直线平面平行判定与性质练习详细与答案

..直线、平面平行的判定及其性质1.下列命题中，正确命题的是④.①若直线l上有无数个点不在平面内，则l∥;②若直线l与平面平行，则l与平面内的任意一条直线都平行；③如果两条平行直线中的一条直线与一个平面平行，那么另一条直线也与这个平面平行；④若直线l与平面平行，则l与平面内的任意一条直线都没有公共点.2.下列条件中，不能判断两个平面平行的是（填序号）.①一个平面内的一条直线平行于另一个平面②一个平面内的两条直线平行于另一个平面③一个平面内有无数条直线平行于另一个平面④一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面答案①②③3.对于平面和共面的直线m、n，下列命题中假命题是（填序号）.①若m⊥，m⊥n，则n∥②若m∥，n∥，则m∥n③若m，n∥，则m∥n④若m、n与所成的角相等，则m∥n答案①②④4.已知直线a,b,平面，则以下三个命题：①若a∥b,b,则a∥;②若a∥b,a∥,则b∥;③若a∥,b∥,则a∥b.其中真命题的个数是.答案05.直线a//平面M,直线bM,那么a//b是b//M的条件.A.充分而不必要B.必要而不充分C.充要D.不充分也不必要6.能保证直线a与平面平行的条件是A.B.C.D.且7.如果直线a平行于平面,则A.平面内有且只有一直线与a平行B.平面内无数条直线与a平行C.平面内不存在与a平行的直线D.平面内的任意直线与直线a都平行8.如果两直线a∥b,且a∥平面,则b与的位置关系A.相交B.C.D.或9.下列命题正确的个数是资料 ..1.（1）若直线l上有无数个点不在平面α内,则l∥α（2）若直线l与平面α平行,则l与平面α内的任意一直线平行（3）两条平行线中的一条直线与一个平面平行,那么另一条也与这个平面平行（4）若一直线a和平面α内一直线b平行,则a∥αA.0个B.1个C.2个D.3个2.b是平面α外的一条直线，下列条件中可得出b∥α是A.b与α内的一条直线不相交B.b与α内的两条直线不相交C.b与α内的无数条直线不相交D.b与α内的所有直线不相交3.已知两条相交直线a、b，a∥平面α，则b与α的位置关系A.b∥αB.b与α相交C.bαD.b∥α或b与α相交4.如图所示，已知S是正三角形ABC所在平面外的一点，且SA=SB=SC，SG为△SAB上的高，D、E、F分别是AC、BC、SC的中点，试判断SG与平面DEF的位置关系，并给予证明.解SG∥平面DEF，证明如下：方法一：三角形中位线连接CG交DE于点H，如图所示.∵DE是△ABC的中位线，∴DE∥AB.在△ACG中，D是AC的中点，且DH∥AG.∴H为CG的中点.∴FH是△SCG的中位线，∴FH∥SG.又SG平面DEF，FH平面DEF，∴SG∥平面DEF.方法二：平面平行的性质∵EF为△SBC的中位线，∴EF∥SB.∵EF平面SAB，SB平面SAB，∴EF∥平面SAB.同理可证，DF∥平面SAB，EF∩DF=F，∴平面SAB∥平面DEF，又SG平面SAB，∴SG∥平面DEF.5.如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是BC、CC1、C1D1、A1A的中点.求证：（1）BF∥HD1；（2）EG∥平面BB1D1D；（3）平面BDF∥平面B1D1H.证明平行四边形的性质，平行线的传递性（1）如图所示，取BB1的中点M，易证四边形HMC1D1是平行四边形，∴HD1∥MC1.又∵MC1∥BF，∴BF∥HD1.资料 ..（2）取BD的中点O，连接EO，D1O，则OEDC，又D1GDC，∴OED1G，∴四边形OEGD1是平行四边形，∴GE∥D1O.又D1O平面BB1D1D，∴EG∥平面BB1D1D.（3）由（1）知D1H∥BF，又BD∥B1D1，B1D1、HD1平面HB1D1，BF、BD平面BDF，且B1D1∩HD1=D1，DB∩BF=B，∴平面BDF∥平面B1D1H.1.如图所示，在三棱柱ABC—A1B1C1中，M、N分别是BC和A1B1的中点.求证：MN∥平面AA1C1C.证明方法一：平行四边形的性质设A1C1中点为F，连接NF，FC，∵N为A1B1中点，∴NF∥B1C1，且NF=B1C1，又由棱柱性质知B1C1BC，又M是BC的中点，∴NFMC，∴四边形NFCM为平行四边形.∴MN∥CF，又CF平面AA1C1，MN平面AA1C1，∴MN∥平面AA1C1C.方法二：三角形中位线的性质连接AM交C1C于点P，连接A1P，∵M是BC的中点，且MC∥B1C1，∴M是B1P的中点，又∵N为A1B1中点，∴MN∥A1P，又A1P平面AA1C1，MN平面AA1C1，∴MN∥平面AA1C1C.方法三：平面平行的性质设B1C1中点为Q，连接NQ，MQ，∵M、Q是BC、B1C1的中点，∴MQCC1，又CC1平面AA1C1C，MQ平面AA1C1C，∴MQ∥平面AA1C1C.∵N、Q是A1B1、B1C1的中点，∴NQA1C1，又A1C1平面AA1C1C，NQ平面AA1C1C，∴NQ∥平面AA1C1C.又∵MQ∩NQ=B，∴平面MNQ∥平面AA1C1C，又MN平面MNQ∴MN∥平面AA1C1C.2.如图所示，正方体ABCD—A1B1C1D1中，侧面对角线AB1，BC1上分别有两点E，F，且B1E=C1F.求证：EF∥平面ABCD.资料 ..方法一：平行四边形的性质过E作ES∥BB1交AB于S，过F作FT∥BB1交BC于T，连接ST，则，且∵B1E=C1F，B1A=C1B，∴AE=BF∴，∴ES=FT又∵ES∥B1B∥FT，∴四边形EFTS为平行四边形.∴EF∥ST，又ST平面ABCD，EF平面ABCD，∴EF∥平面ABCD.方法二：相似三角形的性质连接B1F交BC于点Q，连接AQ，∵B1C1∥BC，∴∵B1E=C1F，B1A=C1B，∴∴EF∥AQ，又AQ平面ABCD，EF平面ABCD，∴EF∥平面ABCD.方法三：平面平行的性质过E作EG∥AB交BB1于G，连接GF，则，∵B1E=C1F，B1A=C1B，∴，∴FG∥B1C1∥BC，又EG∩FG=G，AB∩BC=B，∴平面EFG∥平面ABCD，而EF平面EFG，∴EF∥平面ABCD.1.如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO？解面面平行的判定当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO.∵Q为CC1的中点，P为DD1的中点，∴QB∥PA.∵P、O为DD1、DB的中点，∴D1B∥PO.又PO∩PA=P，D1B∩QB=B，D1B∥平面PAO，QB∥平面PAO，∴平面D1BQ∥平面PAO.直线与平面平行的性质定理资料 ..1.如图所示，四边形EFGH为空间四边形ABCD的一个截面，若截面为平行四边形.（1）求证：AB∥平面EFGH，CD∥平面EFGH.（2）若AB=4，CD=6，求四边形EFGH周长的取值范围.（1）证明∵四边形EFGH为平行四边形，∴EF∥HG.∵HG平面ABD，∴EF∥平面ABD.∵EF平面ABC，平面ABD∩平面ABC=AB，∴EF∥AB.∴AB∥平面EFGH.同理可证，CD∥平面EFGH.(2)解设EF=x（0＜x＜4），由于四边形EFGH为平行四边形，∴.则===1-.从而FG=6-.∴四边形EFGH的周长l=2(x+6-)=12-x.又0＜x＜4,则有8＜l＜12,∴四边形EFGH周长的取值范围是（8，12）.2.如图所示，平面∥平面，点A∈，C∈，点B∈，D∈,点E，F分别在线段AB，CD上，且AE∶EB=CF∶FD.（1）求证：EF∥;（2）若E，F分别是AB，CD的中点，AC=4，BD=6，且AC，BD所成的角为60°，求EF的长.（1）证明两个平行平面同时与第三个平面相交，则交线平行；平行线分线段成比例方法①当AB，CD在同一平面内时，由∥，平面∩平面ABDC=AC，平面∩平面ABDC=BD，∴AC∥BD，∵AE∶EB=CF∶FD，∴EF∥BD，又EF,BD,∴EF∥.方法②当AB与CD异面时，设平面ACD∩=DH，且DH=AC.∵∥，∩平面ACDH=AC，∴AC∥DH，∴四边形ACDH是平行四边形，在AH上取一点G，使AG∶GH=CF∶FD，又∵AE∶EB=CF∶FD，∴GF∥HD，EG∥BH，又EG∩GF=G，∴平面EFG∥平面.∵EF平面EFG，∴EF∥.综上，EF∥.（2）解三角形中位线如图所示，连接AD，取AD的中点M，连接ME，MF.∵E，F分别为AB，CD的中点，∴ME∥BD，MF∥AC，资料 ..且ME=BD=3，MF=AC=2，∴∠EMF为AC与BD所成的角（或其补角），∴∠EMF=60°或120°，∴在△EFM中由余弦定理得，EF===，即EF=或EF=.1.正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于AB，在AE、BD上各有一点P、Q，且AP=DQ.求证：PQ∥平面BCE.证明方法一：平行四边形的性质如图所示，作PM∥AB交BE于M，作QN∥AB交BC于N，连接MN.∵正方形ABCD和正方形ABEF有公共边AB，∴AE=BD.又∵AP=DQ，∴PE=QB，又∵PM∥AB∥QN，∴，，，∴PMQN，∴四边形PMNQ为平行四边形，∴PQ∥MN.又MN平面BCE，PQ平面BCE，∴PQ∥平面BCE.方法二：相似三角形的性质如图所示，连接AQ，并延长交BC于K，连接EK，∵AE=BD，AP=DQ，∴PE=BQ，∴=①又∵AD∥BK，∴=②由①②得=，∴PQ∥EK.又PQ平面BCE，EK平面BCE，∴PQ∥平面BCE.方法三：平面平行的性质如图所示，在平面ABEF内，过点P作PM∥BE，交AB于点M，连接QM.∵PM∥BE，PM平面BCE，即PM∥平面BCE，资料 ..∴=①又∵AP=DQ，∴PE=BQ，∴=②由①②得=，∴MQ∥AD，∴MQ∥BC，又∵MQ平面BCE，∴MQ∥平面BCE.又∵PM∩MQ=M，∴平面PMQ∥平面BCE，PQ平面PMQ，∴PQ∥平面BCE.1.如图所示，正四棱锥P—ABCD的各棱长均为13，M，N分别为PA，BD上的点，且PM∶MA=BN∶ND=5∶8.（1）求证：直线MN∥平面PBC；（2）求线段MN的长.（1）证明：方法一：相似三角形的性质连接AN并延长交BC于Q，连接PQ，如图所示.∵AD∥BQ，∴△AND∽△QNB，∴===，又∵==，∴==，∴MN∥PQ，又∵PQ平面PBC，MN平面PBC，∴MN∥平面PBC.方法二：平行四边形的性质如图所示，作MQ∥AB交PB于Q，作NR∥AB交BC于R，连接QR.∵MQ∥AB∥NR，∴，，又∵，∴MQNR，∴四边形MNRQ为平行四边形，∴MN∥QR.又QR平面PBC，MN平面PBC，∴MN∥平面PBC.方法三：平面平行的性质如图所示，在平面ABP内，过点M作MN∥PB，交AB于点O，资料 ..连接ON.∵MO∥PB，MO平面PBC，PB平面PBC即MO∥平面PBC，∴=又∵==，∴=,∴NO∥AD，∴NO∥BC，又∵NO平面PBC，BC平面PBC∴NO∥平面PBC.又∵MO∩NO=O，∴平面MNO∥平面PBC，MN平面MNO，∴MN∥平面PBC.（2）解在等边△PBC中，∠PBC=60°，在△PBQ中由余弦定理知PQ2=PB2+BQ2-2PB·BQcos∠PBQ=132+-2×13××=，∴PQ=，∵MN∥PQ，MN∶PQ=8∶13，∴MN=×=7.资料