直线、平面平行地判定及其性质

实用标准文案直线、平面平行的判定及其性质                  撰稿：江用科  责编：丁会敏一、目标认知学习目标：  1．理解并掌握直线与平面平行的判定定理；  2．理解并掌握两平面平行的判定定理；  3．掌握直线与平面平行的性质定理及其应用；  4．掌握两个平面平行的性质定理及其应用.重点：  1．直线与平面平行的判定定理及应用；  2．两个平面平行的判定；  3．两个性质定理.难点：  1．直线与平面平行的判定定理及应用；  2．平面与平面平行的判定定理、例题的证明；  3．性质定理的证明和运用.二、知识要点梳理知识点一：直线和平面平行的判定  直线和平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行.  简记为：线线平行，则线面平行.  符号表示：、，.         知识点二：两平面平行的判定  两个平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行.  符号表示：若、，，且、，则.        知识点三：直线和平面平行的性质精彩文档 实用标准文案  直线和平面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行.  简记为：线面平行则线线平行.  符号表示：若，，，则.       知识点四：平面和平面平行的性质  平面和平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行.  符号表示：若，，，则.      三、规律方法指导  1．直线、平面之间的平行关系：  线线平行线面平行面面平行.  2．有关线面、面面平行的判定与性质，可按下面的口诀去记忆：  空间之中两直线，平行相交和异面．  线线平行同方向，等角定理进空间．  判断线和面平行，面中找条平行线；  已知线和面平行，过线作面找交线．  要证面和面平行，面中找出两交线．  线面平行若成立，面面平行不用看．  已知面与面平行，线面平行是必然．  若与三面都相交，则得两条平行线．经典例题透析类型一：直线与平面平行的证明  1．已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，E、F分别为AB、PD的中点，求证：AF∥平面PEC.                   思路点拨：证明线面平行，根据判定定理，作出平行四边形，利精彩文档 实用标准文案用平行四边形的性质，证明平面外直线与平面上的直线平行.  证明：设PC的中点为G，连接EG、FG．     ∵F为PD中点，∴GF∥CD且GF=CD．     ∵AB∥CD，AB=CD，E为AB中点，     ∴GF∥AE，GF=AE，四边形AEGF为平行四边形．     ∴EG∥AF，     又∵AF平面PEC，EG平面PEC，∴AF∥平面PEC．  总结升华：要证明直线和平面平行，只须在平面内找到一条直线和已知直线平行就可以了．注意适当添加辅助线，重视中位线在解题中的应用．  举一反三：  【变式1】（2010安徽）如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，EF∥AB，EF⊥FB，AB=2EF，∠BFC=，BF=FC，H为BC的中点．                    (1)求证：FH∥平面EDB；  解法一：  (1)证明：设AC与BD交于点G，则G为AC的中点，连EG，GH，又H为BC的中点，      ∴GH．又EF，      ∴EFGH．      ∴四边形EFHG为平行四边形，      ∴EG∥FH，而EG平面EDB，      ∴FH∥平面EDB．  【变式2】（2011山东理19）在如图所示的几何体中，四边形为平行四边形，，，．  （Ⅰ）若是线段的中点，求证：平面；精彩文档 实用标准文案                 （I）证明：    因为，    所以∽，    由于，    因此，BC=2FG，    连接，由于，    在中，是线段的中点，    则，且，    因此且，    所以四边形为平行四边形，    因此    又平面，平面，    所以平面．类型二：平面与平面平行的证明  2．如右图，在正方体中，M、N、P分别是、、的中点，求证：平面MNP∥平面.  思路点拨：利用平面与平面的判定定理.  证明：连结，∵P、N分别是、的中点，∴PN∥．     又∥BD，∴PN∥精彩文档 实用标准文案BD．     又PN不在平面上，∴PN∥平面．     同理，MN∥平面．又PN∩MN=N，∴平面PMN∥平面．  3．正方体中．  (1)求证：平面∥平面；  (2)若E、F分别是、的中点，求证：平面∥平面FBD．  证明：  (1)由，，得四边形是平行四边形，   ∴，   又BD平面，平面，∴BD∥平面．   同理∥平面．而，   ∴平面∥平面．  (2)由BD∥，得BD∥平面．取中点G，∴AE∥．   从而得∥AG，同理GF∥AD．∴AG∥DF．∴∥DF．   ∴DF∥平面，，∴平面∥平面FBD．  总结升华：由比例线段得到线线平行，依据线面平行的判定定理得到线面平行，证得两条相交直线平行于一个平面后，转化为面面平行．一般证“面面平面”问题最终转化为证线与线的平行.  举一反三：  【变式1】直四棱柱中，底面ABCD为正方形，边长为2，侧棱，M、N分别为、的中点，E、F分别是、的中点．  (1)求证：平面AMN∥平面EFDB；  (2)求平面AMN与平面EFDB的距离．精彩文档 实用标准文案                 答案:  (1)证明：连接，分别交MN、EF于P、Q．连接AC      交BD于O，连接AP、OQ．      由已知可得MN∥EF，∴MN∥平面EFDB．      由已知可得，PQ∥AO且PQ=AO．      ∴AP∥OQ．∴AP∥EFDB平面，，      ∴平面AMN∥平面EFDB． (2)解：过A1作平面AMN与平面EFDB的垂线，垂足为H、，易得，     由，     根据     则     解得．     所以，平面AMN与平面EFDB的距离为精彩文档 实用标准文案.类型三：直线与平面平行的性质  4．经过正方体的棱作一平面交平面于，求证：∥.  证明：∵，平面，平面，     ∴∥平面．     又平面，平面平面，     ∴∥．     则.  5．如图，AB∥，AC∥BD，，，求证：AC=BD.  证明：连结CD，     ∵AC∥BD，     ∴直线AC和BD可以确定一个平面，记为，     ∵，，∴，     ∵AB∥，AB，，∴AB∥CD，     又∵AC∥BD，∴四边形ACDB为平行四边形，     ∴AC=BD.  总结升华：利用直线与平面平行解决问题的转化过程是“由已知线线平行→线面平行→线线平行→线面平行.类型四：平面与平面平行的性质  6．如图，设平面∥平面，AB、CD是两异面直线，M、N分别是AB、CD的中点，且A、C，B、D．求证：MN∥．精彩文档 实用标准文案                       证明：连接BC，取BC的中点E，分别连接ME、NE，     则ME∥AC，     ∴ME∥平面，     又NE∥BD，∴NE∥平面，     又ME∩NE=E，∴平面MEN∥平面，     ∵MN平面MEN，∴MN∥．  7．如图，在正三棱柱中，E、F、G是侧面对角线上的点，且BE=CF=AG，求证：平面EFG∥平面ABC．  证明：作于P，连接PF．     在正三棱柱的侧面中，     易知，又，所以；     ∴，EP∥平面ABC．     又∵BE=CF，，∴，     ∴PF∥BC，则PF∥平面ABC．     ∵EPPF=P，∴平面PEF∥平面ABC．     ∵EF平面PEF，∴EF∥平面ABC．同理，GF∥平面ABC．     ∵EFGF=F，∴平面EFG∥平面ABC．  8．如图，已知正方体中，面对角线、上分别有两点E、F，且，求证：EF∥平面ABCD．精彩文档 实用标准文案                   证明：  证法一：过E、F分别作AB、BC的垂线EM、FN分别交AB、BC于M、N，连接MN．                     ∵⊥平面ABCD，∴⊥AB，⊥BC，      ∴EM∥，FN∥，∴EM∥FN，      ∵=，=，∴AE=BF，又∠=∠=45°，      ∴Rt△AME≌Rt△BNF，∴EM=FN．      ∴四边形MNFE是平行四边形，∴EF∥MN．      又MN平面ABCD，∴EF∥平面ABCD．  证法二：过E作EG∥AB交于G，连接GF，      ∴，，，      ∴，∴FG∥∥BC．      又∵EGFG=G，ABBC=B，∴平面EFG∥平面ABCD．      又EF平面EFG，∴EF∥平面ABCD．  总结升华：在熟知线面平行、面面平行的判定与性质之后，空间平行问题的证明，紧紧抓住“线线平行线面平行面面平行”之间的互相转化而完成证明．将空间问题转化为平面问题，是解决立体几何问题的重要策略，关键在于选择或添加适当的平面或直线，并抓住一些平面图形的几何性质．学习成果测评基础达标：一、选择题精彩文档 实用标准文案  1．（2010山东济南模拟）平面平面的一个充分条件是  A．存在一条直线a，，  B．存在一条直线a，，  C．存在两条平行直线a、b，，，，  D．存在两条异面直线a、b，，，，  2．以下说法(其中a、b表示直线，表示平面)   ①若a∥b，b，则a∥   ②若a∥，b∥，则a∥b   ③若a∥b，b∥，则a∥   ④若a∥，b，则a∥b   其中正确说法的个数是( )  A．0个    B．1个    C．2个    D．3个  3．已知a、b是两条相交直线，a∥，则b与的位置关系是( )  A．b∥   B．b与相交    C．b    D．b∥或b与相交  4．如果平面外有两点A、B，它们到平面的距离都是a，则直线AB和平面的位置关系一定是( )  A．平行  B．相交   C．平行或相交    D．AB  5．如果点M是两条异面直线外的一点，则过点M且与a、b都平行的平面( )  A．只有一个 B．恰有两个  C．或没有，或只有一个  D．有无数个  6．下列说法正确的是( )  A．一条直线和一个平面平行，它就和这个平面内的任一条直线平行  B．平行于同一平面的两条直线平行  C．如果一个平面内的无数条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行  D．如果一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行  7．在下列条件中，可判断平面与平行的是( )  A．、都平行于直线  B．内存在不共线的三点到的距离相等  C．、m是内两条直线，且∥，m∥  D．、m是两条异面直线，且∥，m∥，∥，m∥精彩文档 实用标准文案  8．下列说法正确的是( )  A．垂直于同一条直线的两条直线平行   B．平行于同一个平面的两条直线平行  C．平行于同一条直线的两个平面平行   D．平行于同一个平面的两个平面平行  9．（2011湖南雅礼中学）下列四个正方体图形中，为正方体的两个顶点，、、分别   是为其所在棱的中点，能得出的图形的序号是( )                 A．①③  B．①④  C．②③  D．②④( )   10．不在同一直线上的三点A、B、C到平面的距离相等，且A，则( )  A．∥平面ABC         B．△ABC中至少有一边平行于  C．△ABC中至多有两边平行于  D．△ABC中只可能有一条边与平行  11．（2010江苏南京模拟）对于不重合的两个平面与，给定下列条件：    ①存在平面，使得、都垂直于；    ②存在平面，使得、都平行于；    ③存在直线，直线，使得；    ④存在异面直线、，使得，，，．    其中，可以判定与平行的条件有  A．1个   B．2个   C．3个   D．4个  12．梯形ABCD中AB∥CD，AB平面，CD平面，则直线CD与平面精彩文档 实用标准文案内的直线的位置关系只能    是( )  A．平行  B．平行和异面  C．平行和相交  D．异面和相交  13．一条直线若同时平行于两个相交平面，那么这条直线与这两个平面的交线的位置关系是( )  A．异面  B．相交  C．平行   D．不能确定  14．若直线a、b均平行于平面，则a与b的关系是(  )  A．平行   B．相交   C．异面   D．平行或相交或异面  15．下列说法正确的是(  )  A．如果两个平面有三个公共点，那么它们重合  B．过两条异面直线中的一条可以作无数个平面与另一条直线平行  C．在两个平行平面中，一个平面内的任何直线都与另一个平面平行  D．如果两个平面平行，那么分别在两个平面中的两条直线平行  16．已知∥，，，则在内过点B的所有直线中( )  A．不一定存在与a平行的直线   B．只有两条与a平行的直线  C．存在无数条与a平行的直线   D．存在唯一一条与a平行的直线  17．下列说法正确的是( )  A．直线外一点有且只有一个平面与已知直线平行  B．经过两条平行线中一条有且只有一个平面与另一条直线平行  C．经过平面外一点有且只有一条直线与已知平面平行  D．经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行二、填空题  1．已知P是正方体的棱上任意一点，则在正方体的12条棱中，与平面ABP平行   的是      ．  2．已知直线a、b，平面、，且a∥b，a∥，∥，则直线与平面的位置关系   为      ．  3．已知a、b、c是三条不重合直线，、、是三个不重合的平面，下列说法中：  ⑴a∥c，b∥ca∥b；    ⑵a∥，b∥a∥b； ⑶c∥，c∥∥；  ⑷∥，∥∥；⑸a∥c，∥ca∥； ⑹a∥，∥a∥．  其中正确的说法依次是          精彩文档 实用标准文案．  4．（2010湖南郴州模拟）设、、是三个不重合的平面，是直线，给出下列四个命题：  ①若，，则；  ②若，，则；  ③若上有两点到的距离相等，则；  ④若，，则．其中正确命题的序号是________．  5．已知平面∥，，有下列说法：①a与内的所有直线平行；②a与内无数条直线平   行；③a与内的任意一条直线都不垂直．其中正确的序号依次是    .三、解答题  1．平面与△ABC的两边AB、AC分别交于D、E，且AD∶DB=AE∶EC，求证：BC∥平面.                   2．在棱长为a的正方体中，E，F，G，M，N，Q分别是棱，，，，，CD的中点，求证：平面EFG∥平面MNQ．  3．两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，MAC，NFB，且AM=FN，过M作MH⊥AB于H.   求证：(1)平面MNH∥平面BCE；      (2)MN∥平面BCE．                  精彩文档 实用标准文案  4．如图，空间四边形ABCD被一平面所截，截面EFGH是平行四边形．   求证：CD∥平面EFGH；           能力提升：一、选择题  1．已知是过正方体的顶点的平面与下底面所在平面的交线，下列   结论错误的是()  A．∥       B．BD∥平面     C．∥平面    D．⊥  2．在正方体中，下列四对截面中，彼此平行的一对   截面是()  A．与    B．与  C．与    D．与  3．已知平面∥平面，P是、外一点，过点P的直线m与、分别交于点A、C，过点P的直线   n与、分别交于点B、D，且PA=6，AC=9，PD=8，则BD的长为()  A．16  B．24或   C．14   D．20二、填空题精彩文档 实用标准文案  1．过三棱锥A－BCD的棱AB、BC、CD的中点M、N、P作平面MNP，三棱锥的六条棱中与平面MNP平行的   是______________；若AC与BD成90°角，AC=6，BD=8，则截面四边形的面积是___________．  2．已知正方体的棱长为1，点P是的面的中心，点Q是面的对角   线上一点，且PQ∥平面，则线段PQ的长为________________．                     3．设平面∥，A、C，B、D，直线AB与CD交于S，若AS=18，BS=9，CD=34，则SC=_____．三、解答题  1．P是平行四边形ABCD所在平面外一点，E为PB的中点，O为AC，BD的交点．(1)求证：EO∥平面PCD；(2)图中EO还与哪个平面平行？                    2．P是ABC所在平面外一点，、、分别是、、的重心.  (1)求证：平面∥平面ABC；(2)求．  3．如图，直线AB和CD是异面直线，AB∥，CD∥，AC=M，BD=N，求证：精彩文档 实用标准文案．                  4．(2011山东文19)如图，在四棱台中，平面，底面ABCD是平行四边形，,,．  证明：．                   5．已知平面，，，且∥，∥，求证：∥．综合探究：  三角形的三条中线交于一点，该点称为三角形的重心，且到顶点的距离等于到对边中点距离的2倍．这一结论叫做三角形的重心定理．在四面体ABCD中，M、N分别是面△ACD、△BCD的重心，在四面体的四个面中，与MN平行的是哪几个面？试证明你的结论．                   答案与解析：基础达标：  一、选择题：  1.D  解析：若，，，，，，故排除A．     若，，，则精彩文档 实用标准文案，故排除B．     若，，，，，则，，故排除C．     故选D  2．A 3．D 4．C 5．A 6．D 7．D 8．D9.B10．B  11.B  解析：由线面位置关系不难知道②④正确．  12．B 13．C 14．D 15．C 16．D 17．D  二、填空题  1．DC、、.  2．或.  3．(1)、(4)．  4．②④  解析：②④正确．①中，可能在上；③中，可能与相交．  5．②.  三、解答题  1．证明：在△ABC中，∵AD∶DB=AE∶EC，∴BC∥DE．      又∵BC，DE，∴BC∥．  2．证明：由已知EF∥，∥，∥QN，EF∥QN，同理FG∥MQ，      所以，平面EFG∥平面MNQ．  3．证明：(1)∵正方形ABCD中，MH⊥AB，∴则MH∥BC，        连结NH，由BF=AC，FN=AM，得，∴NH∥AF∥BE．        由MH∥BC，NH∥BE，∴平面MNH∥平面BCE．      (2)∵MN平面MNH，平面MNH∥平面BCE，∴MN∥平面BCE．  4．证明：∵EFGH是平行四边形，∴EF∥GH，      又∵EF平面BDC，GH平面BDC，∴EF∥平面BDC．      ∵EF平面ADC，平面ADC∩平面BDC=DC，∴EF∥DC，∴CD∥平面EFGH．能力提升：精彩文档 实用标准文案  一、选择题  1.D 2.B 3.B  二、填空题  1．BD、AC；12.  2．.  3．68或．  三、解答题  1．(1)证明：∵在平行四边形ABCD中，O为AC、BD的交点，∴O为BD的中点       又∵在△PBD中，E为PB的中点，∴EO∥PD       ∵EO平面PCD、PD平面PCD       ∴EO∥平面PCD．   (2)图中EO还与平面PAD平行．  2．证明：分别连，，并延长分别交BC、AC、AB于D、E、F      则D、E、F分别是BC、CA、AB的中点．∴，∴∥FD      同理∥DE．∴平面∥平面ABC．      (2)∵∥DE，∴，又DE=        ∴，易证∽．∴．  3．证明：如图，连结AD交平面于点Q，连结MQ、QN．      ，      ；      精彩文档 实用标准文案.                 4．证明：  (2)连结,设,连结,由底面是平行四边形得:是的中点,由四棱   台知:平面∥平面,   因为这两个平面同时都和平面相交,交线分别为、，故，   又因为,，所以可由余弦定理计算得，   又因为,，所以可由余弦定理计算得，   所以且，故四边形是平行四边形，所以，   又平面，平面，所以.  5．证明：在平面内取两条相交直线a、b，      分别过a、b作平面，，      使它们分别与平面交于两相交直线、，      ∵∥，∴∥，∥，      又∵∥，同理在平面内存在两相交直线、，      使得∥，∥精彩文档 实用标准文案，      ∴∥，∥，∴∥．综合探究：  解：连结AM并延长，交CD于E，连结BN并延长交CD于F，由重心性质可知，E、F重合为一点，    且该点为CD的中点E，由得MN∥AB，    因此，MN∥平面ABC，且MN∥平面ABD．精彩文档