高中数学人教a版必修2第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.2.3 直线与平面平行的性质 课件

2.2.3直线与平面平行的性质 1.理解并能证明直线与平面平行的性质定理,明确定理的条件.2.能利用性质定理解决有关的平行问题. 直线与平面平行的性质定理 归纳总结1.性质定理可以作为直线与直线平行的判定方法.2.若a∥α,在平面α内找到一条直线b,使b∥a的作法是:经过已知直线作一个平面和已知平面相交,则交线和已知直线a平行,此交线就是要找的直线b. 【做一做】如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是棱AA1和BB1的中点,过EF的平面EFGH分别交BC和AD于点G,H,求证:AB∥GH.证明:因为E,F分别是AA1和BB1的中点,所以EF∥AB.又AB⊄平面EFGH,EF⊂平面EFGH,所以AB∥平面EFGH.又AB⊂平面ABCD,平面ABCD∩平面EFGH=GH,所以AB∥GH. 121.理解直线与平面平行的性质定理剖析:(1)如果直线a∥平面α,在平面α内,除了与直线a平行的直线外,其余的任一直线都与a是异面直线.(2)条件:①直线a与平面α平行,即a∥α;②直线a在平面β内,即a⊂β;③平面α,β相交于一条直线,即α∩β=b,三个条件缺一不可.(3)线面平行的性质定理体现了数学的化归思想,即线面平行转化为线线平行. 122.解决线面平行问题的策略剖析:解决证明问题的策略是由求证想判定,由已知想性质,总是对“判定”和“性质”进行转化,最终就能统一起来,即找到了证明思路.如果已知条件中给出线面平行或隐含线面平行,那么在解决过程中,一定会用到线面平行的性质定理.在应用性质定理时,关键是过已知直线作辅助平面与已知平面相交,所得交线不仅起到与已知直线平行的作用,而且起到已知平面内任一条直线与已知直线位置关系的判定作用,即在已知平面内所有与交线平行的直线都与已知直线平行,所有与交线相交的直线都与已知直线异面.直线与平面平行的性质定理与判定定理经常交替使用,这反映了线面平行、线线平行间的相互转化,也是将平面几何与立体几何联系起来的桥梁. 题型一题型二【例1】如图,已知AB∥平面α,AC∥BD,且AC,BD与α分别相交于点C,D.求证:AC=BD.证明:如图,连接CD,因为AC∥BD,所以AC与BD确定一个平面β.又AB∥α,AB⊂β,α∩β=CD,所以AB∥CD.所以四边形ABDC是平行四边形.所以AC=BD. 题型一题型二反思利用线面平行的性质定理解题的步骤:(1)确定(或寻找)一条直线平行于一个平面;(2)确定(或寻找)过这条直线且与已知平面相交的平面;(3)确定交线;(4)由定理得出结论. 题型一题型二【变式训练1】如图,在四棱锥P-ABCD中,M,N分别为AC,PC上的点,且MN∥平面PAD.若CM∶MA=1∶4,则CN∶NP=. 题型一题型二【例2】求证:如果一条直线和两个相交平面平行,那么该直线与相交平面的交线平行.解:已知:a∥α,a∥β,且α∩β=b.求证:a∥b. 题型一题型二证明:如图,在平面α上任取一点A,且使A∉b.因为a∥α,所以A∉a.故点A和直线a确定一个平面γ,设γ∩α=m.同理,在平面β上任取一点B,且使B∉b,则B和a确定平面δ,设δ∩β=n.因为a∥α,a⊂γ,γ∩α=m,所以a∥m.同理a∥n,则m∥n.又m⊄β,n⊂β,所以m∥β.又m⊂α,α∩β=b,所以m∥b.又a∥m,所以a∥b. 题型一题型二反思利用线面平行的判定和性质定理,可以完成平面问题和空间问题的相互转化.转化思想是一种重要的数学思想.本节常用的转化为: 题型一题型二【变式训练2】如图,四边形ABCD是平行四边形,点P是平面ABCD外一点,M是PC的中点,在DM上取一点G,过G和AP作平面交平面BDM于GH.求证:GH∥PA. 题型一题型二证明:如图,连接AC交BD于点O,连接MO.因为ABCD是平行四边形,所以O是AC的中点.又M是PC的中点,所以PA∥MO.而AP⊄平面BDM,OM⊂平面BDM,所以PA∥平面BMD.又PA⊂平面PAHG,平面PAHG∩平面BMD=GH,所以PA∥GH.