高中数学人教A版必修2第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.2.2 平面与平面平行的判定 课件

2.2.2平面与平面平行的判定 1.理解并掌握平面与平面平行的判定定理,明确定理中“相交”两字的重要性.2.能利用判定定理解决有关面面平行问题. 平面与平面平行的判定定理 归纳总结平面与平面平行的判定定理告诉我们,可以通过直线与平面平行来证明平面与平面平行.通常我们将其记为:若线面平行,则面面平行.因此处理面面平行(即空间问题)可转化为处理线面平行,进一步转化为处理线线平行(即平面问题)来解决.以后要证明平面与平面平行,只要在一个平面内找到两条相交直线和另一个平面平行即可. 【做一做】已知两个平面α,β,平面α内有不共线的三点A,B,C,平面β内有不共线的三点D,E,F,且AB∥DE,AC∥DF,求证:α∥β.证明:∵AB∥DE,DE⊂β,AB⊄β,∴AB∥β.同理可证AC∥β.又AB⊂α,AC⊂α,AB∩AC=A,∴α∥β. 121.理解两个平面平行的判定定理剖析:(1)判定定理中一定是两条相交直线都平行于另一个平面.(2)判定两个平面平行需同时满足条件:a⊂α,b⊂α,a∩b=A,a∥β,b∥β.知识拓展关于判定两个平面平行的另一种方法:若一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的两条相交直线对应平行,则这两个平面平行. 122.一个平面内有无数条直线平行于另一个平面,这两个平面不一定平行剖析:可通过反例,明确平面与平面平行的判定定理的使用条件.例如,如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,在棱AB上任取一点E,在平面ABCD内作EF∥AD交CD于点F,用同样的方法可以在平面ABCD内作出无数条与AD平行的直线.很明显,EF⊄平面ADD1A1,AD⊂平面ADD1A1,又AD∥EF,则EF∥平面ADD1A1. 12同理,在平面ABCD内所作的无数条直线均平行于平面ADD1A1,但平面ADD1A1与平面ABCD相交于直线AD,所以一个平面内有无数条直线平行于另一个平面时,这两个平面不一定平行.因此面面平行的判定定理有三个条件:(1)平面β内的两条直线a,b;(2)直线a,b相交;(3)直线a,b都平行于平面α.这三个条件都具备才能确定α∥β,本例中不满足条件(2). 题型一题型二【例1】如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N,P分别是C1C,B1C1,D1C1的中点.求证:平面MNP∥平面A1BD. 题型一题型二证明:如图,连接B1C.因为CD∥A1B1,CD=A1B1,所以四边形A1B1CD是平行四边形.所以B1C∥A1D.又M,N分别是C1C,B1C1的中点,所以MN∥B1C,所以MN∥A1D.因为MN⊄平面A1BD,A1D⊂平面A1BD,所以MN∥平面A1BD.同理可证PM∥平面A1BD.又MN⊂平面MNP,PM⊂平面MNP,MN∩PM=M,所以平面MNP∥平面A1BD. 题型一题型二反思判定平面与平面平行的常用方法有:(1)根据定义:证明两个平面没有公共点,通常要采用反证法.(2)根据判定定理:要证明两个平面平行,只需在其中一个平面内找到两条相交直线平行于另一个平面.判定两个平面平行与判定线面平行一样,应遵循先找后作的原则,即先在一个平面内找到两条相交直线与另一个平面平行,若找不到再作辅助线. 题型一题型二【变式训练】如图,已知在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,点M,N,Q分别在PA,BD,PD上,且PM∶MA=BN∶ND=PQ∶QD.求证:平面MNQ∥平面PBC. 题型一题型二证明:因为PM∶MA=BN∶ND=PQ∶QD,所以MQ∥AD,NQ∥BP.因为BP⊂平面PBC,NQ⊄平面PBC,所以NQ∥平面PBC.又底面ABCD为平行四边形,所以BC∥AD,所以MQ∥BC.因为BC⊂平面PBC,MQ⊄平面PBC,所以MQ∥平面PBC.又MQ∩NQ=Q,根据平面与平面平行的判定定理,得平面MNQ∥平面PBC. 题型一题型二易错点:不满足面面平行的判定定理的条件而致错【例2】如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H分别是AA1,BB1,CC1,DD1的中点,求证:平面EG∥平面AC. 题型一题型二错解:因为E,F分别是AA1和BB1的中点,所以EF∥AB.又EF⊄平面AC,AB⊂平面AC,所以EF∥平面AC.同理可证,HG∥平面AC.又EF⊂平面EG,HG⊂平面EG,所以平面EG∥平面AC.错因分析:错解中,EF与HG是平面EG内的两条平行直线,不是相交直线,不符合面面平行的判定定理的条件,因此证明不正确.正解:因为E,F分别是AA1和BB1的中点,所以EF∥AB.又EF⊄平面AC,AB⊂平面AC,所以EF∥平面AC.同理可证EH∥平面AC.又EF⊂平面EG,EH⊂平面EG,EF∩EH=E,所以平面EG∥平面AC. 题型一题型二反思利用面面平行的判定定理证明两个平面平行时,所满足的条件必须是明显或已经证明成立的,并且要与定理条件保持一致,否则证明不正确.