2022年人教A版高中数学必修二《2.2.3直线与平面平行的性质》课时作业

第二章2.22.2.3直线与平面平行的性质A级 基础巩固一、选择题1．正方体ABCD－A1B1C1D1中，截面BA1C1与直线AC的位置关系是( A )A．AC∥截面BA1C1  B．AC与截面BA1C1相交C．AC在截面BA1C1内  D．以上答案都错误[解析] ∵AC∥A1C1，又∵AC⊄面BA1C1，∴AC∥面BA1C1.2．如右图所示的三棱柱ABC－A1B1C1中，过A1B1的平面与平面ABC交于直线DE，则DE与AB的位置关系是( B )A．异面B．平行C．相交D．以上均有可能[解析] ∵A1B1∥AB，AB⊂平面ABC，A1B1⊄平面ABC，∴A1B1∥平面ABC.又A1B1⊂平面A1B1ED，平面A1B1ED∩平面ABC＝DE，∴DE∥A1B1.又AB∥A1B1，∴DE∥AB.3．下列命题正确的是( D )A．若直线a∥平面α，直线b∥平面α，则直线a∥直线bB．若直线a∥平面α，直线a与直线b相交，则直线b与平面α相交C．若直线a∥平面α，直线a∥直线b，则直线b∥平面αD．若直线a∥平面α，则直线a与平面α内任意一条直线都无公共点[解析] A中，直线a与直线b也可能异面、相交，所以不正确；B中，直线b也可能与平面α平行，所以不正确；C中，直线b也可能在平面α内，所以不正确；根据直线与 平面平行的定义知D正确，故选D．4．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AM＝2MA1，BN＝2NB1，过MN作一平面交底面三角形ABC的边BC、AC于点E、F，则( B )A．MF∥NEB．四边形MNEF为梯形C．四边形MNEF为平行四边形D．A1B1∥NE[解析] ∵在▱AA1B1B中，AM＝2MA1，BN＝2NB1，∴AM綊BN，∴MN綊AB.又MN⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，∴MN∥平面ABC.又MN⊂平面MNEF，平面MNEF∩平面ABC＝EF，∴MN∥EF，∴EF∥AB，显然在△ABC中EF≠AB，∴EF≠MN，∴四边形MNEF为梯形．故选B．5．如右图所示，在空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA上的点，EH∥FG，则EH与BD的位置关系是( A )A．平行B．相交C．异面D．不确定[解析] ∵EH∥FG，FG⊂平面BCD，EH⊄平面BCD，∴EH∥平面BCD.∵EH⊂平面ABD，平面ABD∩平面BCD＝BD，∴EH∥BD.6．已知正方体AC1的棱长为1，点P是面AA1D1D的中心，点Q是面A1B1C1D1的对角线B1D1上一点，且PQ∥平面AA1B1B，则线段PQ的长为( C )A．1  B．  C．  D．[解析] 由PQ∥平面AA1BB知PQ∥AB1，又P为AO1的中点，∴PQ＝AB1＝.二、填空题7．如图，a∥α，A是α的另一侧的点，B、C、D∈a，线段AB、AC、AD分别交平面α 于E、F、G，若BD＝4，CF＝4，AF＝5，则EG＝____.[解析] ∵a∥α，α∩平面ABD＝EG，∴a∥EG，即BD∥EG，∴＝，则EG＝＝＝.8．(2016·扬州高二检测)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，若过A，C，B1三点的平面与底面A1B1C1D1的交线为l，则l与A1C1的位置关系是__l∥A1C1__.[解析] ∵平面ABCD∥平面A1B1C1D1，AC⊂平面ABCD，∴AC∥平面A1B1C1D1.又平面ACB1经过直线AC与平面A1B1C1D1相交于直线l，∴AC∥l.三、解答题9．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是棱AA1和BB1的中点，过EF的平面EFGH分别交BC和AD于点G、H，求证：AB∥GH.[解析] ∵E、F分别是AA1和BB1的中点，∴EF∥AB.又AB⊄平面EFGH，EF⊂平面EFGH，∴AB∥平面EFGH.又AB⊂平面ABCD，平面ABCD∩平面EFGH＝GH，∴AB∥GH.10．四棱锥P－ABCD的底面ABCD是梯形，AB∥CD，且AB＝CD.试问在PC上能否找到一点E，使得BE∥平面PAD？若能，请确定E点的位置，并给出证明；若不能，请说明理由. [解析] 在PC上取点E，使＝，则BE∥平面PAD.证明如下：延长DA和CB交于点F，连接PF.梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD.∴＝＝，∴＝.又＝，∴△PFC中，＝，∴BE∥PF，而BE⊄平面PAD，PF⊂平面PAD.∴BE∥平面PAD.B级 素养提升一、选择题1．a、b是两条异面直线，下列结论正确的是( D )A．过不在a、b上的任一点，可作一个平面与a、b平行B．过不在a、b上的任一点，可作一条直线与a、b相交C．过不在a、b上的任一点，可作一条直线与a、b都平行D．过a可以并且只可以作一个平面与b平行[解析] A错，若点与a所确定的平面与b平行时，就不能使这个平面与a平行了．B错，若点与a所确定的平面与b平行时，就不能作一条直线与a，b相交．C错，假如这样的直线存在，根据公理4就可有a∥b，这与a，b异面矛盾．D正确，在a上任取一点A，过A点作直线c∥b，则c与a确定一个平面与b平行，这个平面是唯一的．2．过平面α外的直线l，作一组平面与α相交，如果所得的交线为a、b、c、…，那么这些交线的位置关系为( D ) A．都平行B．都相交且一定交于同一点C．都相交但不一定交于同一点D．都平行或交于同一点[解析] 若l∥平面α，则交线都平行；若l∩平面α＝A，则交线都交于同一点A.3．如图，在三棱锥S－ABC中，E、F分别是SB、SC上的点，且EF∥平面ABC，则( B )A．EF与BC相交B．EF∥BCC．EF与BC异面D．以上均有可能[解析] ∵EF⊂平面SBC，EF∥平面ABC，平面SBC∩平面ABC＝BC，∴EF∥BC.4．不同直线m、n和不同平面α、β，给出下列命题：①⇒m∥β；②⇒n∥β；③⇒m、n异面．其中假命题有( C )A．0个 B．1个 C．2个 D．3个[解析] ∵α∥β，∴α与β没有公共点．又∵m⊂α，∴m与β没有公共点，∴m∥β，故①正确，②③错误．二、填空题5．已知A、B、C、D四点不共面，且AB∥平面α，CD∥α，AC∩α＝E，AD∩α＝F，BD∩α＝H，BC∩α＝G，则四边形EFHG是__平行__四边形.[解析] ∵AB∥α，平面ABD∩α＝FH，平面ABC∩α＝EG，∴AB∥FH，AB∥EG，∴FH∥EG，同理EF∥GH，∴四边形EFHG是平行四边形．6．(2016·成都高二检测)长方体ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，其侧面展开图是边长为8的正方形．E，F分别是侧棱AA1、CC1上的动点，AE＋CF＝8.P在棱AA1上，且AP＝2，若EF∥平面PBD，则CF＝__2__. [解析] 连接AC交BD于O，连接PO.因为EF∥平面PBD，EF⊂平面EACF，平面EACF∩平面PBD＝PO，所以EF∥PO，在PA1上截取PQ＝AP＝2，连接QC，则QC∥PO，所以EF∥QC，所以EFCQ为平行四边形，则CF＝EQ，又因为AE＋CF＝8，AE＋A1E＝8，所以A1E＝CF＝EQ＝A1Q＝2，从而CF＝2.C级 能力拔高1．如图所示，一平面与空间四边形对角线AC、BD都平行，且交空间四边形边AB、BC、CD、DA分别于E、F、G、H.(1)求证：EFGH为平行四边形；(2)若AC＝BD，EFGH能否为菱形？(3)若AC＝BD＝a，求证：平行四边形EFGH周长为定值．[解析] (1)∵AC∥平面EFGH，平面ACD∩平面EFGH＝GH，且AC⊂面ACD，∴AC∥GH，同理可证，AC∥EF，BD∥EH，BD∥FG.∴EF∥GH，EH∥FG.∴四边形EFGH为平行四边形． (2)设AC＝BD＝a，EH＝x，GH＝y，＝.∵GH∥AC，∴GH︰AC＝DH︰DA＝DH︰(DH＋HA)．即：y︰a＝n︰(m＋n)，∴y＝a.同理可得：x＝EH＝a.∴当AC＝BD时，若m＝n即AH＝HD时，则EH＝GH，四边形EFGH为菱形．(3)设EH＝x，GH＝y，H为AD上一点且AH︰HD＝m︰n.∵EH∥BD，∴＝.即＝，∴x＝a.同理：y＝a，∴周长＝2(x＋y)＝2a(定值)．2．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，点E、F分别是棱CC1、BB1上的点，点M是线段AC上的动点，EC＝2FB＝2，若MB∥平面AEF，试判断点M在何位置.[解析] 若MB∥平面AEF，过F、B、M作平面FBMN交AE于N，连接MN、NF.因为BF∥平面AA1C1C，BF⊂平面FBMN，平面FBMN∩平面AA1C1C＝MN，所以BF∥MN.又MB∥平面AEF，MB⊂平面FBMN，平面FBMN∩平面AEF＝FN，所以MB∥FN，所以BFNM是平行四边形，所以MN∥BF，MN＝BF＝1.而EC∥FB，EC＝2FB＝2，所以MN∥EC，MN＝EC＝1，故MN是△ACE的中位线． 所以M是AC的中点时，MB∥平面AEF.