《直线与平面、平面与平面平行的性质》导学案

第5课时　直线与平面、平面与平面平行的性质1.理解直线与平面平行、平面与平面平行的性质定理,能用图形语言和符号语言表述这些定理,并能加以证明.2.能运用直线与平面平行、平面与平面平行的性质定理证明一些空间位置关系的简单问题.如图,足球门的上边框与地面平行,我们发现不管什么时刻,只要有太阳光照射着上边框,上边框在阳光的照射下的影子总是与上边框保持着平行,大家思考过是什么原因吗?问题1:我们可以用直线与平面平行的性质定理来解释上述问题,因为太阳离地球很远,所以照射球门框的那一束光线可以看作是经过球门框的　　　　,影子恰好是　　　　　　与地面的　　　　,由于上边框平行于地面,从而球门框平行于球门框在阳光照射下的影子. 问题2: 直线与平面平行、平面与平面平行的性质定理及其图形语言、符号语言:线面平行的性质:如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线　　　　. 符号表示:⇒　　　　.图形: 面面平行的性质:如果两个平行平面同时与第三个平面相交,那么它们的　　　　平行.用符号语言表示为:α∥β,γ∩α=a,γ∩β=b⇒a∥b. 问题3:面面平行的其他性质:①若两个平面平行,则一个平面内的　　　　　　都和另一个平面　　　　.这条性质,给我们提供了证明　　　　　　的另一种方法,可以作为　　　　　　运用. ②夹在两平行平面间的两条平行线段　　　　　　　,这一点和平面内夹在两条平行线之间的　　　　　　　类似. ③和平行线具有传递性一样,平行平面也具有传递性,即平行于　　　　　　　　　的两个平面　　　　　　　　　.该性质同时是　　　　　　　　　的一种判定方法. 问题4:线线、线面、面面平行如何相互转化:由上可以看出三者之间可以进行适当转化, 即由两相交直线和平面平行可以推出两个　　　　　;同样,由两个平面平行的定义和性质也可以推出　　　　　　　　.直线与平面、平面与平面平行的这种相互转化关系体现了知识间的相互依赖关系. 1.已知直线a∥平面α,P∈α,那么过点P且平行于a的直线(　　).A.只有一条,不在平面α内B.有无数条,不一定在α内C.只有一条,且在平面α内D.有无数条,一定在α内2.若平面α∥β,直线a⊂α,点B∈β,则在β内过点B的所有直线中(　　).A.不一定存在与a平行的直线B.只有两条与a平行的直线C.存在无数条与a平行的直线D.有且只有一条与a平行的直线3.已知平面α∥平面β,它们之间的距离为d,直线a⊂α,则在β内与直线a相距为2d的直线有　　　　条. 4.已知在三棱锥P-ABC中,D,E分别是PA,PB上的点,DE∥平面ABC,求证:=. 线面平行的性质和判定的综合应用底面为正三角形的斜棱柱ABC-A1B1C1中,D为AC的中点.求证:AB1∥平面C1BD.空间中两直线平行的证明求证:如果一条直线和两个相交平面都平行,那么该直线与相交平面的交线平行. 面面平行的性质定理的应用如图,已知AB、CD是夹在两个平行平面α、β之间的线段,M、N分别为AB、CD的中点.求证:MN∥平面α.如图,在长方体ABCD—A1B1C1D1中,E为B1D1上任意一点.求证:AE∥平面BC1D. 如图,四边形ABCD是平行四边形,点P是平面ABCD外一点,M是PC的中点,在DM上取一点G,过G和AP作平面交平面BDM于GH,求证:AP∥GH.如图,直线AC、DF被三个平行平面α、β、γ所截.求证:=. 1.直线a∥平面α,平面α内有n条直线交于一点,那么这n条直线中与直线a平行的(　　).A.至少有一条　　B.至多有一条C.有且只有一条D.不可能有2.下列命题不正确的是(　　).A.若两个平面没有公共点,则这两个平面平行B.若两个平面平行于同一条直线,则这两个平面平行C.若两个平面都平行另一个平面,则这两个平面平行D.若一个平面内任一条直线都平行于另一个平面,则这两个平面平行3.已知两平行平面α、β间的距离为2,点A∈α,B∈β,且AB的长为4.若A为α内的定点,B为β内的动点,则点B运动所形成的图形是　　　　. 4.已知:如图,平面α、β满足α∥β,A、C∈α,B、D∈β,E∈AB,F∈CD,AC与BD异面,且=.求证:EF∥β. 如图三棱锥A—BCD,在棱AC上有一点F.(1)过该点作一截面与两棱AB、CD平行;(2)求证该截面为平行四边形.　　考题变式(我来改编):    答案第5课时　直线与平面、平面与平面平行的性质知识体系梳理问题1:一个平面　光线所在平面　交线问题2:平行　a∥b　交线问题3:①任一条直线　平行　线面平行　判定定理②相等　平行线段相等　③同一个平面　平行　面面平行问题4:线线平行　面面平行　平面平行　直线和平面平行基础学习交流 1.C　设直线a与点P确定的平面为β,则β与α的交线b就是与直线a平行的直线.由β的唯一性知直线b也是唯一的.2.D　由直线a与点B确定的平面γ与β的交线b,就是与直线a平行的直线.由γ的唯一性知直线b也是唯一的.3.2　以直线a为轴,以2d为半径,作一个圆柱,则圆柱面与β的两条交线与直线a相距2d.4.解:因为DE∥平面ABC,DE⊂平面PAB,平面ABC∩平面PAB=AB,所以DE∥AB,所以在△PAB中,=.重点难点探究探究一:【解析】如图,延长CB到E,使EB=BC,连接AE,EB1.因为D是AC的中点,B是EC的中点,所以AE∥DB.又因为B1C1∥BC且B1C1=BC,所以B1C1∥EB且B1C1=EB.所以四边形EBC1B1是平行四边形,即EB1∥BC1.因为AE,EB1⊂平面AEB1,DB,BC1⊂平面C1BD,所以平面AEB1∥平面C1BD.又AB1⊂平面AEB1,所以AB1∥平面C1BD.【小结】本题给出证明线面平行的另一种方法:要证明线面平行可以先证明过直线的平面与另一平面平行,即面面平行⇒线面平行. 探究二:【解析】已知:如图所示,a∥α,a∥β,α∩β=b.求证:a∥b.证明:在平面α内任取一点A,且A∉b,∵a∥α,∴A∉a,∴过a和A只有一个平面γ,设γ∩α=m,∵a⊂γ,∴a∥m,同理,在平面β内任取一点B,且B∉b,则B和a确定平面δ,设δ∩β=n,则a∥n,∴m∥n.∵m⊄β,n⊂β,∴m∥β.又∵m⊂α,α∩β=b,∴m∥b,又∵m∥a,∴a∥b.【小结】本题解法的最大特点就是线面平行的判定和性质的交替应用,这也是该类问题的通法,即证明线线平行的问题往往可先证明线面平行,再由线面平行证出线线平行.探究三:【解析】(1)若AB、CD在同一平面内,则平面ABDC与α、β的交线为BD、AC.∵α∥β,∴AC∥BD. 又∵M、N为AB、CD的中点,∴MN∥BD.又∵BD⊂平面α,∴MN∥平面α.(2)若AB、CD异面,过A作AE∥CD,交α于E,取AE的中点P,连接MP、PN、BE、ED.∵AE∥CD,∴AE、CD确定平面AEDC,且与α、β的交线为ED、AC.∵α∥β,∴ED∥AC.又∵P、N分别为AE、CD的中点,∴PN∥ED,∴PN∥平面α,同理可证,MP∥BE,∴MP∥平面α,∴平面MPN∥平面α.又∵MN⊂平面MPN,∴MN∥平面α.【小结】本题的解题思路是由面面平行得线面平行,这是证明线面平行的一种基本思路.在本题的解答时容易忽略对AB、CD位置关系的讨论.思维拓展应用应用一:∵AB?DC?D1C1,∴四边形ABC1D1是平行四边形,∴AD1∥BC1,∵AD1⊄平面BC1D,BC1⊂平面BC1D,∴AD1∥平面BC1D.同理,B1D1∥平面BC1D. ∵AD1∩B1D1=D1,∴平面BC1D∥平面AB1D1.又∵AE⊂平面AB1D1,∴AE∥平面BC1D.应用二:如图,连接AC,设AC交BD于O,连接MO.∵四边形ABCD是平行四边形,∴O是AC的中点.又M是PC的中点,∴MO∥PA.又MO⊂平面BDM,PA⊄平面BDM,∴PA∥平面BDM.又经过PA与点G的平面交平面BDM于GH,∴AP∥GH.应用三:(1)当AC、DF共面时,连接AD,BE,CF,则AD∥BE∥CF.从而=.(2)当AC、DE异面时,连接CD,设CD∩β=G,连接AD、BG、GE、CF, ∵α∥β,平面ACD∩β=BG,平面ACD∩α=AD,∴BG∥AD,∴=.同理可证:EG∥CF,∴=,∴=.综合(1)(2)知:=.基础智能检测1.B　设平面α内的n条直线交于一点P,过直线a与点P的平面与α只有一条交线,所以这n条直线中与直线a平行的直线至多有一条.2.B　若两个平面平行于同一条直线,这两个平面可能相交,也可能平行,B不正确.3.以A在β上的射影为圆心,2为半径的圆　以A为球心,以4为半径作球,该球与β的交线就是圆,其半径为=2.4.解:连接AD,在AD上找分点G,使=,连接EG、FG.又=,∴=,∴EG∥BD,∴EG∥β,由=,得FG∥AC,AC∥β,FG⊄β,∴FG∥β,FG∩EG=G,∴平面EFG∥β,∴EF∥β.全新视角拓展(1)在平面ABC中,过点F作FG∥AB交BC于点G,在平面ACD中,过点F作FE∥CD交AD于点E,在平面ABD中,过点E作EH∥AB交BD于点H,则截面EFGH为所求. (2)∵FG∥AB,EH∥AB,∴FG∥EH.∵EF∥CD,CD⊂平面BCD,EF⊄平面BCD,∴EF∥平面BCD.又∵EF⊂平面EFGH,平面EFGH∩平面BCD=GH,∴EF∥GH.∴四边形EFGH为平行四边形.思维导图构建　　a∥b　a∥l