很好用 直线、平面平行的判定及其性质

直线、平面平行的判定及其性质二、知识要点梳理知识点一：直线和平面平行的判定  直线和平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行.  简记为：线线平行，则线面平行.  符号表示：、，.知识点二：两平面平行的判定  两个平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行.  符号表示：若、，，且、，则.知识点三：直线和平面平行的性质  直线和平面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行.  简记为：线面平行则线线平行.  符号表示：若，，，则.知识点四：平面和平面平行的性质定理  平面和平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行.  符号表示：若，，，则.三、规律方法指导  1.直线、平面之间的平行关系：线线平行线面平行面面平行.  2.有关线面、面面平行的判定与性质，可按下面的口诀去记忆：  空间之中两直线，平行相交和异面．  线线平行同方向，等角定理进空间．  判断线和面平行，面中找条平行线；  已知线和面平行，过线作面找交线．  要证面和面平行，面中找出两交线．  线面平行若成立，面面平行不用看．  已知面与面平行，线面平行是必然．  若与三面都相交，则得两条平行线．经典例题透析22 类型一：直线与平面平行的证明  1.已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，E、F分别为AB、PD的中点，求证：AF∥平面PEC.  思路点拨:证明线面平行，根据判定定理，作出平行四边形，利用平行四边形的性质，证明平面外直线与平面上的直线平行.  证明：设PC的中点为G，连接EG、FG．     ∵F为PD中点，∴GF∥CD且GF=CD．     ∵AB∥CD，AB=CD，E为AB中点，     ∴GF∥AE，GF=AE，四边形AEGF为平行四边形．     ∴EG∥AF，     又∵AF平面PEC，EG平面PEC，∴AF∥平面PEC．  总结升华：要证明直线和平面平行，只须在平面内找到一条直线和已知直线平行就可以了．注意适当添加辅助线，重视中位线在解题中的应用．  举一反三：  【变式1】在正方体中，E、F分别为棱BC、的中点．求证：EF∥平面．  证明：连接AC交BD于O，连接OE，则OE∥DC，OE=DC．     ∵DC∥，DC=，F为的中点，     ∴OE∥，OE=，四边形为平行四边形．     ∴EF∥．     又∵EF平面，平面，     ∴EF∥平面．  【变式2】如图，已知E、F、G、M分别是四面体的棱AD、CD、BD、BC的中点，求证：AM∥平面EFG．  证明：如右图，连结DM，交GF于O点，     连结OE，     在△BCD中，G、F分别是BD、CD中     点，∴GF∥BC，     ∵G为BD中点，∴O为MD中点，     在△AMD中，     ∵E、O为AD、MD中点，∴EO∥AM，     又∵AM平面EFG，EO平面EFG，     ∴AM∥平面EFG．类型二：平面与平面平行的证明  2.如右图，在正方体中，M、N、P分别是、、22 的中点，求证：平面MNP∥平面.  思路点拨:利用平面与平面的判定定理.  证明：连结，∵P、N分别是、的中点，∴PN∥．     又∥BD，∴PN∥BD．     又PN不在平面上，∴PN∥平面．     同理，MN∥平面．又PN∩MN=N，∴平面PMN∥平面．  3.正方体中．  (1)求证：平面∥平面；  (2)若E、F分别是、的中点，求证：平面∥平面FBD．  证明：(1)由，，      得四边形是平行四边形，∴，      又BD平面，平面，      ∴BD∥平面．      同理∥平面．而，      ∴平面∥平面．     (2)由BD∥，得BD∥平面．取中点G，∴AE∥．      从而得∥AG，同理GF∥AD．∴AG∥DF．∴∥DF．      ∴DF∥平面，，      ∴平面∥平面FBD．  总结升华：由比例线段得到线线平行，依据线面平行的判定定理得到线面平行，证得两条相交直线平行于一个平面后，转化为面面平行．一般证“面面平面”问题最终转化为证线与线的平行.  举一反三：  【变式1】直四棱柱中，底面ABCD为正方形，边长为2，侧棱，M、N分别为、的中点，E、F分别是、的中点．  (1)求证：平面AMN∥平面EFDB；  (2)求平面AMN与平面EFDB的距离．  答案:22   (1)证明：连接，分别交MN、EF于P、Q．连接AC      交BD于O，连接AP、OQ．      由已知可得MN∥EF，∴MN∥平面EFDB．      由已知可得，PQ∥AO且PQ=AO．      ∴AP∥OQ．∴AP∥EFDB平面，，      ∴平面AMN∥平面EFDB．  (2)解：过A1作平面AMN与平面EFDB的垂线，垂足为H、，     易得，     由，     根据     则     解得．     所以，平面AMN与平面EFDB的距离为.类型三：直线与平面平行的性质  4.经过正方体的棱作一平面交平面于，求证：∥.  证明：∵，平面，平面，     ∴∥平面．     又平面，平面平面，     ∴∥．     则.  5.如图，AB∥，AC∥BD，，，求证：AC=BD.  证明：连结CD，     ∵AC∥22 BD，     ∴直线AC和BD可以确定一个平面，记为，     ∵，，∴，     ∵AB∥，AB，，∴AB∥CD，     又∵AC∥BD，∴四边形ACDB为平行四边形，     ∴AC=BD.  总结升华：利用直线与平面平行解决问题的转化过程是“由已知线线平行→线面平行→线线平行→线面平行.类型四：平面与平面平行的性质  6.如图，设平面∥平面，AB、CD是两异面直线，M、N分别是AB、CD的中点，且A、C，B、D．求证：MN∥．  证明：连接BC，取BC的中点E，分别连接ME、NE，     则ME∥AC，∴ME∥平面，     又NE∥BD，∴NE∥平面，     又ME∩NE=E，∴平面MEN∥平面，     ∵MN平面MEN，∴MN∥．  7.如图，在正三棱柱中，E、F、G是侧面对角线上的点，且BE=CF=AG，求证：平面EFG∥平面ABC．  证明：作于P，连接PF．     在正三棱柱的侧面中，易知，     又，所以；     ∴，EP∥平面ABC．     又∵BE=CF，，∴，     ∴PF∥BC，则PF∥平面ABC．     ∵EPPF=P，∴平面PEF∥平面ABC．     ∵EF平面PEF，∴EF∥平面ABC．同理，GF∥平面ABC．     ∵EFGF=F，∴平面EFG∥平面ABC．  8.如图，已知正方体中，面对角线、上分别有两点E、F，且，求证：EF∥平面ABCD．  证明：  证法一：过E、F分别作AB、BC的垂线EM、FN分别交AB、BC于M、N，连接MN．      ∵⊥平面ABCD，∴⊥AB，⊥22 BC，      ∴EM∥，FN∥，∴EM∥FN，      ∵=，=，∴AE=BF，又∠=∠=45°，      ∴Rt△AME≌Rt△BNF，∴EM=FN．      ∴四边形MNFE是平行四边形，∴EF∥MN．      又MN平面ABCD，∴EF∥平面ABCD．  证法二：过E作EG∥AB交于G，连接GF，      ∴，，，      ∴，∴FG∥∥BC．      又∵EGFG=G，ABBC=B，∴平面EFG∥平面ABCD．      又EF平面EFG，∴EF∥平面ABCD．  总结升华：在熟知线面平行、面面平行的判定与性质之后，空间平行问题的证明，紧紧抓住“线线平行线面平行面面平行”之间的互相转化而完成证明．将空间问题转化为平面问题，是解决立体几何问题的重要策略，关键在于选择或添加适当的平面或直线，并抓住一些平面图形的几何性质．学习成果测评基础达标：一、选择题  1．已知直线、，平面，∥，∥，那么与平面的关系是( )  A．∥    B．    C．∥或    D．与相交  2．以下说法(其中a、b表示直线，表示平面)  ①若a∥b，b，则a∥  ②若a∥，b∥，则a∥b  ③若a∥b，b∥，则a∥  ④若a∥，b，则a∥b  其中正确说法的个数是( )  A．0个  B．1个  C．2个  D．3个  3．已知a、b是两条相交直线，a∥，则b与的位置关系是( )  A．b∥   B．b与相交   C．b   D．b∥或b与相交  4．如果平面外有两点A、B，它们到平面的距离都是a，则直线AB和平面的位置关系一定是( )  A．平行  B．相交   C．平行或相交    D．AB  5．如果点M是两条异面直线外的一点，则过点M且与a、b都平行的平面( )  A．只有一个  B．恰有两个  C．或没有，或只有一个  D．有无数个  6．下列说法正确的是( )  A．一条直线和一个平面平行，它就和这个平面内的任一条直线平行  B．平行于同一平面的两条直线平行  C．如果一个平面内的无数条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行  D．如果一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行  7．在下列条件中，可判断平面与平行的是( )  A．、都平行于直线22   B．内存在不共线的三点到的距离相等  C．、m是内两条直线，且∥，m∥  D．、m是两条异面直线，且∥，m∥，∥，m∥  8．下列说法正确的是( )  A．垂直于同一条直线的两条直线平行   B．平行于同一个平面的两条直线平行  C．平行于同一条直线的两个平面平行   D．平行于同一个平面的两个平面平行  9．经过平面外的两点作该平面的平行平面可以作( )  A．0个  B．1个  C．0个或1个  D．1个或2个  10．不在同一直线上的三点A、B、C到平面的距离相等，且A，则( )  A．∥平面ABC         B．△ABC中至少有一边平行于  C．△ABC中至多有两边平行于  D．△ABC中只可能有一条边与平行  11．已知直线∥平面，m为平面内任一直线，则直线与直线m的位置关系是( )  A．平行    B．异面   C．相交   D．平行或异面  12．梯形ABCD中AB∥CD，AB平面，CD平面，则直线CD与平面内的直线的位置关系只能是( )  A．平行  B．平行和异面  C．平行和相交  D．异面和相交  13．一条直线若同时平行于两个相交平面，那么这条直线与这两个平面的交线的位置关系是( )  A．异面  B．相交  C．平行   D．不能确定  14．若直线a、b均平行于平面，则a与b的关系是( )  A．平行   B．相交   C．异面   D．平行或相交或异面  15．下列说法正确的是( )  A．如果两个平面有三个公共点，那么它们重合  B．过两条异面直线中的一条可以作无数个平面与另一条直线平行  C．在两个平行平面中，一个平面内的任何直线都与另一个平面平行  D．如果两个平面平行，那么分别在两个平面中的两条直线平行  16．已知∥，，，则在内过点B的所有直线中( )  A．不一定存在与a平行的直线   B．只有两条与a平行的直线  C．存在无数条与a平行的直线   D．存在唯一一条与a平行的直线  17．下列说法正确的是( )  A．直线外一点有且只有一个平面与已知直线平行  B．经过两条平行线中一条有且只有一个平面与另一条直线平行  C．经过平面外一点有且只有一条直线与已知平面平行  D．经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行二、填空题  1．已知P是正方体的棱上任意一点，则在正方体的12条棱中，与平面ABP平行的是      ．  2．已知直线a、b，平面、，且a∥b，a∥，∥，则直线与平面的位置关系为   ．  3．已知a、b、c是三条不重合直线，、、是三个不重合的平面，下列说法中：  ⑴a∥c，b∥ca∥b；    ⑵a∥，b∥a∥b；   ⑶c∥，c∥∥22 ；  ⑷∥，∥∥；⑸a∥c，∥ca∥；  ⑹a∥，∥a∥．  其中正确的说法依次是          ．  4．设不同的直线a、b和不同的平面、、，给出下列四个说法：  ①a∥，b∥，则a∥b；   ②a∥，a∥，则∥；  ③∥，∥，则∥； ④a∥b，b，则a∥．  其中说法正确的序号依次是    ．  5．已知平面∥，，有下列说法：①a与内的所有直线平行；②a与内无数条直线平行；③a与内的任意一条直线都不垂直．其中正确的序号依次是    .三、解答题  1．平面与△ABC的两边AB、AC分别交于D、E，且AD∶DB=AE∶EC，求证：BC∥平面.  2．在棱长为a的正方体中，E，F，G，M，N，Q分别是棱，，，，，CD的中点，求证：平面EFG∥平面MNQ．  3．两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，MAC，NFB，且AM=FN，过M作MH⊥AB于H.  求证：(1)平面MNH∥平面BCE；     (2)MN∥平面BCE．  4．如图，空间四边形ABCD被一平面所截，截面EFGH是平行四边形．求证：CD∥平面EFGH；能力提升：一、选择题  1．已知是过正方体的顶点的平面与下底面所在平面的交线，下列结论错误的是()  A．∥       B．BD∥平面     C．∥平面     D．⊥22   2．在正方体中，下列四对截面中，彼此平行的一对截面是()  A．与  B．与  C．与  D．与  3．已知平面∥平面，P是、外一点，过点P的直线m与、分别交于点A、C，过点P的直线n与、分别交于点B、D，且PA=6，AC=9，PD=8，则BD的长为()  A．16   B．24或   C．14   D．20二、填空题  1．过三棱锥A－BCD的棱AB、BC、CD的中点M、N、P作平面MNP，三棱锥的六条棱中与平面MNP平行的是         ；若AC与BD成90°角，AC=6，BD=8，则截面四边形的面积是     ．  2．已知正方体的棱长为1，点P是的面的中心，点Q是面的对角线上一点，且PQ∥平面，则线段PQ的长为      ．  3．设平面∥，A、C，B、D，直线AB与CD交于S，若AS=18，BS=9，CD=34，则SC=     ．三、解答题  1．P是平行四边形ABCD所在平面外一点，E为PB的中点，O为AC，BD的交点．   (1)求证：EO∥平面PCD；(2)图中EO还与哪个平面平行？  2．P是ABC所在平面外一点，、、分别是、、的重心.   (1)求证：平面∥平面ABC；(2)求．  3．如下图，直线AB和CD是异面直线，AB∥，CD∥，AC=M，BD=N，求证：．  4．如图，设平面∥平面，AB、CD是两异面直线，且A、C，B、D，AC⊥22 BD，AC=6，BD=8．M是AB的中点，过点M作一个平面，交CD与N，且∥，求线段MN的长．  5．已知平面，，，且∥，∥，求证：∥．综合探究：  三角形的三条中线交于一点，该点称为三角形的重心，且到顶点的距离等于到对边中点距离的2倍．这一结论叫做三角形的重心定理．在四面体ABCD中，M、N分别是面△ACD、△BCD的重心，在四面体的四个面中，与MN平行的是哪几个面？试证明你的结论．答案与解析：基础达标：  一、选择题：  1.C  2.A  3.D  4.C  5.A  6.D  7.D  8.D  9.C  10.B  11.D 12.B 13.C 14.D 15.C 16.D 17.D  二、填空题  1．DC、、.  2．或.  3．(1)、(4)．  4．③．  5．②.  三、解答题  1．证明：在△ABC中，∵AD∶DB=AE∶EC，∴BC∥DE．      又∵BC，DE，∴BC∥．  2．证明：由已知EF∥，∥，∥QN，EF∥QN，同理FG∥MQ，      所以，平面EFG∥平面MNQ．  3．证明：(1)∵正方形ABCD中，MH⊥AB，∴则MH∥BC，        连结NH，由BF=AC，FN=AM，得，∴NH∥AF∥BE．        由MH∥BC，NH∥BE，∴平面MNH∥平面BCE．      (2)∵MN平面MNH，平面MNH∥平面BCE，∴MN∥平面BCE．  4．证明：∵EFGH是平行四边形，∴EF∥GH，      又∵EF平面BDC，GH平面BDC，∴EF∥平面BDC．      ∵EF平面ADC，平面ADC∩平面BDC=DC，∴EF∥DC，∴CD∥平面EFGH．能力提升：22   一、选择题  1.D 2.B 3.B  二、填空题  1．BD、AC；12.  2．.  3．68或．  三、解答题  1．(1)证明：∵在平行四边形ABCD中，O为AC、BD的交点，∴O为BD的中点        又∵在△PBD中，E为PB的中点，∴EO∥PD        ∵EO平面PCD、PD平面PCD        ∴EO∥平面PCD．   (2)图中EO还与平面PAD平行．  2．证明：分别连，，并延长分别交BC、AC、AB于D、E、F      则D、E、F分别是BC、CA、AB的中点．∴，∴∥FD      同理∥DE．∴平面∥平面ABC．     (2)∵∥DE，∴，又DE=      ∴，易证∽．∴．  3．证明：  如图，连结AD交平面于点Q，连结MQ、QN．  ，  ；  .  4．解：连接BC，与平面交于点E，分别连接ME、NE．     易知平面MEN∥平面，平面MEN∥平面．     由于平面ABC、平面BDC分别与三个平行平面相交，     所以，ME∥AC，EN∥BD．     ∵M是AB的中点，∴E、N分别是BC、CD的中点．     ∴，22 ；     又∵AC⊥BD，∴ME⊥EN，所以．  5．证明：在平面内取两条相交直线a、b，      分别过a、b作平面，，      使它们分别与平面交于两相交直线、，      ∵∥，∴∥，∥，      又∵∥，同理在平面内存在两相交直线、，      使得∥，∥，      ∴∥，∥，∴∥．综合探究：  解：连结AM并延长，交CD于E，连结BN并延长交CD于F，由重心性质可知，E、F重合为一点，    且该点为CD的中点E，由得MN∥AB，    因此，MN∥平面ABC，且MN∥平面ABD．直线、平面垂直的判定及其性质二、知识要点梳理知识点一、直线和平面垂直的定义与判定1.直线和平面垂直定义  如果直线和平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线与平面互相垂直，记作.直线叫平面的垂线；平面叫直线的垂面；垂线和平面的交点叫垂足.  要点诠释：  (1)定义中“平面内的任意一条直线”就是指“平面内的所有直线”，这与“无数条直线”不同，   注意区别.  (2)直线和平面垂直是直线和平面相交的一种特殊形式.  (3)若，则.2.直线和平面垂直的判定定理  判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．  符号语言：  特征：线线垂直线面垂直  要点诠释：  (1)判定定理的条件中：“平面内的两条相交直线”22 是关键性词语，不可忽视.  (2)要判定一条已知直线和一个平面是否垂直，取决于在这个平面内能否找出两条相交直线和已知直线   垂直，至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点，则无关紧要.知识点二、斜线、射影、直线与平面所成的角  一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线.过斜线上斜足外的一点间平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影.平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角.  要点诠释：  (1)直线与平面平行，直线在平面由射影是一条直线.  (2)直线与平面垂直射影是点.  (3)斜线任一点在平面内的射影一定在斜线的射影上.  (4)一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角；一条直线和平面平行或在平面内，它们所成的角是   0°的角.知识点三、二面角1.二面角定义  平面内的一条直线把平面分成两部分，这两部分通常称为半平面.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面.  表示方法：棱为、面分别为的二面角记作二面角.有时为了方便，也可在内(棱以外的半平面部分)分别取点，将这个二面角记作二面角.如果棱记作，那么这个二面角记作二面角或.2.二面角的平面角  在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，则这两条射线构成的角叫做二面角的平面角.  二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度.平面角是直角的二面角叫做直二面角.知识点四、平面与平面垂直的定义与判定1.平面与平面垂直定义22   两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面垂直.  表示方法：平面与垂直，记作.  画法：两个互相垂直的平面通常把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直.如图：2.平面与平面垂直的判定定理  判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.  符号语言：  图形语言：        特征：线面垂直面面垂直  要点诠释：  平面与平面垂直的判定定理告诉我们，可以通过直线与平面垂直来证明平面与平面垂直.通常我们将其记为“线面垂直，则面面垂直”.因此，处理面面垂直问题转化为处理线面垂直问题，进一步转化为处理线线垂直问题.以后证明平面与平面垂直，只要在一个平面内找到两条相交直线和另一个平面内的一条直线垂直即可.知识点五、直线与平面垂直的性质1.基本性质  一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于这个平面内的所有直线.  符号语言：  图形语言：2.性质定理  垂直于同一个平面的两条直线平行.  符号语言：  图形语言：知识点六、平面与平面垂直的性质22   性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.  符号语言：  图形语言：三、规律方法指导  垂直关系的知识记忆口诀：线面垂直的关键，定义来证最常见，判定定理也常用，它的意义要记清，平面之内两直线，两线交于一个点，面外还有一条线，垂直两线是条件，面面垂直要证好，原有图中去寻找，若是这样还不好，辅助线面是个宝，先作交线的垂线，面面转为线和面，再证一步线和线，面面垂直即可见，借助辅助线和面，加的时候不能乱，以某性质为基础，不能主观凭臆断，判断线和面垂直，线垂面中两交线，两线垂直同一面，相互平行共伸展，两面垂直同一线，一面平行另一面，要让面和面垂直，面过另面一垂线，面面垂直成直角，线面垂直记心间.点、直线、平面之间的位置关系单元测试单元测试一、选择题(本大题共12小题，每小题4分，共48分)  1.若直线不平行于平面，则下列结论成立的是( )  A.内所有的直线都与异面；  B.内不存在与平行的直线；  C.内所有的直线都与相交；  D.直线与平面有公共点.  2.已知两个平面垂直，下列命题( )  ①一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的任意一条直线；  ②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线；  ③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面；  ④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则垂线必垂直于另一个平面.  其中正确的个数是( )  A.3  B.2  C.1  D.0  3.空间四边形ABCD中，若，则AC与BD所成角为( )  A.30° B.45°  C.60° D.90°22   4.给出下列命题：  (1)直线与平面不平行，则与平面内的所有直线都不平行；  (2)直线与平面不垂直，则与平面内的所有直线都不垂直；  (3)异面直线不垂直，则过的任何平面与都不垂直；  (4)若直线和共面，直线和共面，则和共面.  其中错误命题的个数为( )  A.0  B.1  C.2  D.3  5.正方体ABCD-A1B1C1D1中，与对角线AC1异面的棱有( )条  A.3  B.4  C.6  D.8  6．如图，将无盖正方体纸盒展开，直线AB、CD在原正方体中的位置关系是( )  A．平行  B．相交且垂直  C．异面直线  D．相交成60°角  7.点P为△ABC所在平面外一点，PO⊥平面ABC，垂足为O，若PA=PB=PC，则点O是△ABC的( )  A.内心   B.外心   C.重心   D.垂心  8.如图长方体中，，则二面角C1—BD—C的大小为( )  A.30°  B.45°  C.60°  D.90°  9.直线及平面，下列命题正确的是( )  A.若则  B.若则  C.若则        D.若则  10.平面与平面平行的条件可以是( )  A.内有无穷多条直线与平行；        B.直线  C.直线，直线，且   D.内的任何直线都与平行  11.是异面直线，下面四个命题：  ①过至少有一个平面平行于；  ②过至少有一个平面垂直于；  ③至多有一条直线与都垂直；  ④至少有一个平面与都平行.  其中正确命题的个数是( 22 )  A.0   B.1   C.2   D.3  12.在下列四个正方体中，能得出AB⊥CD的是( )二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)  13.已知直线//平面，平面//平面，则与的位置关系为_______________.  14.已知直线⊥直线b，//平面，则与的位置关系为_______________.  15.如图，ABC是直角三角形，ACB=，PA平面ABC，此图形中有________个直角三角形.  16.是两个不同的平面，是平面及之外的两条不同直线，给出四个论断：  ① ② ③ ④  以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：____________.三、解答题(本大题共4小题，每小题9分，共36分)  17．如图，H是锐角△ABC的垂心，PH⊥平面ABC，∠BPC=90°，求证：  (1)∠BPA=90°；  (2)∠APC=90°.  18．已知正方体，O是底面ABCD对角线的交点.求证：  (1)面；  (2)面.  19．如图，三棱锥，PC⊥平面ABC，PC=AC=2，AB=BC，D是PB上一点，且CD⊥平面PAB.  (1)求证：AB⊥22 平面PCB；  (2)求异面直线AP与BC所成角的大小；  (3)求二面角C—PA—B的正弦值.  20．如图，已知△BCD中，∠BCD=90°，BC=CD=1，AB⊥平面BCD，∠ADB=60°，E、F分别是AC、AD上的动点，且.  (1)求证：不论为何值，总有平面BEF⊥ABC；  (2)当为何值时，平面BEF⊥平面ACD？参考答案一、选择题  1.D   2.C 只有②正确.  3.D   4.D (1)(2)(4)错误，(3)正确.  5.C  6.D 展开图复原可构造等边三角形.  7.B 提示：可证Rt△POA≌Rt△POB≌Rt△POC，∴OA=OB=OC，所以点O是三角形ABC的外心.  8.A 提示：取BD中点O，连结C1O，CO，ÐC1OC即为所求二面角的平面角.22   9.D  10.D  11.C ①④正确.  12.A 由线面垂直得线线垂直.二、填空题  13.平行或在平面内；  14.平行或在平面内；   15.4 Rt△PAB，Rt△PAC，Rt△PBC，Rt△ABC.  16.若②③④则①三、解答题  17．证明：∵PH⊥面ABC，       ∴PH⊥AC.       ∵H为△ABC垂心，       ∴BH⊥AC.       ∵PH∩H=H，AC⊥面PBH.       ∴AC⊥PB.       又∵∠BPC=90°，即BP⊥PC，PC∩AC=C，       ∴BP⊥面APC， ∴BP⊥PA. ①       又H为△ABC垂心       ∴AH⊥BC，       ∵PH⊥BC，       ∴BC⊥平面APH，       ∴BC⊥PA.          ②       由①②可得，PA⊥平面PBC，       ∴∠APB=∠APC=90°.  18．证明：连接，设，连接.       因为是正方体，       所以是平行四边形.       所以，且       又，分别是，22 的中点，       所以，且.       所以是平行四边形.       又，，，       所以     (2)因为，       所以       又因为，       所以，所以.       同理可证.       又，       所以  19．解析：  (1)∵PC⊥平面ABC，AB平面ABC，∴PC⊥AB.   ∵CD⊥平面PAB，AB平面PAB，∴CD⊥AB.   又，∴AB⊥平面PCB.  (2)过点A作AF∥BC，且AF=BC，连结PF，CF，   则∠PAF为异面直线PA与BC所成的角.   由(1)可得AB⊥BC，   ∴CF⊥AF.   ∵PC⊥AF，   ∴AF⊥面PCF，得PF⊥AF.   则，，   在中，，   ∴异面直线PA与BC所成的角为.  (3)取AP的中点E，连结CE、DE.   ∵PC=AC=2，   ∴CE⊥PA，22 .   ∵CD⊥平面PAB.   ∴CD⊥PA.   PA⊥面CDE，得DE⊥PA.   ∴∠CED为二面角的平面角.   由(1)AB⊥平面PCB，又∵AB=BC，可求得   在中，，      在中，      ∴二面角的正弦值为  20．证明：  (1)因为AB⊥平面BCD，   所以AB⊥CD.   因为CD⊥BC，且，   所以CD⊥平面ABC.   又因为，   所以不论为何值，恒有EF∥CD，   所以EF⊥平面ABC，   又EF平面BEF，   所以不论为何值恒有平面BEF⊥平面ABC.  (2)由(1)知，BE⊥EF.   又平面BEF⊥平面ACD，   所以BE⊥平面ACD，   所以BE⊥AC.   因为BC=CD=1，∠BCD=90°，∠ADB=60°，   所以，，   所以22 .   由，得，   所以.   故当时，平面BEF⊥平面ACD.22