2019_2020学年高中数学第二章点直线平面之间的位置关系2.2.3直线与平面平行的性质2.2.4平面与平面平行的性质课件新人教A版必修

2.2.3直线与平面平行的性质2.2.4平面与平面平行的性质 目标定位重点难点1.理解并能证明直线与平面平行、平面与平面平行的性质定理，明确定理的条件．2．能利用性质定理解决有关的平行问题.重点：直线与平面平行、平面与平面平行的性质定理．难点：综合应用线面平行、面面平行的判定定理和性质定理进行线线平行、线面平行、面面平行的相互转化. 1．线面平行的性质定理(1)文字语言：一条直线与一个平面平行，则_____________________________________与该直线平行．(2)图形语言：过这条直线的任一平面与此平面的交线 2．面面平行的性质定理(1)文字语言：如果两个平行平面同时和第三个平面________，那么它们的交线________．a⊂βα∩β＝b相交平行 α∩γ＝aβ∩γ＝b 1．判一判．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若直线a∥平面α，则直线a与平面α内的任意一条直线平行．()(2)一条直线若同时平行于两个相交平面，那么这条直线与这两个平面的交线的位置关系是平行．()(3)平面外的两条平行线中的一条平行于这个平面，则另一条也平行于这个平面．()【答案】(1)×(2)√(3)√ 2．做一做．(请把正确的答案写在横线上)(1)直线a∥b且a与平面α相交，那么b与平面α的关系是________．(2)如图，在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，EH∥FG.则EH与BD的位置关系是________．【答案】(1)相交(2)平行 3．思一思：如果两个平面平行，那么一个平面内的直线与另一个平面内的直线存在哪些位置关系？【解析】根据平面平行的定义，两个平面没有公共点，则这两个平面内的直线没有公共点，所以这两个平面内的直线之间的位置关系是平行或异面． 【例1】如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，P为平面ABC外一点，E，F分别是PA，PC的中点．记平面BEF与平面ABC的交线为l，试判断直线l与平面PAC的位置关系，并加以证明．直线与平面平行性质定理的应用 【解题探究】直观上可估计直线l平行于平面PAC，再结合两中点，以及线面平行的判定及性质进行证明．【解析】直线l∥平面PAC，证明如下：因为E，F分别是PA，PC的中点，所以EF∥AC.又EF⊄平面ABC，AC⊂平面ABC，所以EF∥平面ABC.而EF⊂平面BEF，平面BEF∩平面ABC＝l，所以EF∥l.因为l⊄平面PAC，EF⊂平面PAC，所以l∥平面PAC. 8运用线面平行的性质定理时，应先确定线面平行，再寻找过已知直线的平面与平面相交的交线，然后确定线线平行．证题过程应认真领悟线线平行与线面平行的相互转化关系． 1．如图，E，H分别是空间四边形ABCD的边AB，AD的中点，平面α过EH分别交BC，CD于点F，G.求证：EH∥FG. 【证明】因为E，H分别是AB，AD的中点，所以EH∥BD.又BD⊂平面BCD，EH⊄平面BCD，所以EH∥平面BCD.又EH⊂α，α∩平面BCD＝FG，所以EH∥FG. 【例2】如图所示，已知E，F分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱AA1，CC1的中点，求证：四边形BED1F是平行四边形．面面平行的性质定理的应用 【解题探究】由平面与平面平行的性质定理，证明两组对边分别平行，从而四边形BED1F为平行四边形．【证明】因为平面ADD1A1∥平面BCC1B1，平面EBFD1∩平面ADD1A1＝ED1，平面EBFD1∩平面BCC1B1＝BF，所以ED1∥BF.同理，BE∥FD1.所以四边形BED1F是平行四边形． 8(1)利用面面平行的性质定理证明线线平行的关键是把要证明的直线看作是平面的交线，往往需要有三个平面，即有两平面平行，再构造第三个面与两平行平面都相交．(2)面面平行⇒线线平行，体现了转化思想与判定定理的交替使用，可实现线线、线面及面面平行的相互转化． 2．如图所示，两条异面直线BA，DC与两平行平面α，β分别交于B，A和D，C，M，N分别是AB，CD的中点．求证：MN∥平面α.【证明】过A作AE∥CD交平面α于点E，取AE的中点P，连接MP，PN，BE，ED，AC.∵AE∥CD，∴AE，CD确定平面AEDC. 则平面AEDC∩α＝DE，平面AEDC∩β＝AC.∵α∥β，∴AC∥DE.∵P，N分别为AE，CD的中点，∴PN∥DE.又PN⊄α，DE⊂α，∴PN∥α.∵M，P分别为AB，AE的中点，∴MP∥BE.又MP⊄α，BE⊂α，∴MP∥α.∵MP，PN⊂平面MPN，MP∩PN＝P，∴平面MPN∥α.∵MN⊂平面MPN，∴MN∥α. 【例3】如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外的一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH，求证：AP∥GH.线面平行的性质定理与判定定理的综合应用 【解题探究】本题的条件中并未给出任何平行的线线、线面或面面，要证两直线平行，故需利用条件中的中点的性质，即三角形的中位线与底边平行，得到线面平行，再由线面平行的性质，得到线线平行．【证明】连接AC，设AC∩BD＝O，连接MO.∵四边形ABCD为平行四边形，∴O是AC的中点．又M是PC的中点，∴MO∥PA.又MO⊂平面BDM,PA⊄平面BDM,∴PA∥平面BDM.∵平面BDM∩平面PAHG＝GH，PA⊂平面PAHG，∴PA∥GH. 利用线面平行的判定定理和性质定理的关键及思考方向关键：过直线作平面与已知平面相交．思考方向：若条件中含有线线平行，可考虑线面平行的判定定理的条件；若条件中含有线面平行，可考虑线面平行的性质定理得线线平行． 3．如图所示，四面体A－BCD被一平面所截，截面EFGH是一个矩形．(1)求证：CD∥平面EFGH；(2)求异面直线AB，CD所成的角． 【解析】(1)证明：∵截面EFGH是一个矩形，∴EF∥GH.又EF⊄平面BCD，GH⊂平面BCD，∴EF∥平面BCD.而EF⊂平面ACD，平面ACD∩平面BCD＝CD,∴EF∥CD.∴CD∥平面EFGH.(2)由(1)知CD∥EF，同理AB∥FG,∴∠EFG为异面直线AB，CD所成的角．∵∠EFG＝90°，∴AB，CD所成的角为90°. 将平面几何中的结论直接应用到立体几何中致误 【警示】解决该类问题，首先重视线面平行性质定理的条件，作准辅助平面，其次注意平面几何知识的应用，但前提是先将空间问题转化为平面问题． 对直线与平面平行的性质定理的三点说明(1)该性质定理可以看作直线与直线平行的判定定理．可简述为“若线面平行，则线线平行”．(2)用该定理判断直线a与b平行时，必须具备三个条件：①直线a和平面α平行，即a∥α；②平面α和β相交，即α∩β＝b；③直线a在平面β内，即a⊂β.以上三个条件缺一不可．(3)线面平行的性质定理体现了数学的化归思想，线面平行转化为线线平行． 1．如图，已知S为四边形ABCD外一点，G，H分别为SB，BD上的点，若GH∥平面SCD，则()A．GH∥SAB．GH∥SDC．GH∥SCD．以上均有可能【答案】B【解析】因为GH∥平面SCD，GH⊂平面SBD，平面SBD∩平面SCD＝SD，所以GH∥SD，显然GH与SA，SC均不平行，故选B． 【答案】C【解析】①α与β有可能相交；②正确；③有可能a⊂α；④有可能a⊂β.故选C． 3．已知平面α∥平面β，P是α，β外一点，过点P的两条直线AC，BD分别交α于A，B，交β于C，D，且PA＝6，AC＝9，AB＝8，则CD的长为________．【答案】20或4 4．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，M，N分别是PA，BC的中点．求证：MN∥平面PCD. 【证明】取AD的中点E，连接ME，NE，由已知M，N分别是PA，BC的中点，所以ME∥PD，NE∥CD.又ME，NE⊂平面MNE，ME∩NE＝E，所以平面MNE∥平面PCD.而MN⊂平面MNE，所以MN∥平面PCD.