平面与平面平行的判定

2.2.2 平面与平面平行的判定课时过关·能力提升一、基础巩固1.已知平面α内的两条直线a,b,a∥β,b∥β,若要得出平面α∥平面β,则直线a,b的位置关系是(  )A.相交B.平行C.异面D.垂直解析:根据面面平行的判定定理可知a,b相交.答案:A2.在正方体EFGH-E1F1G1H1中,下列四对平面彼此平行的一对是(  )A.平面E1FG1与平面EGH1B.平面FHG1与平面F1H1GC.平面F1H1H与平面FHE1D.平面E1HG1与平面EH1G解析:如图,易证E1G1∥平面EGH1,G1F∥平面EGH1.因为E1G1∩G1F=G1,所以平面E1FG1∥平面EGH1.答案:A3.已知点P是平面α外一点,则过点P且平行于平面α的平面有(  )A.0个B.1个C.2个D.无数个 解析:在α内任取两条相交直线m,n,过点P分别作平行于m,n的直线m',n',则m'∥α,n'∥α.又m'和n'是两条相交直线,所以m'和n'确定的平面β平行于平面α.又m'和n'是唯一的,所以β是唯一的.答案:B4.如图,若E,F,E1,F1分别是长方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB,CD,A1B1,C1D1的中点,则平面EFD1A1与平面BCF1E1的位置关系是(  )A.平行B.相交C.异面D.不确定解析:因为E1和F1分别是A1B1和D1C1的中点,所以A1D1∥E1F1.又A1D1⊄平面BCF1E1,E1F1⊂平面BCF1E1,所以A1D1∥平面BCF1E1.又E1和E分别是A1B1和AB的中点,所以A1E1?BE,即四边形A1EBE1是平行四边形,所以A1E∥BE1.又A1E⊄平面BCF1E1,BE1⊂平面BCF1E1,所以A1E∥平面BCF1E1.又A1E⊂平面EFD1A1,A1D1⊂平面EFD1A1,A1E∩A1D1=A1,所以平面EFD1A1∥平面BCF1E1.答案:A5.如果两个平面分别平行于第三个平面,那么这两个平面的位置关系是     . 答案:平行6.若平面α内任意一条直线均平行于平面β,则平面α与平面β的位置关系是    . 解析:由于平面α内任意一条直线均平行于平面β,则平面α内肯定有两条相交直线平行于平面β,所以α∥β.答案:平行 7.在如图所示的几何体中,三个侧面AA1B1B,BB1C1C,CC1A1A都是平行四边形,则平面ABC与平面A1B1C1的位置关系是     . 解析:因为侧面AA1B1B是平行四边形,所以AB∥A1B1.因为AB⊄平面A1B1C1,A1B1⊂平面A1B1C1,所以AB∥平面A1B1C1.同理可证BC∥平面A1B1C1.又因为AB∩BC=B,AB⊂平面ABC,BC⊂平面ABC,所以平面ABC∥平面A1B1C1.答案:平行8.如图,已知长方体ABCD-A1B1C1D1,求证:平面A1BD∥平面CB1D1.证明:在长方体ABCD-A1B1C1D1中,易证A1B∥D1C.因为A1B⊄平面CB1D1,D1C⊂平面CB1D1,所以A1B∥平面CB1D1.同理可证A1D∥平面CB1D1.又A1B⊂平面A1BD,A1D⊂平面A1BD,A1B∩A1D=A1,所以平面A1BD∥平面CB1D1.二、能力提升1.若经过平面α外的两点作与α平行的平面,则这样的平面可以作(  )A.1个或2个B.0个或1个C.1个D.0个解析:当两点确定的直线与α平行时,可作一个平面与α平行;当过两点的直线与α相交时,不能作与α平行的平面. 答案:B2.已知点M,直线l,m,平面α,β,下列命题正确的是(  )A.l∥β,l⊂α⇒α∥βB.l∥β,m∥β,l⊂α,m⊂α⇒α∥βC.l∥m,l⊂α,m⊂β⇒α∥βD.l∥β,m∥β,l⊂α,m⊂α,l∩m=M⇒α∥β解析:如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,直线AB∥CD,则直线AB∥平面DC1,直线AB⊂平面AC,但是平面AC与平面DC1不平行,所以选项A错误;取BB1的中点E,CC1的中点F,连接EF,则可证EF∥平面AC,B1C1∥平面AC.又EF⊂平面BC1,B1C1⊂平面BC1,但是平面AC与平面BC1不平行,所以选项B错误;直线AD∥B1C1,AD⊂平面AC,B1C1⊂平面BC1,但平面AC与平面BC1不平行,所以选项C错误;很明显选项D是两个平面平行的判定定理,所以选项D正确.答案:D★3.如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,A1B1的中点是P,过点A1作与截面PBC1平行的截面,则该截面的面积为(  )A.22B.23C.26D.4解析:由题意作的截面如图所示,易知该截面唯一,且E,F分别为AB,D1C1的中点.又在正方体中,可得A1E=CE=CF=FA1=5,所以四边形A1ECF为菱形.又A1C=23,EF=22,故截面面积为26. 答案:C4.如图是一个几何体的平面展开图,其中四边形ABCD为正方形,E,F,G,H分别为PA,PD,PC,PB的中点,在此几何体中,给出下面五个结论:①平面EFGH∥平面ABCD;②PA∥平面BDG;③EF∥平面PBC;④FH∥平面BDG;⑤EF∥平面BDG.其中正确结论的序号是     . 解析:先把图形还原为一个四棱锥,再根据线面平行、面面平行的判定定理判断可知①②③④正确.答案:①②③④5.如图是正方体的平面展开图,在这个正方体中,①BM∥平面DE;②CN∥平面AF;③平面BDM∥平面AFN;④平面BDE∥平面NCF. 以上四个命题中,正确命题的序号是     . 解析:展开图可以折成如图甲所示的正方体.图甲图乙在正方体中,连接AN,如图乙所示.因为AB∥MN,且AB=MN,所以四边形ABMN是平行四边形.所以BM∥AN.因为BM⊄平面DE,AN⊂平面DE,所以BM∥平面DE.同理可证CN∥平面AF,所以①②正确.图丙如图丙,连接NF,BE,BD,DM,CF,可以证明BM∥平面AFN,BD∥平面AFN,则平面BDM∥平面AFN,同理可证平面BDE∥平面NCF,所以③④正确.答案:①②③④6.如图,在三棱锥S-ABC中,AS=AB.过点A作AF⊥SB,垂足为F,点E,G分别是棱SA,SC的中点. 求证:平面EFG∥平面ABC.证明:因为AS=AB,AF⊥SB,垂足为F,所以F是SB的中点.又因为E是SA的中点,所以EF∥AB.因为EF⊄平面ABC,AB⊂平面ABC,所以EF∥平面ABC.同理EG∥平面ABC.又EF∩EG=E,所以平面EFG∥平面ABC.7.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为底面ABCD的中心,P是DD1的中点,Q是CC1上的点,问:当点Q在什么位置时,平面D1BQ∥平面PAO?解:当Q为CC1的中点时,平面D1BQ∥平面PAO.理由如下:因为Q为CC1的中点,P为DD1的中点,所以易知QB∥PA.而QB⊄平面PAO,PA⊂平面PAO,所以QB∥平面PAO.连接DB,因为P,O分别为DD1,DB的中点,所以PO为△DBD1的中位线,所以D1B∥PO.而D1B⊄平面PAO,PO⊂平面PAO,所以D1B∥平面PAO.又D1B∩QB=B,所以平面D1BQ∥平面PAO. ★8.如图,E,F,G,H分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BC,CC1,C1D1,AA1的中点,求证:(1)GE∥平面BB1D1D;(2)平面BDF∥平面B1D1H.证明:(1)取B1D1的中点O,连接GO,OB,易证OG∥B1C1,且OG=12B1C1.因为BE∥B1C1,且BE=12B1C1,所以OG∥BE,且OG=BE,即四边形BEGO为平行四边形.所以OB∥GE.因为OB⊂平面BDD1B1,GE⊄平面BDD1B1,所以GE∥平面BB1D1D.(2)由正方体的性质,易知B1D1∥BD,且易证BF∥D1H.因为B1D1⊄平面BDF,BD⊂平面BDF,所以B1D1∥平面BDF.因为HD1⊄平面BDF,BF⊂平面BDF,所以HD1∥平面BDF.又B1D1∩HD1=D1,所以平面BDF∥平面B1D1H.