体几何第四节直线、平面平行的判定及性质抓基础明考向提能力教你一招我来演练 [备考方向要明了]考什么以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的判定定理与有关性质. 怎么考1.线面平行、面面平行的判定及性质是命题的热点．2.着重考查线线、线面、面面平行的转化及应用．题型多为选择题与解答题. 文字语言图形语言符号语言判定定理平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则直线与此平面平行.a⊄αb⊂αb∥a一、直线与平面平行1．判定定理 2．性质定理文字语言图形语言符号语言性质定理如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行.a∥αa⊂βα∩β＝b 二、平面与平面平行1．判定定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面内有两条与另一个平面平行，则这两个平面平行相交直线a⊂αb⊂αa∩b＝Pa∥βb∥β 2.两平面平行的性质定理文字语言图形语言符号语言性质定理如果两个平行平面时与第三个平面，那么它们的平行相交交线α∥βα∩γ＝aβ∩γ＝b 答案：D解析：由面面平行的定义可知选D.1．(教材习题改编)下列条件中，能判断两个平面平行的是()A．一个平面内的一条直线平行于另一个平面B．一个平面内的两条直线平行于另一个平面C．一个平面内有无数条直线平行于另一个平面D．一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面 答案：D解析：l∥αl∥m，因为l与m也可以异面．反之l∥ml∥α，因为也可以l⊂α内．2．设m，l表示直线，α表示平面，若m⊂α，则l∥α是l∥m的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件 3．(教材习题改编)若直线a平行于平面α，则下列结论错误的是()A．a平行于α内的所有直线B．α内有无数条直线与a平行C．直线a上的点到平面α的距离相等D．α内存在无数条直线与a垂直答案：A解析：A错误，a与α内的直线平行或异面． 4．已知α、β是两个不同的平面，直线a⊂α，直线b⊂β，命题p：a与b没有公共点；命题q：α∥β，则p是q的________条件．答案：必要不充分解析：pq反之q⇒p即p是q的必要不充分条件． 5．(教材习题改编)已知不重合的直线a，b和平面α，①若a∥α，b⊂α，则a∥b；②若a∥α，b∥α，则a∥b；③若a∥b，b⊂α，则a∥α；④若a∥b，a∥α，则b∥α或b⊂α，上面命题中正确的是________(填序号)． 解析：①中a与b可能异面；②中a与b可能相交、平行或异面；③中a可能在平面α内，④正确．答案：④ 1．平行问题的转化方向如图所示： 2．应用判定和性质定理的注意事项在应用线面平行、面面平行的判定定理和性质定理进行平行转化时，一定要注意定理成立的条件，严格按照定理成立的条件规范书写步骤，如：把线面平行转化为线线平行时，必须说清经过已知直线的平面与已知平面相交，则直线与交线平行． [精析考题][例1](2011·福建高考)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上．若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于________． [巧练模拟]——————(课堂突破保分题，分分必保！) 其中真命题的个数为()A．0B．1C．2D．3 答案：C 2．(2012·潍坊模拟)已知m、n、l1、l2表示直线，α、β表示平面．若m⊂α，n⊂α，l1⊂β，l2⊂β，l1∩l2＝M，则α∥β的一个充分条件是()A．m∥β且l1∥αB．m∥β且n∥βC．m∥β且n∥l2D．m∥l1且n∥l2 解析：由定理“如果一个平面内有两条相交直线分别与另一个平面平行，那么这两个平面平行”可得，由选项D可推知α∥β.答案：D [冲关锦囊]解决有关线面平行，面面平行的判定与性质的基本问题要注意1．注意判定定理与性质定理中易忽视的条件，如线面平行的判定定理中条件线在面外易忽视．2．结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断．3．会举反例或用反证法推断命题是否正确. [精析考题])[例2](2011·北京高考改编)如图，在四面体PABC中，PC⊥AB，PA⊥BC，点D，E，F，G分别是棱AP，AC，BC，PB的中点．(1)求证：DE∥平面BCP；(2)求证：四边形DEFG为矩形； [自主解答](1)因为D，E分别为AP，AC的中点，所以DE∥PC.又因为DE⊄平面BCP，PC⊂平面BCP，所以DE∥平面BCP.(2)因为D，E，F，G分别为AP，AC，BC，PB的中点，所以DE∥PC∥FG，DG∥AB∥EF，所以四边形DEFG为平行四边形．又因为PC⊥AB，所以DE⊥DG，所以四边形DEFG为矩形． 解：(1)证明：连接AC1交A1C于点O，连接OD.∵▱ACC1A1中，O为AC1的中点，D为AB的中点，∴OD∥BC1，又BC1⊄平面A1CD，OD⊂平面A1CD，∴BC1∥平面A1CD. [冲关锦囊]1．证明直线与平面平行，一般有以下几种方法(1)若用定义直接判定，一般用反证法；(2)用判定定理来证明，关键是在平面内找(或作)一条直线与已知直线平行，证明时注意用符号语言叙述证明过程；(3)应用两平面平行的一个性质，即两平面平行时，其中一个平面内的任何直线都平行于另一个平面. (2)在段线CB上存在一点F，使得平面DEF∥平面AOC，此时F为线段CB的中点．如图，连接DF，EF，因为D、E分别为AB、OB的中点，所以DE∥OA.又DE⊄平面AOC上，所以DE∥平面AOC.因为E、F分别为OB、BC的中点，所以EF∥OC.又EF⊄平面AOC，所以EF∥平面AOC，又EF∩DE＝E，EF⊂平面DEF，DE⊂平面DEF，所以平面DEF∥平面AOC. [巧练模拟]—————(课堂突破保分题，分分必保！)4．(2012·南昌模拟)已知α、β是平面，m、n是直线，给出下列命题：①若m⊥α，m⊂β，则α⊥β.②若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β.③如果m⊂α，n⊄α，m、n是异面直线，那么n与α相交．④若α∩β＝m，n∥m，且n⊄α，n⊄β，则n∥α且n∥β其中正确命题的个数是()A．1B．2C．3D．4 答案：B解析：对于①，由定理“如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面垂直”得知，①正确；对于②，注意到直线m，n可能是两条平行直线，此时平面α，β可能是相交平面，因此②不正确；对于③，满足条件的直线n可能平行于平面α，因此③不正确；对于④，由定理“如果平面外一条直线平行于平面内一条直线，那么这条直线平行于这个平面”得知，④正确．综上所述，其中正确的命题是①④，选B. 5．(2012·南昌调研)如图，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面是正方形，E、F、G分别是棱B1B、D1D、DA的中点．求证：(1)平面AD1E∥平面BGF；(2)D1E⊥AC. ∵FG是△DAD1的中位线，∴FG∥AD1；又AD1⊄平面BGF，FG⊂平面BGF，∴AD1∥平面BGF.又∵AD1∩D1E＝D1，∴平面AD1E∥平面BGF.(2)连接BD，B1D1，∵底面是正方形，∴AC⊥BD.∵D1D⊥AC，D1D∩BD＝D，∴AC⊥平面BDD1B1.∵D1E⊂平面BDD1B1，∴D1E⊥AC. [冲关锦囊]判定平面与平面平行的方法：1．利用定义；2．利用面面平行的判定定理；3．利用面面平行的判定定理的推论；4．面面平行的传递性(α∥β，β∥γ⇒α∥γ)；5．利用线面垂直的性质(l⊥α，l⊥β⇒α∥β)． 答题模板（七）立体几何中的探索性问题 (2)当点E位于棱SD上靠近D的三等分点处时，可使CE∥平面SAB.(8分)取SD上靠近D的三等分点为E，取SA上靠近点A的三等分点为F，连接CE，EF，BF， [模板建构]本题在解题时易出现的错误一是误认为E是SD中点，二是对于这类探索性问题找不到切入口，入手难．在步骤书写时易忽视“BF⊂平面SAB，CE⊄平面SAB”这一关键条件．解决探索类问题可借鉴答题模板．对于探索类问题，书写步骤的格式有两种：一种是：第一步，探求出点的位置． 第二步，证明符合要求．第三步，给出明确答案．第四步，反思回顾．查看关键点．易错点和答题规范．另一种是：从结论出发，“要使什么成立”，“只须使什么成立”，寻求使结论成立的充分条件，类似于分析法． 点击此图进入