高中数学 第二章《2.2.3-2.2.4 直线与平面、平面与平面平行的性质》习题课 新人教A版必修

黑龙江省大庆外国语学校高一数学必修二第二章《2.2.3-2.2.4直线与平面、平面与平面平行的性质》习题课学生在学习直线、平面平行的判定及其性质时，经常遇到困难，下面就学生在解题中出现的错误分析如下。一、平行的意义例1给出下面命题：（1）如果一条直线和一个平面平行，那么它就和这个平面内的任何直线平行；（2）如果一条直线和另一条直线平行，那么它就和经过另一条直线的任何平面平行；（3）平行于同一个平面的两条直线平行。其中正确命题的个数是（）A.0B.1C.2D.3错解D.分析对直线和平面平行的定义、判定和性质不理解，造成错误。（1）正方体的上底面的一条棱平行于下底面，显然下底面存在直线与这条棱是异面直线；（2）存在平面同时经过这两条直线；（3）平行于同一平面的两条直线可能平行、异面、相交。图1－1abcA正解A.二、思维定势例2已知直线a、b，有a∥b，b∥平面，a，求证：a∥平面。错解如图1－1，在内任取一点A，在内过A点作直线c，使c∥b，因为a∥b，所以a∥c。又a，c，所以a∥平面。图1－2abc分析错解中“在内任取一点A，在内过A点作直线c，使c∥b”这一作图不符合立体几何作图的要求。错因是想当然地把平面几何的有关知识迁移到立体几何中造成的。正解如图1－2，过b作平面交平面于直线c。由b∥平面，b，＝c，得b∥c。又因为a∥b，所以a∥c。而a，c，所以a∥平面。三、平行的性质图2－1ABCDMN例3已知AB、CD为夹在两个平行平面、之间的异面线段，M、N分别为AB、CD的中点，求证：MN∥，MN∥。错解如图2－1，因为∥，所以AC∥BD。又M、N分别为AB、CD的中点，所以MN∥BD，MN∥AC。所以MN∥，MN∥。 分析错解中“因为∥，所以AC∥BD。”这是错误的。假如AC∥BD，则A、C、B、D四点共面。即AB与CD共面。这与题设AB、CD为异面线段矛盾。这是未弄清平面平行的性质造成的错误图2－2ABCDPEMN正解如图2－2，过D作DE∥AB交于E。设DE中点为P，则在ABDE中，MP∥AE。又在△DCE中，NP∥CE，所以平面PMN∥。所以MN∥。又∥，且MN，所以MN∥。四、证明理由不充分例4如图3，两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，M∈AC，N∈FB，且AM＝FN。求证：MN∥平面BCE。图3ABCDEFMNL错解过M作ML∥BC交AB于L，连接NL，则ML∥BC，NL∥AF。所以平面MNL∥平面BCE。所以MN∥平面BCE。分析在证明，NL∥AF以及证明面面平行时，理由不充分，这也是学生经常犯的错误。正解过M作ML∥BC交AB于L，连接NL，则在△ABC中，ML∥BC，则。又AC＝FB且AM＝FN，所以。所以。所以NL∥AF。又AF∥BE，所以NL∥BE。所以平面MNL∥平面BCE。所以MN∥平面BCE。五、循环论证图4－1abMN例5a、b是两条异面直线，求证：过直线a且平行于直线b的平面必与过直线b且平行于直线a的平面平行。ba图4－2错解如图4－1，过a作平面M交平面于，则a∥。因为a、b是两条异面直线，且与b都在平面内，所以与b必相交。同理，过b作平面N交平面于，可得b∥且于a相交。由a∥，b∥，且与b相交，于a相交，a与都在平面内，与b都在平面内，所以∥。分析错解中a∥，只有当∥时才能成立。而题目本身要求证明∥，这样就犯了循环论证的逻辑错误。正解如图4－2，过b作平面交平面于直线。因为b∥，所以b∥。因为a、b是两条异面直线，b∥，所以a与不平行。又a与都在平面内，所以a与必相交。因为b∥，b，所以∥。又a∥，所以∥