上课用直线与平面平行的性质

直线与平面平行的性质定理与应用Thursday,September16,20211 问题１一条直线和一个平面平行的定义是什么？一条直线和一个平面平行的判定定理是什么？ （1）如果一条直线和一个平面平行，那么这条直线和这个平面内的直线有怎样的位置关系？abαaαb（2）已知直线a∥平面α，如何在平面α内找出和直线a平行的一条直线？思考： α直线a∥平面αβab α直线a∥平面αβaba∥b 线面平行的性质定理αmβl线面平行线线平行如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行。l∥αα∩β=ml∥m 已知：a∥α，aβ，α∩β＝b求证：a∥b∩证明：∵a∥α∴a和α没有公共点αβba∩又∵bα∴a和b没有公共点a和b同在平面β内，又没有公共点∴a∥b 直线和平面平行的判定定理:直线与直线平行直线与平面平行直线和平面平行的性质定理:注意:平面外的一条直线只要和平面内的任一条直线平行，则就可以得到这条直线和这个平面平行；但是若一条直线与一个平面平行，则这条直线并不是和平面内的任一条直线平行，它只与该平面内与它共面的直线平行． 如果一条直线和一个平面平行，则这条直线（）A只和这个平面内一条直线平行；B只和这个平面内两条相交直线不相交；C和这个平面内的任意直线都平行；D和这个平面内的任意直线都不相交。D练习： 问题1已知：直线AB∥平面α，经过AB的两个平面β和γ分别和平面α交于直线a、b求证：a∥b．αＡＢabβγ αabc延伸 已知平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面，求证：另一条也平行于这个平面。cba问题2 问题3已知：如图，直线AB∥平面α，AC∥BD且AC、BD与平面α相交于点C、D求证：AC＝BDαABCD 证明：连结CD∵AC∥BD∴AC、BD确定平面AD则AB平面AD，平面AD∩α＝CD∵直线AB∥平面α∴AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形∴AC＝BDαABCD∩ lαβ如果两个相交平面分别经过两条平行直线中的一条,那么它们的交线和这两条直线平行。ab问题4 问题5已知：如图，α∩β＝b，a∥α，a∥β求证：a∥bba acbdαβγδ 证明：…………∵a∥α，aγ，α∩γ＝c∴a∥c同理a∥d∴c∥d又∵cβ，dβ∴c∥β又∵bα，α∩β＝c∴b∥c∴a∥bacbdαβγδ∩∩∩∩ 小结：２、线面平行的性质定理的前提是线面平行．３、运用线面平行的性质关键是找准线、面和交线．４、注意线面平行的性质和判定的区别．1.直线与平面平行的性质定理：（线面平行线线平行） 作业 HO已知ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，画出过G和AP的平面。ACBDGPM问题6 2.2.3《直线与平面平行的性质》 复习旧知线面平行、面面平行判定定理的内容是什么?判定定理中的线与线、线与面应具备什么条件?答:直线和平面平行的判定定理是:平面外一条直线与此平面内一条直线平行,则该直线与此平面平行.定理中的线与线、线与面应具备的条件是:一线在平面外,一线在平面内;两直线互相平行。平面和平面平行的判定定理是：一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。定理中的线与线、线与面应具备的条件是:两条直线必须相交,且两条直线都平行于另一个平面。 提出问题:如果已知直线与平面平行，会有什么结论？提出问题、引入新课直线与平面平行的性质 探研新知探究1.如果一条直线与平面平行，那么这条直线是否与这个平面内的所有直线都平行？这条直线与这个平面内有多少条直线平行？结合实例(教室内的有关例子)得出结论:如果一条直线与平面平行，这条直线不会与这个平面内的所有直线都平行,但在这个平面内却有无数条直线与这条直线平行。 探究2.如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与这个平面内的直线有哪些位置关系？探研新知答:由直线与平面平行的定义，如果一条直线a与平面α平行，那么a与平面α无公共点，即a上的点都不在平面α内，平面α内的任何直线与a都无公共点，这样，平面α内的直线与平面α外的直线a只能是异面直线或平行直线。abαaαb 探研新知探究3.如果一条直线a与平面α平行,在什么条件下直线a与平面α内的直线平行呢？答:由于a与平面α内的任何直线无公共点，所以过直线a的某一平面，若与平面α相交，则直线a就平行于这条交线。下面我们来证明这一结论. 探研新知已知：如图，a∥α，aÌβ，α∩β＝b。求证：a∥b。证明：∵α∩β＝b，∴bÌα∵ a∥α，∴a与b无公共点，∵aÌβ，bÌβ，∴a∥b。我们可以把这个结论作定理来用. 直线与平面平行的性质定理：一条直线和一个平面平行，则过这条直线的任一平面与这个平面的交线与该直线平行。abαβ符号表示：作用：可证明两直线平行。欲证“线线平行”，可先证明“线面平行”。 探研新知探究4.教室内的日光灯管所在的直线与地面平行，如何在地面上作一条直线与灯管所在的直线平行？答:只需由灯管两端向地面引两条平行线,过两条平行线与地面的交点的连线就是与灯管平行的直线。 例题示范例1：已知平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面，求证：另一条也平行于这个平面。第一步:将原题改写成数学符号语言如图,已知直线a,b,平面α,且a//b,a//α,a,b都在平面α外.求证:b//α.第二步:分析：怎样进行平行的转化？→如何作辅助平面？第三步:书写证明过程 例题示范如图,已知直线a,b,平面α,且a//b,a//α,a,b都在平面α外.求证:b//α.证明:过a作平面β,使它与平面α相交,交线为c.因为a//α,aÌβ,αÇβ=c,所以 a// c.因为a//b,所以,b//c.又因为cÌα, bα,所以 b//α。 1.如果两个相交平面分别经过两条平行直线中的一条,那么它们的交线和这两条直线平行。练习反馈：lαβab 练习反馈：2.一条直线和两个相交平面平行，求证：它和这两个平面的交线平行。已知直线a∥平面α，直线a∥平面β，平面αÇ平面β=b，求证a//b. 例题示范例2：有一块木料如图，已知棱BC平行于面A′C′(1)要经过木料表面A′B′C′D′ 内的一点P和棱BC将木料锯开，应怎样画线？(2)所画的线和面AC有什么关系？解：（1）过点P作EF∥B’C’，分别交棱A’B’，C’D’于点E，F。连接BE，CF，则EF，BE，CF就是应画的线。PA1DABB1D1C1CEF 例题示范例2：有一块木料如图，已知棱BC平行于面A′C′(1)要经过木料表面A′B′C′D′ 内的一点P和棱BC将木料锯开，应怎样画线？(2)所画的线和面AC有什么关系？（2）因为棱BC平行于平面A'C'，平面BC'与平面A'C'交于B'C'，所以BC∥B'C'，由（1）知，EF∥B'C'，所以，EF∥BC，因此，EF//BC,EF平面AC,BCÌ平面AC.所以,EF//平面AC.BE、CF显然都与平面AC相交。 变式：如果AD∥BC，BC∥面A′C′，那么，AD和面BC′、面BF、面A′C′都有怎样的位置关系．为什么？探究:练一练:设平面α、β、γ，α∩β＝a，β∩γ＝b，γ∩α＝c，且a//b. 求证：a∥b∥c. 小结如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行。线线平行线面平行线面平行线线平行线面平行的判定定理线面平行的性质定理如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。