高中数学直线与平面平行的性质

2.2.3直线与平面平行的性质 1.掌握直线与平面平行的性质定理.2.体会直线与平面平行的性质定理的应用.3.通过线线平行与线面平行的转化,培养学生的学习兴趣. 直线与平面平行的性质定理(1)文字语言：一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行.简述为“若线面平行,则_________”.(2)符号语言：线线平行a∥α_______________a∥bα∩β=b (3)图形语言： 1.“判一判”理清知识的疑惑点(正确的打“√”,错误的打“×”).(1)如果直线a,b和平面α满足a∥b,a∥α,b⊄α,那么b∥α.()(2)如果m⊂α,n∥α,m,n共面,那么m∥n.()(3)如果m∥α,n∥α,m,n共面,那么m∥n.() 提示：(1)正确.由a∥b,a∥α,直线b与平面α平行或者在平面α内,又b⊄α,则b∥α.(2)正确.利用直线与平面平行的性质定理可得.(3)错误.m,n可以是同一个平面内的相交直线.答案：(1)√(2)√(3)× 2.“练一练”尝试知识的应用点(请把正确的答案写在横线上).(1)直线a与平面α平行,则在平面α内有条直线和直线a平行. (2)如图,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AB1,BC1的中点,和EF平行的面是.(3)直线a,b都与平面α平行,则a,b的位置关系是. 【解析】(1)直线a与平面α平行,过直线a可作无数个平面和平面α相交,直线a与交线平行,故有无数条直线和直线a平行.(2)若连接BA1,则EF是△BA1C1的中位线,故EF∥平面A1B1C1D1,同理EF∥平面ABCD,和其他平面都不平行.(3)a,b的位置关系可以是平行、相交或异面.答案：(1)无数(2)平面A1B1C1D1,平面ABCD(3)平行、相交或异面 直线与平面平行的性质定理根据直线与平面平行的性质定理及符号表示和图形表示探究以下问题 探究1：如果一条直线与平面平行,那么这条直线是否与这个平面内的所有直线都平行?这条直线与这个平面内多少直线平行?提示：如果一条直线与平面平行,这条直线不会与这个平面内的所有直线都平行,但在这个平面内有无数条直线与这条直线平行. 探究2：如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与这个平面内的直线有哪些位置关系？提示：由直线与平面平行的定义可知，如果一条直线a与平面α平行，那么a与平面α无公共点，即a上的点都不在平面α内，平面α内的任何直线与a都无公共点，这样，平面α内的直线与平面α外的直线a只能是异面直线或平行直线.探究提示：从直线与平面没有公共点考虑. 探究3：如果一条直线a与平面α平行，在什么条件下直线a与平面α内的直线平行？提示：由于直线a与平面α内的任何直线无公共点，所以过直线a的某一平面，若与平面α相交，则直线a就平行于这条交线. 探究4：怎样利用性质定理画一条与已知直线平行的直线？提示：如果已知直线平行于一个平面，要想在该平面内画一条与已知直线平行的直线，只需要过已知直线作一个与已知平面相交的平面，那么交线就是要画的与已知直线平行的直线.探究提示：利用性质定理确定一个过此直线的平面即可. 【拓展延伸】线面平行的其他性质(1)平面外的两条平行线中的一条平行于这个平面，则另一条也平行于这个平面.(2)直线和平面平行，平面内有无数条直线和该直线平行，但不一定与平面内任意一条直线平行. 【探究提升】对直线与平面平行的性质定理的理解(1)该性质定理可以看作直线与直线平行的判定定理.可简述为“若线面平行,则线线平行”.(2)用该定理判断直线a与b平行时,必须具备三个条件：①直线a和平面α平行,即a∥α;②平面α和β相交,即α∩β=b;③直线a在平面β内,即a⊂β.以上三个条件缺一不可.(3)在应用这个定理时,要防止出现“一条直线平行于一个平面,就平行于这个平面内的一切直线”的错误. 类型一对直线与平面平行的性质定理的理解试着完成下列各题,总结线面平行的性质定理的实质、作用及应用时的注意点.1.下列判断正确的是()A.a∥α,b⊂α,则a∥bB.a∩α=P,b⊂α,则a与b不平行C.a⊄α,则a∥αD.a∥α,b∥α,则a∥b 2.求证：如果一条直线和两个相交平面平行,那么这条直线和它们的交线平行. 【解题指南】1.利用直线与平面的位置关系考虑线线、线面是否平行.2.(1)用数学符号语言描述上述命题,写出已知和求证.(2)用图形语言描述上述命题,即画出相应图形.(3)综合利用线面平行的性质定理与判定定理解答本题. 【解析】1.选B.对于A,直线a,b可能平行也可能异面;a∩α=P,b⊂α,则a与b相交或异面,故不平行,B正确;对于C,直线a可能和平面α相交;对于D,直线a,b不一定平行. 2.已知：a∥α,a∥β,α∩β=l,求证：a∥l.证明：如图, 过a作平面γ,δ,使得γ∩α=c,δ∩β=d,那么有 【技法点拨】线面平行的性质定理的实质、作用及应用时的注意点(1)实质：线面平行的性质定理是由线面平行推出线线平行,定理内容揭示了“直线与平面平行之后它们具有什么样的性质”.(2)作用：证明直线与直线平行的一种方法.(3)注意点：在应用定理时要避免出现“一条直线平行于一个平面就平行于这个平面内的一切直线”的错误认识. 类型二线面平行的性质定理的简单应用尝试完成下列试题,体会性质定理的应用,并归纳应用定理证明线线平行的步骤.1.直线a,b,c及平面α,β,使a∥b成立的条件是()A.a∥α,b⊂αB.a∥α,b∥αC.a∥c,b∥cD.a∥α,α∩β=b 2.如图,E,H分别是空间四边形ABCD的边AB,AD的中点,平面α过EH分别交BC,CD于F,G.求证：EH∥FG. 【解题指南】1.考虑是否满足线面平行的性质定理,可以排除A,B,D.2.先证明EH∥平面BCD,再利用直线与平面平行的性质定理推出线线平行. 【解析】1.选C.a∥α,b⊂α,则a∥b或a,b异面,所以A错误;a∥α,b∥α,则a∥b或a,b异面或a,b相交,所以B错误;a∥α,α∩β=b,则a∥b或a,b异面,所以D错误;a∥c,b∥c,则a∥b,这是公理4,所以C正确.2.因为E,H分别是AB,AD的中点,所以EH∥BD.又BD⊂平面BCD,EH⊄平面BCD,所以EH∥平面BCD.又EH⊂α,α∩平面BCD=FG,所以EH∥FG. 【互动探究】题2中若已知EFGH是平行四边形,如何证明：BD∥平面EFGH,AC∥平面EFGH. 【证明】因为EFGH是平行四边形同理可证AC∥平面EFGH. 【技法点拨】利用线面平行的性质定理证明线线平行的四个步骤(1)在已知图形中确定(或寻找)一条直线平行于一个平面.(2)作出(或寻找)过这条直线且与这个平面相交的平面.(3)得出交线.(4)根据线面平行的性质定理得出结论. 类型三线面平行的判定定理与性质定理的综合应用试着完成下列各题,总结应用线面平行判定和性质定理的应用方法.1.如图,四棱锥S-ABCD的所有的棱长都等于2,E是SA的中点,过C,D,E三点的平面与SB交于点F,则四边形DEFC的周长为()A.2+B.3+C.3+2D.2+2 2.如图,三棱柱ABC-A′B′C′中,D是BC上一点,且满足A′B∥平面AC′D,则D是BC的. 【解题指南】1.根据线面平行的判定定理得到CD∥平面SAB,再根据线面平行的性质定理得到平行关系,进而得到线段EF,FC的长,可求四边形DEFC的周长.2.利用线面平行的性质定理,得出平面A′BC与平面AC′D的交线与A′B平行,进而利用中位线性质,得出D是BC的中点. 【解析】1.选C.因为AB=BC=CD=AD=2,所以四边形ABCD为菱形,所以CD∥AB.又CD⊄平面SAB,AB⊂平面SAB,所以CD∥平面SAB.又CD⊂平面CDEF,平面CDEF∩平面SAB=EF,所以CD∥EF.所以EF∥AB.又因为E为SA的中点,所以EF=AB=1. 又因为△SAD和△SBC都是等边三角形,所以DE=CF=2×sin60°=,所以四边形DEFC的周长为CD+DE+EF+FC=2++1+=3+2. 2.连接A′C交AC′于E,连接DE,在平行四边形AA′C′C中,A′C与AC′互相平分.所以A′E=EC.又因为A′B∥平面AC′D,平面A′BC∩平面AC′D=DE,所以A′B∥DE.在△A′BC中,A′E=EC,A′B∥DE,所以BD=DC,所以D是BC的中点.答案：中点 【技法点拨】利用线面平行的判定定理和性质定理的关注点(1)利用性质定理证明的关键是过直线作平面与已知平面相交.(2)证明过程,实际上就是不断交替使用线面平行的判定定理、性质定理及公理4的过程.这是证明线线平行的一种典型的思路.(3)若题目中含有线线平行的条件,可考虑线面平行的判定定理的条件;若含有线面平行的条件,可考虑线面平行的性质定理得线线平行. 【变式训练】如图所示,在长方体ABCD-A′B′C′D′中,点P∈BB′(不与B,B′重合).PA∩BA′=M,PC∩BC′=N,求证：MN∥平面B′AC. 【证明】连接AC,A′C′,B′A,B′C,因为ABCD-A′B′C′D′是长方体,所以AC∥A′C′.又AC⊄平面BA′C′,A′C′⊂平面BA′C′,所以AC∥平面BA′C′.又因为平面PAC过AC与平面BA′C′交于MN,所以MN∥AC.因为MN⊄平面B′AC,所以MN∥平面B′AC. 1.对于直线m,n和平面α,下面说法中正确的是()A.如果m⊂α,n⊄α,m,n是异面直线,那么n∥αB.如果m⊂α,n⊄α,m,n是异面直线,那么n与α相交C.如果m⊂α,n∥α,m,n共面,那么m∥nD.如果m∥α,n∥α,m,n共面,那么m∥n【解析】选C.如果m⊂α,n∥α,m,n共面,根据线面平行的性质定理,则m∥n,故选项C正确.在选项A中,n与α可能相交.在选项B中,n与α可能平行.在选项D中,m与n可能相交. 2.直线a∥b,且a与平面α相交,那么b与平面α的关系是()A.必相交B.可能平行C.相交或平行D.相交或在平面内【解析】选A.两条平行线,其中一条与平面相交,另一条也与平面相交. 3.下列结论中,正确的个数是()(1)若直线l上有无数个点不在平面α内,则l∥α.(2)若直线l平行于平面α内的无数条直线,则l∥α.(3)若直线l与平面α平行,则l与平面α内的任一直线平行.(4)若直线l在平面α外,则l∥α.A.0个B.1个C.2个D.3个 【解析】选A.(1)直线l上有无数个点不在平面α内,并没有说是所有点都不在平面α内,因而直线可能与平面平行,亦有可能与平面相交.解题时要注意“无数”并非“所有”.(2)直线l虽与α内无数条直线平行,但l有可能在平面α内,所以直线l不一定平行于α.(3)当l∥α时,若m⊂α且m∥l,则在平面α内,除了与m平行的直线以外的每一条直线与l都是异面直线.(4)直线l在平面α外,应包括两种情况：l∥α和l与α相交,所以l与α不一定平行.故选A. 4.已知m,n为两条不同的直线,α,β为两个不同的平面,则下列结论中正确的是()A.m∥α,m∥n⇒n∥αB.m∥α,n∥α⇒m∥nC.m∥α,m⊂β,α∩β=n⇒m∥nD.m∥α,n⊂α⇒m∥n【解析】选C.A中,n还有可能在平面α内;B中m,n可能相交、平行、异面;由线面平行的性质定理可得C正确.D中m,n可能异面. 5.如图所示的三棱柱ABC-A1B1C1中,过A1B1的平面与平面ABC交于直线DE,则DE与AB的关系是(“异面”“平行”或“相交”). 【解析】因为ABC-A1B1C1是三棱柱,所以A1B1∥AB.又因为A1B1⊄平面ABC,AB⊂平面ABC.所以A1B1∥平面ABC.因为A1B1⊂平面A1B1ED.平面A1B1ED∩平面ABC=DE,所以A1B1∥DE,所以DE∥AB.答案：平行 6.如图,a∥α,A是α另一侧的点,B,C,D∈a,线段AB,AC,AD交α于E,F,G,若BD=4,CF=4,AF=5,求EG的长度. 【解析】因为a∥α,EG=α∩平面ABD.所以a∥EG,即BD∥EG,所以则所以EG的长度为.