2022年人教A版高中数学必修二《2.2.3直线与平面平行的性质》学案

第二章 点、直线、平面之间的位置关系2.2 直线、平面平行的判定及其性质2.2.3 直线与平面平行的性质学习目标1.探究直线与平面平行的性质定理.2.体会直线与平面平行的性质定理的应用.3.通过线线平行与线面平行转化,培养学生的学习兴趣.合作学习一、设计问题,创设情境观察长方体,可以发现长方体ABCD-A'B'C'D'中,线段A'B所在的直线与长方体ABCD-A'B'C'D'的侧面C'D'DC所在平面平行,你能在侧面C'D'DC所在平面内作一条直线与A'B平行吗?二、信息交流,揭示规律问题1:若一条直线与一个平面平行,则这条直线与平面内直线的位置关系有哪些?问题2:怎样在平面内作一条直线与该直线平行呢?(排除异面的情况)问题3:能不能用三种语言描述直线和平面平行的性质定理?问题4:如何证明直线与平面平行的性质定理?问题5:应用线面平行的性质定理的关键是什么?三、运用规律,解决问题【例1】如图所示的一块木料中,棱BC平行于平面A'C'.(1)要经过平面A'C'内的一点P和棱BC将木料锯开,应怎样画线? (2)所画的线与平面AC是什么位置关系?【例2】已知平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面,求证:另一条也平行于这个平面.【例3】如图,a∥α,A是α另一侧的点,B,C,D∈a,线段AB,AC,AD交α于E,F,G点,若BD=4,CF=4,AF=5,求EG.四、变式演练,深化提高1.如图,E,H分别是空间四边形ABCD的边AB,AD的中点,平面α过EH分别交BC,CD于F,G.求证:EH∥FG.2.求证:一条直线与两个相交平面都平行,则这条直线与这两个相交平面的交线平行.3.如图,平面EFGH分别平行于CD,AB,E,F,G,H分别在BD,BC,AC,AD上,且CD=a,AB=b,CD⊥AB.(1)求证:EFGH是矩形;(2)设DE=m,EB=n,求矩形EFGH的面积.五、反思小结,观点提炼本节课我们学习了哪些知识? 六、作业精选,巩固提高课本P61习题2.2A组第5,6题.参考答案二、问题1:若一条直线与一个平面平行,这条直线与平面内直线的位置关系不可能是相交(可用反证法证明),所以,该直线与平面内直线的位置关系还有两种,即平行或异面.问题2:经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行.问题3:①直线和平面平行的性质定理文字语言:一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行.②符号语言:⇒a∥b.③图形语言:如图问题4:已知a∥α,a⊂β,α∩β=b.求证:a∥b.证明:⇒a∥b.问题5:过这条直线作一个平面.三、【例1】分析:经过木料表面A'C'内的一点P和棱BC将木料锯开,实际上是经过BC及BC外一点P作截面,也就是找出平面与平面的交线.我们可以由直线与平面平行的性质定理和公理4、公理2作出.解:(1)如图,在平面A'C'内,过点P作直线EF,使EF∥B'C',并分别交棱A'B',C'D'于点E,F.连接BE,CF.则EF,BE,CF就是应画的线.(2)因为棱BC平行于平面A'C',平面BC'与平面A'C'交于B'C',所以BC∥B'C'.由(1)知,EF∥B'C',所以EF∥BC.因此⇒EF∥平面AC.BE、CF显然都与平面AC相交.【例2】分析:如图,已知直线a,b,平面α,且a∥b,a∥α,a,b都在平面α外. 求证:b∥α.证明:过a作平面β,使它与平面α相交,交线为c.∵a∥α,a⊂β,α∩β=c,∴a∥c.∵a∥b,∴b∥c.∵c⊂α,b⊄α,∴b∥α.【例3】解:A∉a,∴A,a确定一个平面,设为β.∵B∈a,∴B∈β.又A∈β,∴AB⊂β.同理AC⊂β,AD⊂β.∵点A与直线a在α的异侧,∴β与α相交.∴平面ABD与平面α相交,交线为EG.∵BD∥α,BD⊂平面BAD,平面BAD∩α=EG,∴BD∥EG.∴△AEG∽△ABD.∴.(相似三角形对应线段成比例)∴EG=·BD=×4=.点评:见到线面平行,先过这条直线作一个平面找交线,直线与交线平行,如果再需要过已知点,这个平面是确定的.四、1.证明:∵E,H分别是AB,AD的中点,∴EH∥BD.又BD⊂平面BCD,EH⊄平面BCD,∴EH∥平面BCD.又EH⊂α,α∩平面BCD=FG,∴EH∥FG.点评:见到线面平行,先过这条直线作一个平面找交线,则直线与交线平行.2.证明:如图,过a作平面γ,δ,使得γ∩α=c,δ∩β=d,那么有⇒a∥b.点评:本题的证明过程实际上就是不断交替使用线面平行的判定定理、性质定理及公理4的过程,这是证明线线平行典型的思路.3.解:(1)证明:∵CD∥平面EFGH,而平面EFGH∩平面BCD=EF,∴CD∥EF.同理HG∥CD,∴EF∥HG.同理HE∥GF,∴四边形EFGH为平行四边形.由CD∥EF,HE∥AB,∴∠HEF为CD和AB所成的角.又∵CD⊥AB,∴HE⊥EF.∴四边形EFGH为矩形.(2)由(1)可知在△BCD中EF∥CD,DE=m,EB=n,∴.又CD=a,∴EF=a.由HE∥AB,∴. 又∵AB=b,∴HE=b.又∵四边形EFGH为矩形,∴S矩形EFGH=HE·EF=b·a=ab.点评:线面平行问题是平行问题的重点,有广泛的应用.