2．2.1&2.2.2 直线与平面、平面与平面平行的判定直线与平面平行的判定[提出问题]门扇的竖直两边是平行的，当门扇绕着一边转动时只要门扇不被关闭，不论转动到什么位置，它能活动的竖直一边所在直线都与固定的竖直边所在平面(墙面)存在不变的位置关系．问题1：上述问题中存在着不变的位置关系是指什么？提示：平行．问题2：若判断直线与平面平行，由上述问题你能得出一种方法吗？提示：可以，只需在面内找一条与面外直线平行的直线即可．问题3：若一直线与平面内的直线平行，一定有直线与平面平行吗？提示：不一定，要强调线在面外．[导入新知] 表示定理 图形文字符号直线与平面平行的判定定理平面外一条直线与此平面内一直线平行，则该直线与此平面平行⇒a∥α[化解疑难]1．用该定理判断直线a和平面α平行时，必须同时具备三个条件：(1)直线a在平面α外，即a⊄α；(2)直线b在平面α内，即b⊂α；(3)两直线a，b平行，即a∥b.2．该定理的作用：证明线面平行．3．应用时，只需在平面内找到一条直线与已知直线平行即可．平面与平面平行的判定[提出问题]-11-
如何判断桌子的桌面是否水平？工人师傅将水平仪放在桌子上交叉放置两次，如果水平仪的气泡两次都在中央，就能判断桌面是水平的(注：当水平仪的气泡居中时，水平仪所在的直线就是水平线)，否则桌面就不是水平的，这是为什么呢？问题1：上述问题中给出了判断两面平行的一种怎样的方法？提示：在一个平面内找两条相交线，分别平行于另一个平面即可．问题2：若一个平面内有两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行吗？提示：不一定，也可能相交．问题3：若一个平面内有无数条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行吗？提示：不一定，也可能相交．[导入新知]表示位置 图形文字符号平面与平面平行的判定定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行⇒α∥β[化解疑难]1．平面与平面平行的判定定理中的平行于一个平面内的“两条相交直线”是必不可少的．2．面面平行的判定定理充分体现了等价转化思想，即把面面平行转化为线面平行．直线与平面平行的判定[例1] 如图，已知公共边为AB的两个全等的矩形ABCD和矩形ABEF不在同一平面内，P，Q分别是对角线AE，BD上的点，且AP＝DQ.求证：PQ∥平面CBE.[解] 证明：作PM∥AB交BE于点M，作QN∥AB交BC于点N，连接MN，如图，则PM∥QN，＝，＝.∵EA＝BD，AP＝DQ，∴EP＝BQ.又AB＝CD，∴PM綊QN，∴四边形PMNQ是平行四边形，∴PQ∥MN.-11-
又PQ⊄平面CBE，MN⊂平面CBE，∴PQ∥平面CBE.[类题通法]利用直线和平面平行的判定定理证明线面平行的关键是在平面内找一条直线与已知直线平行，常利用平行四边形、三角形中位线定理、平行公理等．[活学活用] 如图，在三棱台DEFABC中，AB＝2DE，点G，H分别为AC，BC的中点．求证：BD∥平面FGH.证明：如图，连接DG，CD，设CD∩FG＝O，连接OH.在三棱台DEFABC中，AB＝2DE，点G为AC的中点，可得DF∥GC，DF＝GC，所以四边形DFCG为平行四边形，所以点O为CD的中点．又因为点H为BC的中点，所以OH∥BD.又因为OH⊂平面FGH，BD⊄平面FGH，所以BD∥平面FGH.面面平行的判定[例2] 如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，E，F，N分别是A1B1，B1C1，C1D1，D1A1的中点．求证：(1)E，F，B，D四点共面；(2)平面MAN∥平面EFDB.[解] 证明：-11-
(1)连接B1D1.∵E，F分别是边B1C1，C1D1的中点，∴EF∥B1D1.而BD∥B1D1，∴BD∥EF.∴E，F，B，D四点共面．(2)易知MN∥B1D1，B1D1∥BD，∴MN∥BD.又∵MN⊄平面EFDB，BD⊂平面EFDB，∴MN∥平面EFDB.连接MF.∵M，F分别是A1B1，C1D1的中点，∴MF∥A1D1，MF＝A1D1.∴MF∥AD，MF＝AD.∴四边形ADFM是平行四边形，∴AM∥DF.又AM⊄平面BDFE，DF⊂平面BDFE，∴AM∥平面BDFE.又∵AM∩MN＝M，∴平面MAN∥平面EFDB.[类题通法]两个平面平行的判定定理是确定面面平行的重要方法．解答问题时一定要寻求好判定定理所需要的条件，特别是相交的条件，即与已知平面平行的两条直线必须相交，才能确定面面平行．[活学活用] 如图所示，已知四棱锥PABCD的底面ABCD为矩形，E，F，H分别为AB，CD，PD的中点．求证：平面AFH∥平面PCE.证明：因为F，H分别为CD，PD的中点，所以FH∥PC.因为PC⊂平面PCE，FH⊄平面PCE，所以FH∥平面PCE.又由已知得AE∥CF且AE＝CF，所以四边形AECF为平行四边形，-11-
所以AF∥CE，而CE⊂平面PCE，AF⊄平面PCE，所以AF∥平面PCE.又FH⊂平面AFH，AF⊂平面AFH，FH∩AF＝F，所以平面AFH∥平面PCE.线线平行与面面平行的综合问题[例3] 如图，在四棱锥OABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，M为OA的中点，N为BC的中点．证明：直线MN∥平面OCD.[解] 证明：如图，取OB的中点E，连接ME，NE，则ME∥AB.又∵AB∥CD，∴ME∥CD.又∵ME⊄平面OCD，CD⊂平面OCD，∴ME∥平面OCD.又∵NE∥OC，且NE⊄平面OCD，OC⊂平面OCD，∴NE∥平面OCD.又∵ME∩NE＝E，且ME，NE⊂平面MNE，∴平面MNE∥平面OCD.∵MN⊂平面MNE，∴MN∥平面OCD.[类题通法]解决线线平行与面面平行的综合问题的策略(1)立体几何中常见的平行关系是线线平行、线面平行和面面平行，这三种平行关系不是孤立的，而是相互联系、相互转化的．(2)所以平行关系的综合问题的解决必须灵活运用三种平行关系的判定定理．[活学活用]如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E，F，G分别是BC，DC，SC的中点．求证：(1)直线EG∥平面BDD1B1；(2)平面EFG∥平面BDD1B1.证明：(1)如图，连接SB.∵E，G分别是BC，SC的中点，∴EG∥SB.又∵SB⊂平面BDD1B1，-11-
EG⊄平面BDD1B1.∴直线EG∥平面BDD1B1.(2)连接SD.∵F，G分别是DC，SC的中点，∴FG∥SD.又∵SD⊂平面BDD1B1，FG⊄平面BDD1B1，∴FG∥平面BDD1B1.又EG∥平面BDD1B1，且EG⊂平面EFG，FG⊂平面EFG，EG∩FG＝G，∴平面EFG∥平面BDD1B1. [典例] (12分)如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO?[解题流程]观察图形特点，只需在CC1上取中点Q，恰好有AP∥BQ.[规范解答] [名师批注]∴PQ∥DC.(3分)又DC∥AB，∴PQ∥AB且PQ＝AB，-11-
∴四边形ABQP为平行四边形，∴QB∥PA.(5分)又PA⊂平面PAO，QB⊄平面PAO，∴BQ∥平面PAO.(7分)连接BD，则O∈BD，又∵O为DB的中点，P为D1D的中点，∴PO∥D1B.(8分)又∵PO⊂平面PAO，D1B⊄平面PAO，∴D1B∥平面PAO.(10分)又∵D1B∩BQ＝B，∴平面D1BQ∥平面PAO.(12分)[活学活用]如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是棱DD1的中点．在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F∥平面A1BE？证明你的结论．解：在棱C1D1上存在点F，使B1F∥平面A1BE.证明如下：如图，分别取C1D1和CD的中点F，G，连接B1F，EG，BG，CD1，FG.因为A1D1∥B1C1∥BC，且A1D1＝BC，所以四边形A1BCD1是平行四边形，因此D1C∥A1B.又E，G分别为D1D，CD的中点，所以EG∥D1C，从而EG∥A1B.这说明A1，B，G，E四点共面，所以BG⊂平面A1BE.因为四边形C1CDD1与B1BCC1都是正方形，F，G分别为C1D1和CD的中点，所以FG∥C1C∥B1B，且FG＝C1C＝B1B.因此四边形B1BGF是平行四边形，所以B1F∥BG.而B1F⊄平面A1BE，BG⊂平面A1BE，故B1F∥平面A1BE.[随堂即时演练]1．若一个平面内的两条直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面的位置关系是( )A．一定平行B．一定相交C．平行或相交D．以上判断都不对答案：C2．能保证直线a与平面α平行的条件是( )A．b⊂α，a∥b-11-
B．b⊂α，c∥α，a∥b，a∥cC．b⊂α，A，B∈a，C，D∈b，且AC∥BDD．a⊄α，b⊂α，a∥b答案：D3．正方体ABCDA1B1C1D1中，E为DD1的中点，则BD1与过A，C，E三点的平面的位置关系是________．答案：平行4．下列命题中正确的命题序号为________①若一个平面内有两条直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行；②若一个平面内有无数条直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行；③若一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行；④若一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面，则这两个平面平行．答案：③④5．如图所示，已知三棱柱A1B1C1ABC，E，E1分别是AC，A1C1的中点．求证：平面AB1E1∥平面BEC1.证明：由于AE綊E1C1，因此四边形AE1C1E是平行四边形，则AE1∥EC1，因为AE1⊄平面BEC1，EC1⊂平面BEC1，所以AE1∥平面BEC1.同理，B1E1∥平面BEC1.又AE1∩B1E1＝E1，由两平面平行的判定定理得，平面AB1E1∥平面BEC1.[课时达标检测]一、选择题1．已知两条相交直线a，b，a∥平面α，则b与α的位置关系是( )A．b⊂平面αB．b∥α或b⊂αC．b∥平面αD．b与平面α相交，或b∥平面α答案：D-11-
2．下列说法正确的是( )A．若直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥αB．若直线a在平面α外，则a∥αC．若直线a∥b，b⊂α，则a∥αD．若直线a∥b，b⊂α，那么直线a平行于α内的无数条直线答案：D3．在正方体ABCDA′B′C′D′中，E，F分别为平面ABCD和平面A′B′C′D′的中心，则正方体的六个面中与EF平行的平面有( )A．1个 B．2个C．3个D．4个答案：D4．已知直线l，m，平面α，β，下列命题正确的是( )A．m∥l，l∥α⇒m∥αB．l∥β，m∥β，l⊂α，m⊂α⇒α∥βC．l∥m，l⊂α，m⊂β⇒α∥βD．l∥β，m∥β，l⊂α，m⊂α，l∩m＝M⇒α∥β答案：D5．下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是( )A．①③B．①④C．②③D．②④答案：B二、填空题6．已知a，b，c为三条不重合的直线，α，β，γ为三个不重合的平面，现给出六个命题：①a∥c，b∥c⇒a∥b;②a∥γ，b∥γ⇒a∥b；③c∥α，c∥β⇒α∥β；④α∥γ，β∥γ⇒α∥β；⑤c∥α，a∥c⇒a∥α；⑥a∥γ，α∥γ⇒a∥α.正确命题是________(填序号)．答案：①④-11-
7．下列说法正确的个数是________．(1)若直线l上有两点到平面α的距离相等，则l∥平面α；(2)若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线平行；(3)两条平行线中的一条直线与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行．答案：08．如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，CD的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足________时，有MN∥平面B1BDD1.答案：M∈FH三、解答题9.如图，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，E，E1分别是棱AD，AA1的中点，设F是棱AB的中点，证明：直线EE1∥平面FCC1.证明：如图，取A1B1的中点F1.连接FF1，C1F1.由于FF1∥BB1∥CC1，所以F1∈平面FCC1，因此平面FCC1即为平面C1CFF1.连接A1D，F1C，由于A1F1綊D1C1綊DC，所以四边形A1DCF1为平行四边形，因此A1D∥F1C.又EE1∥A1D，得EE1∥F1C.而EE1⊄平面FCC1，F1C⊂平面FCC1，故EE1∥平面FCC1.-11-
10.如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EFA1∥平面BCHG.证明：(1)∵G，H分别是A1B1，A1C1的中点，∴GH是△A1B1C1的中位线，∴GH∥B1C1.又∵B1C1∥BC，∴GH∥BC，∴B，C，H，G四点共面．(2)∵E，F分别是AB，AC的中点，∴EF∥BC.∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，∴EF∥平面BCHG.∵A1G綊EB，∴四边形A1EBG是平行四边形，∴A1E∥GB.∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG，∴A1E∥平面BCHG.∵A1E∩EF＝E，∴平面EFA1∥平面BCHG.-11-
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