高中数学第二章点直线平面之间的位置关系2.2.1直线与平面平行的判定 学案（人教A版必修2）

2.2.1 直线与平面平行的判定2.2.2 平面与平面平行的判定知识导图学法指导1.在进行线面平行、面面平行的判定时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从线线平行到线面平行，再到面面平行．2．使用线面平行、面面平行的判定定理时，一定要特别注意定理的使用条件，这些条件有很强的制约性，但它们也是我们解题时打开思路的突破口．高考导航1.判定直线与平面平行：在高考中常有考查，多在解答题的第一问出现，难度不大，分值5～7分．2．判定平面与平面平行：在高考中较少单独考查，一般以选择题或填空题的形式出现，以符号语言为载体，综合考查直线与平面、平面与平面等的位置关系，难度中等，分值5分.知识点一 直线与平面平行的判定文字语言平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行图形语言符号语言a⊄α，b⊂α，且a∥b⇒a∥α用该定理判断直线a和平面α平行时，必须同时具备三个条件：(1)直线a在平面α外，即a⊄α；(2)直线b在平面α内，即b⊂α；(3)两直线a，b平行，即a∥b.知识点二 平面与平面平行的判定文字语言一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行 图形语言符号语言⇒β∥α1．平面与平面平行的判定定理中的平行于一个平面内的“两条相交直线”是必不可少的．2．面面平行的判定定理充分体现了等价转化思想，即把面面平行转化为线面平行．[小试身手]1．判断下列命题是否正确.(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若直线l上有两点到平面α的距离相等，则l∥平面α.(  )(2)若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线平行．(  )(3)两条平行线中的一条直线与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行．(  )答案：(1)× (2)× (3)×2．若一个平面内的两条直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面的位置关系是(  )A．一定平行  B．一定相交C．平行或相交D．以上都不对解析：当每个平面内的两条直线都是相交直线时，可推出两个平面一定平行，否则，两个平面有可能相交．答案：C3．下列结论正确的是(  )A．过直线外一点，与该直线平行的平面只有一个B．过直线外一点，与该直线平行的直线有无数条C．过平面外一点，与该平面平行的直线有无数条D．过两条平行线中的一条的任一平面均与另一条直线平行解析：过平面外一点，与该平面平行的直线有无数条，只要直线与平面无公共点，就是直线与平面平行．答案：C4．如果直线a∥平面α，那么直线a与平面α内的(  )A．一条直线不相交B．两条直线不相交C．无数条直线不相交D．任意一条直线都不相交解析：因为a∥平面α，直线a与平面α无公共点，因此a和平面α 内的任意一条直线都不相交，故选D.答案：D类型一 直线与平面平行的判定例1 如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，D是AB的中点．证明：BC1∥平面A1CD.【证明】 如图，连接AC1交A1C于点F，则F为AC1的中点．又D是AB的中点，连接DF，则DF∥BC1.因为DF⊂平面A1CD，BC1⊄平面A1CD，所以BC1∥平面A1CD.在平面A1CD内找到与BC1平行的直线，利用直线与平面平行的判定定理证明．方法归纳(1)直线与平面平行的判定定理的应用步骤①线与线平行；②一条线在已知平面内；③一条线在已知平面外．(2)中点的应用在题目中出现中点时，常见的证线线平行的两种途径：①中位线→线线平行；②平行四边形→线线平行． 跟踪训练1 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是棱BC，C1D1的中点，求证：EF∥平面BDD1B1.证明：如图，取D1B1的中点O，连接OF，OB.∵OF綊B1C1，BE綊B1C1，∴OF綊BE，∴四边形OFEB是平行四边形，∴EF∥BO.∵EF⊄平面BDD1B1，BO⊂平面BDD1B1，∴EF∥平面BDD1B1.要证EF∥平面BDD1B1，从平面BDD1B1中寻找一条直线与EF平行是证明的关键．类型二 平面与平面平行的判定例2 如图，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，E，F，E′，F′分别是AB，CD，A′B′，C′D′的中点．求证：平面A′EFD′∥平面BCF′E′.【证明】 ∵E，E′分别是AB，A′B′的中点，∴A′E′綊BE，∴四边形A′EBE′为平行四边形，∴A′E∥BE′.∵A′E⊄平面BCF′E′，BE′⊂平面BCF′E′，∴A′E∥平面BCF′E′.同理，A′D′∥平面BCF′E′. 又A′E∩A′D′＝A′，∴平面A′EFD′∥平面BCF′E′.由平面与平面平行的判定定理知，要证明两个平面平行，只需在其中一个平面内找两条相交直线与另一个平面平行即可．方法归纳利用判定定理证明两个平面平行的一般步骤第一步：在一个平面内找出两条相交直线；第二步：证明这两条相交直线分别平行于另一个平面；第三步：利用平面与平面平行的判定定理得出结论．跟踪训练2 如图所示，点B为△ACD所在平面外一点，点M，N，G分别为△ABC，△ABD，△BCD的重心．求证：平面MNG∥平面ACD.证明：连接BM，BN，BG并延长分别交AC，AD，CD于点P，F，H.∵点M，N，G分别为△ABC，△ABD，△BCD的重心，∴＝＝＝2.连接PF、FH，PH，则有MN∥PF.又PF⊂平面ACD，MN⊄平面ACD，∴MN∥平面ACD.同理可得MG∥平面ACD，又∵MG∩MN＝M，∴平面MNG∥平面ACD. 类型三 线面平行、面面平行的综合应用例3 在正方体ABCD－A′B′C′D′中，E，F，G，H分别为CC′，C′D′，DD′，CD的中点，N为BC的中点，试在E，F，G，H四点中找两点，使这两个点与点N确定一个平面α且平面α∥平面BB′D′D.【解析】 如图，连接HN，由中位线定理得，HN∥BD.∵BD⊂平面BB′D′D，HN⊄平面BB′D′D，∴HN∥平面BB′D′D.连接HF，则HF∥DD′，∵DD′⊂平面BB′D′D，HF⊄平面BB′D′D，∴HF∥平面BB′D′D.又HN∩HF＝H，连接FN，则平面HFN∥平面BB′D′D，∴H，F，N三点确定的平面α与平面BB′D′D平行．由平面与平面平行的判定定理知，只需所找的两点与点N构成的直线中，有两条相交直线与平面BB′D′D平行即可．方法归纳线面、面面平行综合应用的策略(1)在立体几何中常见的平行关系有线线平行、线面平行和面面平行，这三种平行关系不是孤立的，而是相互联系，并且可以相互转化的．(2)因为，所以对于平行关系的综合问题的解决，必须要灵活运用三种平行关系的判定定理．跟踪训练3 如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，D是棱CC1的中点，问在棱AB上是否存在一点E，使DE∥平面AB1C1？若存在，请确定点E的位置；若不存在，请说明理由． 解析：存在点E，且E为AB的中点时，DE∥平面AB1C1.下面给出证明：如图，取BB1的中点F，连接DF，DE，EF，则DF∥B1C1，∵DF⊄平面AB1C1，B1C1⊂平面AB1C1，∴DF∥平面AB1C1.∵E为AB的中点，F为BB1的中点，∴EF∥AB1，∵EF⊄平面AB1C1，AB1⊂平面AB1C1，∴EF∥平面AB1C1.又EF∩DF＝F，∴平面DEF∥平面AB1C1.而DE⊂平面DEF，∴DE∥平面AB1C1.先借助图形确定E为AB的中点，再给出证明.2.2.1-2[基础巩固](25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．下列命题正确的是(  )A．一条直线与一个平面平行，它就和这个平面内的任意一条直线平行B．平行于同一个平面的两条直线平行C．与两个相交平面的交线平行的直线，必平行于这两个平面D．平面外两条平行直线中的一条与这个平面平行，则另一条也与这个平面平行解析：对于A，平面内还存在直线与这条直线异面，错误；对于B，这两条直线还可以相交、异面，错误；对于C，这条直线还可能在其中一个平面内，错误．故选D.答案：D2．使平面α∥平面β的一个条件是(  ) A．存在一条直线a，a∥α，a∥βB．存在一条直线a，a⊂α，a∥βC．存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥αD．α内存在两条相交直线a，b分别平行于β内的两条直线解析：A，B，C中的条件都不一定使α∥β，反例分别为图①②③(图中a∥l，b∥l)；D正确，因为a∥β，b∥β，又a，b相交，从而α∥β.答案：D3．在正方体EFGH－E1F1G1H1中，下列四对截面彼此平行的是(  )A．平面E1FG1与平面EGH1B．平面FHG1与平面F1H1GC．平面F1H1E与平面FHE1D．平面E1HG1与平面EH1G解析：根据面面平行的判定定理，可知A正确．答案：A4．[2019·大连校级检测]如图，△ABC的边BC在平面α内，EF是△ABC的中位线，则(  )A．EF与平面α平行B．EF与平面α不平行C．EF与平面α可能平行D．EF与平面α可能相交解析：∵EF∥BC，BC⊂α，EF⊄α，∴EF∥平面α.答案：A5．[2019·辽宁省葫芦岛市校级月考]已知在如图所示的长方体ABCD－A1B1C1D1中，E为 AA1的中点，F为BB1的中点，G为CC1的中点，则在该长方体中，与平面EFG平行的面有(  )A．1个         B．2个C．3个D．4个解析：∵长方体ABCD－A1B1C1D1中，E为AA1的中点，F为BB1的中点，G为CC1的中点，∴EF∥AB，FG∥BC，又EF⊄平面ABCD，FG⊄平面ABCD，∴EF∥平面ABCD，FG∥平面ABCD，又EF∩FG＝F，∴由平面与平面平行的判定定理得：平面EFG∥平面ABCD.同理，平面EFG∥平面A1B1C1D1.即在该长方体中，与平面EFG平行的平面有2个．答案：B二、填空题(每小题5分，共15分)6．如果直线a，b相交，直线a∥平面α，则直线b与平面α的位置关系是________．解析：根据线面位置关系的定义，可知直线b与平面α的位置关系是相交或平行．答案：相交或平行7．已知点S是正三角形ABC所在平面外一点，点D，E，F分别是SA，SB，SC的中点，则平面DEF与平面ABC的位置关系是________．解析：由D，E，F分别是SA，SB，SC的中点，知EF是△SBC的中位线，∴EF∥BC.又∵BC平面ABC，EF⃘平面ABC，∴EF∥平面ABC.同理DE∥平面ABC.又∵EF∩DE＝E，∴平面DEF∥平面ABC.答案：平行8．已知正三棱柱ABC－A1B1C1中，G是A1C1的中点，过点G的截面与侧面ABB1A1平行，若侧面ABB1A1是边长为4的正方形，则截面周长为________．解析：如图，取B1C1的中点M，BC的中点N，AC的中点H，连接GM，MN，HN，GH，则GM∥HN∥AB，MN∥GH∥AA1，所以有GM∥平面ABB1A1，MN∥平面ABB1A1.又GM∩MN＝M ，所以平面GMNH∥平面ABB1A1，即平面GMNH为过点G且与平面ABB1A1平行的截面．易得此截面的周长为4＋4＋2＋2＝12.答案：12三、解答题(每小题10分，共20分)9．[2019·广东佛山质检]如图所示，四棱锥P－ABCD的底面是边长为1的正方形，E为PC的中点，PF＝2FD，求证：BE∥平面AFC.证明：如图，连接BD，交AC于点O，取PF的中点G，连接EG，ED，ED交CF于点M，连接MO.在△PCF中，E，G分别为PC，PF的中点，则EG∥FC.在△EDG中，MF∥EG，且F为DG的中点，则M为ED的中点．在△BED中，O，M分别为BD，ED的中点，则BE∥MO.又MO⊂平面AFC，BE⊄平面AFC，所以BE∥平面AFC.10．在空间四边形ABCD中，E，F，G分别是BC，CD，AC的中点．求证：平面EFG∥平面ABD.证明：因为E，F分别是BC，CD的中点，所以EF∥BD.又BD⊂平面ABD，EF⊄平面ABD，所以EF∥平面ABD.同理可得EG∥平面ABD.又EF∩EG＝E，EF，EG平面EFG， 所以平面EFG∥平面ABD.[能力提升](20分钟，40分)11.如图，在空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD上的点，且AEEB＝AFFD＝14，H，G分别为BC，CD的中点，则(  )A．BD∥平面EFGH，且四边形EFGH是平行四边形B．EF∥平面BCD，且四边形EFGH是梯形C．HG∥平面ABD，且四边形EFGH是平行四边形D．EH∥平面ADC，且四边形EFGH是梯形解析：由题意，知EF∥BD，且EF＝BD，HG∥BD，且HG＝BD，∴EF∥HG，且EF≠HG，∴四边形EFGH是梯形．又EF∥平面BCD，EH与平面ADC不平行，故选B.答案：B12．如图所示的四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形是________．(填序号)解析：①中连接点A与点B上面的顶点，记为C，则易证平面ABC∥平面MNP，所以AB∥平面MNP；④中AB∥NP，根据空间直线与平面平行的判定定理可以得出AB∥平面MNP；②③中，AB均与平面MNP相交．答案：①④13．已知公共边为AB的两个全等的矩形ABCD和ABEF不在同一平面内，P，Q分别是对角线AE，BD上的点，且AP＝DQ如图所示．求证：PQ∥平面CBE. 证明：作PM∥AB交BE于点M，作QN∥AB交BC于点N，连接MN，如图，则PM∥QN，＝，＝.∵EA＝BD，AP＝DQ，∴EP＝BQ.又AB＝CD，∴PM綊QN，∴四边形PMNQ是平行四边形，∴PQ∥MN.又PQ⊄平面CBE，MN⊂平面CBE，∴PQ∥平面CBE.14．已知在正方体ABCD－A′B′C′D′中，M，N分别是A′D′，A′B′的中点，在该正方体中是否存在过顶点且与平面AMN平行的平面？若存在，试作出该平面，并证明你的结论；若不存在，请说明理由．解析：存在．与平面AMN平行的平面有如图所示三种情况：下面以图(1)为例进行证明．连接ME，B′D′.∵四边形ABEM是平行四边形，∴BE∥AM.又BE⊂平面BDE，AM⊄平面BDE，∴AM∥平面BDE.∵MN是△A′B′D′的中位线，∴MN∥B′D′.∵四边形BDD′B′是平行四边形，∴BD∥B′D′，∴MN∥BD.又BD⊂平面BDE，MN⊄平面BDE，∴MN∥平面BDE.又AM⊂平面AMN，MN⊂平面AMN，且AM∩MN＝M，∴平面AMN∥平面BDE.