直线与平面平行地判定和性质

实用标准文案【课前复习】温故——会做了，学习新课才会有保障1．空间两直线的位置关系有_______．2．公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么_______．答案：1．平行，相交，异面2．这条直线上所有的点都在这个平面内知新——先看书，再来做一做1．直线a在平面α外是指直线a和平面α_______．2．直线a和平面α的位置关系有_______，其中_______与_______统称直线在平面外，记作_______．3．直线和平面平行的判定定理：_______．4．直线和平面平行的性质定理：_______．【学习目标】1．了解直线与平面的三种位置关系，能用符号语言表示这些关系并能画出正确的图形；2．掌握直线与平面平行的判定定理，并能予以证明；3．掌握直线与平面平行的性质定理，并能用符号语言表示定理的条件和结论；会用性质定理解决有关问题；4．提高空间想象能力，能综合运用知识分析和解决问题．【基础知识精讲】课文全解1．直线和平面的位置关系（1）直线与平面平行的定义：一条直线和平面没有公共点．（2）直线与平面的位置关系及相应的图形与记法．图9-3-1①直线在平面内——有无数个公共点，记作aα，如图9-3-1甲所示；②直线和平面相交——有且只有一个公共点，记作a∩α＝P，如图9-3-1乙所示；③直线和平面平行——没有公共点，记作a∥α，如图9-3-1丙所示．我们把直线和平面相交以及直线和平面平行的情况统称为直线在平面外，记作aα．直线和平面的位置关系可由直线与平面的交点的个数来确定．由公理1，当直线与平面有两个交点时aα；当直线与平面只有一个交点时，a与α相交；当直线与平面无交点时，a∥α．在画图时要注意以下几点：①线在面内：直线不要超出表示平面的平行四边形的各条边．②线面相交：交点到水平线这一段是不可见的，注意画成虚线或不画．③线面平行：直线要与表示平面的平行四边形的一组对边平行．2．直线与平面平行的判定精彩文档 实用标准文案（1）直线与平面平行的定义；（2）直线与平面平行的判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．用符号表示为：若aα，bα，a∥b，则a∥α．直线与平面平行的判定定理的实质是：对于平面外的一条直线，只需在平面内找到一条直线和这条直线平行，就可判定这条直线必和这个平面平行．即由线线平行得到线面平行．3．直线和平面平行的性质定理如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行．用符号表示为：若a∥α，aβ，α∩β＝b，则a∥b．直线和平面平行的性质定理的实质是：已知线面平行，过已知直线作一平面和已知平面相交，其交线必和已知直线平行．即由线面平行线线平行．由线面平行线线平行，并不意味着平面内的任意一条直线都与已知直线平行．正确的结论是：a∥α，若bα，则b与a的关系是：异面或平行．即平面α内的直线分成两大类，一类与a平行有无数条，另一类与a异面，也有无数条．4．判定定理的证明之所以用反证法，是因为有关直线与平面平行的概念只有一个定义，而定义是讲直线与平面无公共点，由于直线可以无限延长，平面可以无限伸展，很难实现直接证明．因为已知条件给出aα，那么直线a与α的位置关系有两种：①a∥α；②a与α相交．在证明过程中，作出与结论相反的假设，即a与α不平行，那么可设a∩α＝A，点Ab，过点A在α内作直线c∥b，由a∥b，则a∥c，这与a∩c＝A矛盾，所以假设不成立，从而a∥α．附：直线与平面的位置关系图表对比：位置关系图形公共点情况表示方法直线在平面内有无数个公共点aα直线与平面平行无公共点a∥αaα直线与平面相交有且只有一个公共点a∩α＝A问题全解1．直线与平面的位置关系有哪些？如何判定？直线和平面的位置关系可按公共点个数分类：无公共点平行；唯一公共点相交；精彩文档 实用标准文案无数个公共点直线在平面内．证明直线在平面内并不用“有无数个公共点”，应用公理1，有两个公共点即可．判断直线和平面相交的方法常用：①证明直线和平面有且只有唯一公共点；②反证法；③转化为平面问题等．其次要会正确画出直线和平面的位置关系．［例1］求证：两条平行线中的一条与已知平面相交，则另一条也和该平面相交．已知：直线a∥b，a∩平面α＝P．求证：直线b与平面α相交．策略：证明直线和平面相交，按定义，须证明直线b和平面α有且只有一个公共点，即（1）直线b与平面α有公共点，（2）直线b和平面α只有一个公共点．解决方法常转化为平面问题解决，解决直线与平面相交，有时也常用反证法．图9-3-2证明：如图9-3-2∵a∥b，∴a与b确定平面β，∵a∩α＝P，∴平面α与平面β相交于过P点的直线，设为l．∵在平面β内l与两条平行直线a、b中的一条直线a相交．∴l必与b相交于Q即b∩l＝Q，又因为b不在平面α内，故直线b和平面α相交．［例2］已知一条直线与一个平面平行，求证经过这个平面内的一点与这条直线平行的直线必在这个平面内．已知：直线a∥平面α，点A∈α，点A∈直线b，且a∥b．求证：bα．策略：直线在平面内的判定方法：（1）公理1；（2）直线与平面位置关系共三种，排除其中两种（相交、平行）即为第三种．证明：（反证法）假设bα，∵A∈α，A∈b．∴b和a相交，∵a∥α，A∈α∴Aa，则过点A和a存在一个平面β，即A∈β，aβ，在β内，过A可作直线b′，使a∥b′且A∈b′又∵a∥b．∴b′∥b这与b∩b′＝A矛盾．∴bα评注：本题结论可作为直线在平面内的又一种判定方法．2．直线与平面平行的判定定理的运用应注意哪些问题？精彩文档 实用标准文案判定一条直线与平面平行除了根据定义外，更主要是依据直线与平面平行的判定定理：如果平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．这个定理用符号表示为：简称为“线线平行，则线面平行”，应用此定理时，要注意三个条件（“内”“外”“平行”）必须齐备，缺一不可．难点：是判定定理的运用．在运用时应注意“内”（平面内的直线），“外”（平面外的直线）二字，通过线与线的平行达到线与面的平行，正确理解掌握它可帮助我们建立空间概念，形成空间想象能力．［例3］P是平行四边形ABCD所在平面外一点，Q是PA的中点，如图9-3-3所示．求证：PC∥平面BDQ图9-3-3策略：线线平行线面平行，注意利用“中点”．证明：连AC交BD于O，连QO．∵ABCD是平行四边形，∴O为AC的中点又Q为PA的中点，∴QO∥PC显然QO平面BDQ，PC平面BDQ∴PC∥平面BDQ．评注：（1）线面平行问题，通常转化为线线平行来处理，如何寻找平行直线自然成为问题的关键．这可通过联想三角形中位线、平行四边形对边、梯形两底边、平行公理等来完成．（2）图中还有哪些线面平行关系？请读者自己写出．3．如何运用直线和平面平行的性质定理解相关问题？线面平行的性质定理给我们提供了一种判断直线平行的方法，但要注意“线面平行线线平行”．不是指面外直线和面内任意一条直线都平行，面外直线只和过此直线的平面与已知平面的交线平行，因此遇线面平行时，应着眼于过面外线且与已知面相交的面，从而找到“交线”，得到线线平行．［例4］求证平面外的两条平行线中的一条平行于这个平面，那么另一条也平行于这个平面．图9-3-4策略：根据题意画出图形，写出已知，求证再证明．由判定定理知，只要在α精彩文档 实用标准文案内找一条直线c∥b即可．已知：直线a∥b，a∥平面α，bα，如图9-3-4所示，求证b∥α证明：过α及平面α内点A作平面β，设β∩α＝c评注：根据条件a∥α，为了利用线面平行的性质，过a作平面β和α相交，辅助平面β起到桥梁作用．实现“线面平行”与“线线平行”的转化．［例5］三个平面两两相交于三条交线，证明这三条交线或平行、或相交于一点．已知：α∩β＝a，β∩γ＝b，γ∩α＝c．图9-3-5求证：a、b、c互相平行或相交于一点．策略：本题考查的是空间三直线的位置关系，我们可以先从熟悉的两条交线的位置关系入手，根据共面的两条直线平行或相交来推论三条交线的位置关系．证明：∵α∩β＝a，β∩γ＝b，∴a、bβ，∴a与b平行或相交．图9-3-6①若a∥b，如图9-3-5中所示．∵bγ，aγ，∴a∥γ．又∵α∩γ＝c，aα，∴a∥c，∴a∥b∥c．②若a与b相交，如图9-3-6所示，设a∩b＝Ｏ，∴O∈a，O∈b又∵a＝α∩β，b＝β∩γ．∴O∈α，O∈γ又∵a∩γ＝c，∴O∈c．∴直线a、b、c交于同一点O．评注：这一结论常用于求一个几何体的截面与各面的交线问题．如正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N分别是CC1、A1B1的中点，画出过点D、M、N的平面与正方体各面的交线，并说明截面多边形是几边形．【学习方法指导】精彩文档 实用标准文案运用直线与平面平行的判定和性质时应注意以下几点：（1）直线与直线平行是直线与平面平行的基础和依据，要论证直线和平面平行只需证直线与直线平行即可．（2）在学习直线和平面平行的判定定理时，应注意“平面外”和“平面内”两个条件．（3）由直线和平面平行可推出直线与直线平行，因此线面平行的性质定理可作为空间图形中直线与直线平行的判定定理．（4）应用性质定理时关键是找过已知直线的平面与已知平面相交，所得的交线不仅得到线线平行的结论，而且起到已知平面内任一条直线与已知直线位置关系的判定作用，即在已知平面内所有与交线平行的直线都与已知直线平行，所有与交线相交的直线都与已知直线异面．证明直线与平面平行，若用定义直接判定，一般用反证法；也可以用判定定理来判定，这里关键是在平面内找（或作）一条直线与已知直线平行．证明时，“aα，bα，a∥b”三个条件缺一不可．同时还要逐步熟悉用符号语言来叙述证明过程．［例1］如图9-3-7所示，四边形ABCD、ADEF都是正方形，M∈BD，N∈AE，且BM＝AN，求证：MN∥面CDE．图9-3-7策略：要证明MN∥平面CDE，根据性质定理可以知道，只要在平面CDE中找到一直线与MN平行即可，因此需要构造过MN的平面与平面CDE相交．平面AMN∩面CDE＝GE，通过MN与GE平行来证，问题得到解决．证明：连结AM，延长交CD于G，连结GE，∵AB∥CD有△AMB∽△GMD，∴．∴MN∥GE．∵GE平面CDE，MN面CDE∴MN∥平面CDE．定理的综合运用在解题中要能够运用类比的思想方法认识“直线和直线平行”与“直线和平面平行”的内在联系；能够运用转化的思想方法将“证明直线和直线平行”的问题与“证明直线和平面平行”的问题互相转化．［例2］如图9-3-8所示，若空间四边形的两条对角线AC，BD的长分别为8，12，求平行两对角线的截面四边形的周长的取值范围．精彩文档 实用标准文案图9-3-8解：设截面四边形EFGH，∵AC∥平面EFGH，且平面ABC∩平面EFGH＝EF，AC平面ABC，∴EF∥AC，∴．同理．所以四边形EFGH的周长C＝2（EF＋EH）＝2（×AC＋×BD）＝2（×8＋×12）＝2（×8＋×8＋×4）＝2（×8＋×4）＝16＋8×．∴当＝0时，Cmin＝16；当＝1时，Cmax＝24．∴截面四边形的周长取值范围为（16，24）【知识拓展】迁移一个显然的事实两条平行线中的一条与已知平面相交，则另一条也与该平面相交．要直接证明它却并不轻松，请看下面的证明．已知 直线a∥b，a∩平面α＝P，求证 b与平面α相交着眼点 转化为平面问题．思路 a和b确定面→α和β有公共点P→α∩β＝l→b∩l＝Q→b∩α＝Q．图9-3-9证明：如图9-3-9精彩文档 实用标准文案∵a∥b，∴a和b确定平面β．∵a∩α＝P，∴平面α和平面β相交于过P点的直线l．∵在平面β内l与两条平行直线a、b中的一条直线a相交，∴l必与b相交于Q，即b∩l＝Q，∴bα且bα（若bα，则α和β都过两相交直线b和l，因此α和β重合，aα，这与已知矛盾），故直线b和平面α相交．说明：证明直线和平面相交的一般方法有：（1）否定直线在平面内，否定直线与平面平行；（2）证明直线与平面只有一个公共点；（3）证明直线在平面外，且只有一个公共点．发散介绍同一法（1）同一法 一个命题，如果它的题设和结论所指的事物都是唯一的，那么原命题和它的逆命题中，只要有一个成立，另一个就一定成立．这个道理叫做同一法则．在符合同一法则的前提下，代替证明原命题而证明它的逆命题成立的一种方法叫做同一法．（2）同一法的一般过程①不从已知条件入手，而另作图形使它具有求证的结论中所提的特性；②证明所作的图形的特性，与已知条件符合；③因为已知条件和求证的结论所指的事物都是唯一的，从而推出所作的图形与已知条件要求的是同一个东西，由此判定原命题成立．（3）反证法与同一法反证法与同一法都是间接证法，但前者证的是原命题的逆否命题；而后者证的是原命题的逆命题，但原命题必须符合同一法则．【同步达纲训练】一、选择题1．下列说法中正确的是（  ）A．直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥α．B．若直线a在平面α外，则a∥αC．若直线a∥b，直线bα，则a∥αD．若直线a∥b，bα，则a就平行于平面α内的无数条直线．图9-3-10精彩文档 实用标准文案2．如图9-3-10，平面四边形EFGH的四个顶点分别在空间四边形ABCD的四条边上，且EH∥FG，则（  ）A．EH∥BD，FGBDB．EH∥BD，FG∥BDC．FG∥BD，EHBDD．有不同于A、B、C的情况3．a、b是两条异面直线，下列结论正确的是（  ）A．过不在a、b上的任一点，可作一个平面与a、b平行B．过不在a、b上的任一点，可作一条直线与a、b相交C．过不在a、b上的任一点，可作一条直线与a、b都平行D．过a可以并且只可以作一平面与b平行4．a、b是两条不相交的直线，则过直线b且平行于a的平面（  ）A．有且只有一个B．至少有一个C．至多有一个D．只能有有限个5．若直线m不平行于平面α，且mα，则下列结论成立的是（  ）A．α内所有直线与m异面B．α内不存在与m平行的直线C．α内存在唯一的直线与m平行D．α内的直线与m都相交二、填空题6．过直线外一点与这直线平行的直线有_______条；过直线外一点与这直线平行的平面有_______个．7．ABCD是空间四边形，E、F、G、H分别是四边上的点，它们共面，且AC∥平面EFGH，BD∥平面EFGH，AC＝m，BD＝n，当EFGH是菱形时，AE∶EB＝_______．三、解答题图9-3-108．如图9-3-10，线段AB、BC、CD是不共面的三线段，E、F、G分别是它们的中点．求证：（1）E、F、G确定一个平面；（2）AC∥平面EFG，BD∥平面EFG．参考答案精彩文档 实用标准文案一、1．解析：由直线l平行于α内的无数条直线，但l可能在平面α内知l不一定平行于α，排除A．直线a在α外包括a∥α和a与α相交，排除B．a∥b，bα，只能说明a、b无公共点，但a可能在α内，故排除C．答案：D2．解析：EH∥FG，EH平面BCD，FG平面BCDEH∥平面BCD．又EH平面ABD．平面BCD∩平面ABD＝BDEH∥BD，EH∥FGFG∥BD．答案：B3．解析：在b上取一点O，如图，显然Oa，过O作直线a′∥a，a′、b确定一平面α，若点P在α上，则过点P不能作出一平面既与a平行又与b平行，故A不正确；同选项A的图一样，当点P∈α，Pb时，若过P作直线l与a相交于Q，有PQ与b异面，不存在过点P且与异面直线a、b都相交的直线，故B不正确；若存在一直线c且c∥a，c∥b，则必有a∥b，与已知矛盾，故C不正确．答案：D4．解析：a、b不相交，所以a、b平行或异面．若a∥b，则过b且不过a的平面都平行于a，这样的平面有无数个；若a、b异面，过b上任一点作直线a′∥a，a′、b确定一平面α，则α∥a．答案：B5．解析：∵mα，且mα．∴m与α一定相交．∴m与α内的直线相交或异面．（∵若α内存在直线a∥m，则m∥α与mα矛盾）．答案：B二、6．1 无数．7．解析：如图，∵AC∥面EFGH，BD∥面EFGH，∴AC∥EF，AC∥HG，BD∥EH，BD∥FG∴EF∥HG，EH∥FG，即四边形EFGH为平行四边形．精彩文档 实用标准文案又∵EFGH为菱形．设EH＝EF＝1，＝x．则即①即②①÷②得：x＝ 即AE∶BE＝m∶n．答案：m∶n．三、8．证明：（1）连结AC、BD，则EF∥AC，FG∥BD．若E、F、G三点共线，则AC∥BD，所以A、B、C、D四点共面，与已知AB、BC、CD不共面矛盾，故E、F、G三点不共线，所以E、F、G三点确定一个平面．（2）∵AC平面EFG，且AC∥EF，EF平面EFG∴AC∥平面EFG，同理可证BD∥平面EFG．精彩文档