2．2.3&2.2.4 直线与平面、平面与平面平行的性质直线与平面平行的性质[提出问题]将一本书打开，扣在桌面上，使书脊所在的直线与桌面平行，观察过书脊的每页纸和桌面的交线与书脊的位置．问题1：上述问题中，书脊与每页纸和桌面的交线有何位置关系？提示：平行．问题2：每页纸与桌面的交线之间有何关系？提示：平行．问题3：书脊所在的直线与桌面上任何直线都平行吗？提示：不一定．平行或异面．[导入新知]线面平行的性质定理(1)文字语言：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行．(2)图形语言：(3)符号语言：⇒a∥b(4)作用：线面平行⇒线线平行．[化解疑难]对线面平行性质定理的理解(1)如果直线a∥平面α，在平面α内，除了与直线a平行的直线外，其余的任一直线都与a是异面直线．(2)线面平行的性质定理的条件有三个：①直线a与平面α平行，即a∥α；②平面α，β相交于一条直线，即α∩β＝b；③直线a在平面β内，即a⊂β.三个条件缺一不可．(3)线面平行的性质定理体现了数学的化归思想，线面平行转化为线线平行.面面平行的性质[提出问题]
2010年在上海举行的世界博览会给全世界的游客留下了深刻的印象，作为东道主的中国国家馆被永久保留，成为上海市的又一标志性建筑．中国国家馆表达了“东方之冠，鼎盛中华，天下粮仓，富庶百姓”的中国文化的精神与气质，展馆共分三层，这三层给人以平行平面的感觉．问题1：展馆的每两层所在的平面平行，那么上层面上任一直线状物体与下面地面有何位置关系？提示：平行．问题2：上层面上任何一直线状物体与下层面上任何一直线状物体有何位置关系？提示：平行或异面．问题3：上下两层所在的平面与侧墙所在平面分别相交，它们的交线是什么位置关系？提示：平行．[导入新知]面面平行的性质定理(1)文字语言：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行．(2)图形语言：(3)符号语言：⇒a∥b(4)作用：面面平行⇒线线平行．[化解疑难]对面面平行性质定理的理解(1)面面平行的性质定理的条件有三个：①α∥β；②α∩γ＝a；③β∩γ＝b.三个条件缺一不可．(2)定理的实质是由面面平行得线线平行，其应用过程是构造与两个平行平面都相交的一个平面，由其结论可知定理可用来证明线线平行．(3)面面平行的性质定理的推证过程应用了平行线的定义．线面平行的性质及应用
[例1] 如图所示，已知三棱锥ABCD被一平面所截，截面为▱EFGH，求证：CD∥平面EFGH.[解] 证明：∵四边形EFGH为平行四边形，∴EF∥GH.又GH⊂平面BCD，EF⊄平面BCD，∴EF∥平面BCD.而平面ACD∩平面BCD＝CD，EF⊂平面ACD，∴EF∥CD.又EF⊂平面EFGH，CD⊄平面EFGH，∴CD∥平面EFGH.[类题通法]运用线面平行的性质定理时，应先确定线面平行，再寻找过已知直线的平面与平面相交的交线，然后确定线线平行．证题过程应认真领悟线线平行与线面平行的相互转化关系．[活学活用]在长方体ABCDA′B′C′D′中，点P∈BB′(不与B，B′重合)．PA∩BA′＝M，PC∩BC′＝N，求证：MN∥平面ABCD.证明：如图所示，连接AC，A′C′，∵ABCDA′B′C′D′是长方体，∴AC∥A′C′.又AC⊄平面BA′C′，A′C′⊂平面BA′C′，∴AC∥平面BA′C′.又∵平面PAC过AC与平面BA′C′交于MN，∴MN∥AC.∵MN⊄平面ABCD，AC⊂平面ABCD，
∴MN∥平面ABCD.面面平行的性质及应用[例2] 如图所示，两条异面直线BA，DC与两平行平面α，β分别交于B，A和D，C，M，N分别是AB，CD的中点．求证：MN∥平面α.[解] 证明：过A作AE∥CD交平面α于点E，取AE的中点P，连接MP，PN，BE，ED，AC.∵AE∥CD，∴AE，CD确定平面AEDC.则平面AEDC∩α＝DE，平面AEDC∩β＝AC.∵α∥β，∴AC∥DE.又∵P，N分别为AE，CD的中点，∴PN∥DE.∵PN⊄α，DE⊂α，∴PN∥α.又∵M，P分别为AB，AE的中点，∴MP∥BE.又∵MP⊄α，BE⊂α，∴MP∥α.∵MP，PN⊂平面MPN，且MP∩PN＝P，∴平面MPN∥α.又∵MN⊂平面MPN，∴MN∥平面α.[类题通法]1．把握面面平行性质定理的关键(1)成立的条件：两平面平行，第三个平面与这两个平面均相交．(2)定理的实质：面面平行⇒线线平行，体现了转化思想与判定定理交替使用，可实现线面、线线、面面平行间的相互转化．2．面面平行的性质定理的几个推论(1)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面．(2)夹在两平行平面间的平行线段相等．(3)经过平面外的一点有且只有一个平面与已知平面平行．(4)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．[活学活用]如图所示，在矩形ABCD中，E为AB上一点，将B点沿线段EC折起至点P，连接PA，PC，PD，取PD中点F，若有AF∥平面PEC，试确定E点的位置．
解：取PC的中点G，连接GE，GF.如图．由条件知GF∥CD，EA∥CD，∴GF∥EA，则G，E，A，F四点共面．∵AF∥平面PEC，平面GEAF∩平面PEC＝GE，∴AF∥GE.∴四边形GEAF为平行四边形．∵GF＝CD，∴EA＝CD＝BA，∴E为AB的中点.线面平行和面面平行的综合问题[例3] 如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中．(1)求证：平面AB1D1∥平面C1BD；(2)试找出体对角线A1C与平面AB1D1和平面C1BD的交点E，F，并证明：A1E＝EF＝FC.[解] (1)证明：因为在正方体ABCDA1B1C1D1中，AD綊B1C1，所以四边形AB1C1D是平行四边形，所以AB1∥C1D.又因为C1D⊂平面C1BD，AB1⊄平面C1BD，所以AB1∥平面C1BD.同理B1D1∥平面C1BD.又因为AB1∩B1D1＝B1，AB1⊂平面AB1D1，B1D1⊂平面AB1D1，所以平面AB1D1∥平面C1BD.(2)如图，连接A1C1交B1D1于点O1，连接AO1与A1C交于点E.又因为AO1⊂平面AB1D1，所以点E也在平面AB1D1内，所以点E就是A1C与平面AB1D1的交点；
连接AC交BD于O，连接C1O与A1C交于点F，则点F就是A1C与平面C1BD的交点．下面证明A1E＝EF＝FC.因为平面A1C1C∩平面AB1D1＝EO1，平面A1C1C∩平面C1BD＝C1F，平面AB1D1∥平面C1BD，所以EO1∥C1F.在△A1C1F中，O1是A1C1的中点，所以E是A1F的中点，即A1E＝EF；同理可证OF∥AE，所以F是CE的中点，即CF＝FE，所以A1E＝EF＝FC.[类题通法]1．在遇到线面平行时，常需作出过已知直线与已知平面相交的辅助平面，以便运用线面平行的性质．2．要灵活应用线线平行、线面平行和面面平行的相互联系、相互转化．在解决立体几何中的平行问题时，一般都要用到平行关系的转化．转化思想是解决这类问题的最有效的方法．[活学活用] 如图，在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，P，Q分别是BC，C1D1，AD1，BD的中点．(1)求证：PQ∥平面DCC1D1；(2)求PQ的长；(3)求证：EF∥平面BB1D1D.解：(1)证明：如图所示．连接AC，CD1，∵P，Q分别是AD1，AC的中点，∴PQ∥CD1.又PQ⊄平面DCC1D1，CD1⊂平面DCC1D1，
∴PQ∥平面DCC1D1.(2)由(1)易知PQ＝D1C＝a.(3)证明：取B1C1的中点E1，连接EE1，FE1，则有FE1∥B1D1，EE1∥BB1，∴平面EE1F∥平面BB1D1D.又EF⊂平面EE1F，所以EF∥平面BB1D1D. [典例] (12分)如图所示，已知E，F分别是正方体ABCDA1B1C1D1的棱AA1，CC1的中点，求证：四边形BED1F是平行四边形．[解题流程]
[活学活用] 已知四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH，求证：AP∥GH.证明：连接AC，设AC交BD于O，连接MO，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴O是AC的中点．又M是PC的中点，∴MO∥PA.又MO⊂平面BDM，PA⊄平面BDM，∴PA∥平面BDM.又经过PA与点G的平面交平面BDM于GH，∴AP∥GH.[随堂即时演练]1．梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊂平面α，CD⊄平面α，则直线CD与平面α内的直线的位置关系只能是( )A．平行 B．平行或异面C．平行或相交D．异面或相交答案：B2.如图，四棱锥PABCD中，M，N分别为AC，PC上的点，且MN∥平面PAD，则( )A．MN∥PDB．MN∥PAC．MN∥ADD．以上均有可能答案：B3．过正方体ABCDA1B1C1D1的顶点A1，C1，B的平面与底面ABCD所在的平面的交线为l，则l与A1C1的位置关系是________．答案：平行4.如图所示，平面四边形ABCD所在的平面与平面α平行，且四边形ABCD在平面α内的平行投影A1B1C1D1是一个平行四边形，则四边形ABCD的形状一定是________．答案：平行四边形5.如图，ABCD与ADEF均为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点．求证：(1)BE∥平面DMF；(2)平面BDE∥平面MNG.证明：(1)连接AE，则AE必过DF与GN的交点O，
连接MO，则MO为△ABE的中位线，所以BE∥MO，又BE⊄平面DMF，MO⊂平面DMF，所以BE∥平面DMF.(2)因为N，G分别为平行四边形ADEF的边AD，EF的中点，所以DE∥GN，又DE⊄平面MNG，GN⊂平面MNG，所以DE∥平面MNG.又M为AB的中点，所以MN为△ABD的中位线，所以BD∥MN，又MN⊂平面MNG，BD⊄平面MNG，所以BD∥平面MNG，又DE，BD⊂平面BDE，DE∩BD＝D，所以平面BDE∥平面MNG.[课时达标检测]一、选择题1．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列说法中正确的是( )A．若m⊂α，n⊂β，m∥n，则α∥βB．若m⊂α，n⊂β，α∥β，则m∥nC．若m⊂α，n⊂β，α∥β，且m，n共面，则m∥nD．若m∥n，m∥α，n∥β，则α∥β答案：C2．已知a，b是两条异面直线，平面α过a且与b平行，平面β过b且与a平行，则平面α与平面β的位置关系是( )A．平行 B．相交C．异面D．平行或相交答案：A3.在正方体ABCDA1B1C1D1中，若经过D1B的平面分别交AA1和CC1于点E，F，则四边形D1EBF的形状是( )A．矩形B．菱形C．平行四边形D．正方形答案：C4．设平面α∥平面β，A∈α，B∈β，C是AB的中点，当A，B分别在α，β
内运动时，那么所有的动点C( )A．不共面B．当且仅当A，B在两条相交直线上移动时才共面C．当且仅当A，B在两条给定的平行直线上移动时才共面D．不论A，B如何移动都共面答案：D5.如图，不同在一个平面内的三条平行直线和两个平行平面相交，每个平面内以交点为顶点的两个三角形是( )A．相似但不全等的三角形B．全等三角形C．面积相等的不全等三角形D．以上结论都不对答案：B二、填空题6．在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是棱A1B1，B1C1的中点，P是棱AD上一点，AP＝，过P，M，N的平面与棱CD交于Q，则PQ＝________.答案：a7．已知直线m，n及平面α，β，有下列关系：①m，n⊂β；②n⊂α；③m∥α；④m∥n.现把其中一些关系看作条件，另一些关系看作结论组成一个正确的结论，应是________．答案：①②③⇒④(答案不唯一)8.如图是正方体的平面展开图：在这个正方体中，①BM∥平面ADE；②CN∥平面BAF；③平面BDM∥平面AFN；④平面BDE∥平面NCF，以上说法正确的是________(填序号)．答案：①②③④三、解答题9.如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，点E，F分别是棱CC1，BB1上的点，点M是线段AC上的动点，EC＝2FB＝2，若MB∥平面AEF，试判断点M在何位置．解：若MB∥平面AEF，过F，B，M作平面FBMN交AE于N，连接MN，NF.
因为BF∥平面AA1C1C，BF⊂平面FBMN，平面FBMN∩平面AA1C1C＝MN，所以BF∥MN.又MB∥平面AEF，MB⊂平面FBMN，平面FBMN∩平面AEF＝FN，所以MB∥FN，所以BFNM是平行四边形，所以MN∥BF，MN＝BF＝1.而EC∥FB，EC＝2FB＝2，所以MN∥EC，MN＝EC＝1，故MN是△ACE的中位线．所以M是AC的中点时，MB∥平面AEF.10.如图所示：三棱柱ABCA1B1C1中，平面ABC∥平面A1B1C1，若D是棱CC1的中点，在棱AB上是否存在一点E，使DE∥平面AB1C1？证明你的结论．解：当点E为棱AB的中点时，DE∥平面AB1C1.证明如下：如图，取BB1的中点F，连接EF，FD，DE.∵D，E，F分别为CC1，AB，BB1的中点，∴EF∥AB1.∵AB1⊂平面AB1C1，EF⊄平面AB1C1，∴EF∥平面AB1C1.同理可证FD∥平面AB1C1.∵EF∩FD＝F，∴平面EFD∥平面AB1C1.∵DE⊂平面EFD，∴DE∥平面AB1C1.
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