2022年人教A版高中数学必修二《2.2.3直线与平面平行的性质》学案

2．2.3 直线与平面平行的性质学习目标 1.掌握直线与平面平行的性质定理，明确由线面平行可推出线线平行；2.结合具体问题体会化归与转化的数学思想．知识点 直线与平面平行的性质思考1 如图，直线l∥平面α，直线a⊂平面α，直线l与直线a一定平行吗？为什么？答案 不一定，因为还可能是异面直线．思考2 如图，直线a∥平面α，直线a⊂平面β，平面α∩平面β＝直线b，满足以上条件的平面β有多少个？直线a，b有什么位置关系？答案 无数个，a∥b.文字语言一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行符号语言a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b图形语言类型一 线面平行的性质及应用例1 如图，用平行于四面体ABCD的一组对棱AB，CD的平面截此四面体，求证：截面MNPQ是平行四边形． 证明 因为AB∥平面MNPQ，平面ABC∩平面MNPQ＝MN，且AB⊂平面ABC，所以由线面平行的性质定理，知AB∥MN.同理AB∥PQ，所以MN∥PQ.同理可得MQ∥NP.所以截面四边形MNPQ是平行四边形．反思与感悟 利用线面平行的性质定理解题的步骤(1)确定(或寻找)一条直线平行于一个平面．(2)确定(或寻找)过这条直线且与这个平行平面相交的平面．(3)确定交线．(4)由性质定理得出结论．跟踪训练1 如图，已知E，F分别是菱形ABCD边BC，CD的中点，EF与AC交于点O，点P在平面ABCD之外，M是线段PA上一动点，若PC∥平面MEF，试求PM∶MA的值．解 如图，连接BD交AC于点O1，连接OM，因为PC∥平面MEF，平面PAC∩平面MEF＝OM，所以PC∥OM，所以＝，在菱形ABCD中，因为E，F分别是边BC，CD的中点，所以＝.又AO1＝CO1，所以＝＝，故PM∶MA＝1∶3. 类型二 线面平行的性质与判定的综合应用例2 已知，a∥α，且a∥β，α∩β＝l，求证：a∥l.证明 如图，过a作平面γ交α于b.因为a∥α，所以a∥b.过a作平面ε交平面β于c.因为a∥β，所以a∥c，所以b∥c.又b⊄β且c⊂β，所以b∥β.又平面α过b交β于l，所以b∥l.因为a∥b，所以a∥l.反思与感悟 判定定理与性质定理常常交替使用，即先通过线线平行推出线面平行，再通过线面平行推出线线平行，复杂的题目还可以继续推下去，我们可称它为平行链，如下：线线平行线面平行线线平行．跟踪训练2 如图所示，四面体ABCD被一平面所截，截面EFGH是一个矩形．求证：CD∥平面EFGH.证明 ∵截面EFGH是矩形，∴EF∥GH.又GH⊂平面BCD，EF⊄平面BCD.∴EF∥平面BCD.而EF⊂平面ACD，平面ACD∩平面BCD＝CD，∴EF∥CD.又EF⊂平面EFGH，CD⊄平面EFGH，∴CD∥平面EFGH.1．已知直线l∥平面α，l⊂平面β，α∩β＝m，则直线l，m的位置关系是(  )A．相交B．平行C．异面D．相交或异面答案 B解析 由直线与平面平行的性质定理知l∥m. 2．直线a∥平面α，α内有n条直线交于一点，则这n条直线中与直线a平行的直线有(  )A．0条B．1条C．0条或1条D．无数条答案 C解析 过直线a与交点作平面β，设平面β与α交于直线b，则a∥b，若所给n条直线中有1条是与b重合的，则此直线与直线a平行，若没有与b重合的，则与直线a平行的直线有0条．3.如图所示，直线a∥平面α，A∉α，并且a和A位于平面α两侧，点B，C∈a，AB，AC分别交平面α于点E，F，若BC＝4，CF＝5，AF＝3，则EF＝________.答案 解析 由于点A不在直线a上，则直线a和点A确定一个平面β，所以α∩β＝EF.因为a∥平面α，a⊂平面β，所以EF∥a.所以＝.所以EF＝＝＝.4.如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，P为平面ABC外一点，E，F分别是PA，PC的中点．记平面BEF与平面ABC的交线为l，试判断直线l与平面PAC的位置关系，并加以证明．解析 直线l∥平面PAC，证明如下：因为E，F分别是PA，PC的中点，所以EF∥AC.又EF⊄平面ABC，且AC⊂平面ABC，所以EF∥平面ABC.而EF⊂平面BEF，且平面BEF∩平面ABC＝l，所以EF∥l. 因为l⊄平面PAC，EF⊂平面PAC，所以l∥平面PAC.1．在遇到线面平行时，常需作出过已知直线与已知平面相交的辅助平面，以便运用线面平行的性质．2．要灵活应用线线平行、线面平行的相互联系、相互转化．在解决立体几何中的平行问题时，一般都要用到平行关系的转化．转化思想是解决这类问题的最有效的方法．一、选择题1．已知直线a∥平面α，直线b⊂α，则a与b的关系为(  )A．相交B．平行C．异面D．平行或异面答案 D解析 a∥α，a与α无公共点，b⊂α，∴a与b无公共点，∴a与b平行或异面．2.如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是棱AA1和BB1的中点，过EF的平面EFGH分别交BC和AD于G、H，则GH与AB的位置关系是(  )A．平行B．相交C．异面D．平行和异面答案 A解析 ∵E、F分别是AA1、BB1的中点，∴EF∥AB.又AB⊄平面EFGH，EF⊂平面EFGH，∴AB∥平面EFGH.又AB⊂平面ABCD，平面ABCD∩平面EFGH＝GH，∴AB∥GH. 3．若一条直线和一个平面平行，夹在直线和平面间的两条线段相等，那么这两条线段所在直线的位置关系是(  )A．平行B．相交C．异面D．平行、相交或异面答案 D解析 画图可知两直线可平行、相交或异面，故选D.4．过平面α外的直线l，作一组平面与α相交，如果所得的交线为a，b，c，…，则这些交线的位置关系为(  )A．都平行B．都相交且一定交于同一点C．都相交但不一定交于同一点D．都平行或都交于同一点答案 D解析 分l∥α和l与α相交两种情况作答，对应的结果是都平行和都交于同一点．5.如图，四棱锥SABCD的所有的棱长都等于2，E是SA的中点，过C，D，E三点的平面与SB交于点F，则四边形DEFC的周长为(  )A．2＋   B．3＋C．3＋2   D．2＋2答案 C解析 ∵CD∥AB，又CD⊄平面SAB，∴CD∥平面SAB，又平面CDEF∩平面SAB＝EF，∴CD∥EF，又CD∥AB，∴AB∥EF，∵SE＝EA，∴EF为△ABS的中位线，∴EF＝AB＝1，又DE＝CF＝，∴四边形DEFC的周长为3＋2.6.如图，在四面体ABCD中，截面PQMN是正方形，在下列命题中，错误的为(  ) A．AC⊥BDB．AC∥截面PQMNC．AC＝BDD．异面直线PM与BD所成的角为45°答案 C解析 由PQ∥AC，QM∥BD，PQ⊥QM可知AC⊥BD，故A正确；由PQ∥AC可得AC∥截面PQMN，故B正确；异面直线PM与BD所成的角等于PM与PN所成的角，故D正确；故C是错误的，选C.二、填空题7.如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上．若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于______．答案 解析 由于在正方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝2，∴AC＝2.又E为AD的中点，EF∥平面AB1C，EF⊂平面ADC，平面ADC∩平面AB1C＝AC，∴EF∥AC，∴F为DC的中点，∴EF＝AC＝.8.如图所示，ABCD—A1B1C1D1是棱长为a的正方体，M、N分别是下底面的棱A1B1、B1C1的中点，P是上底面的棱AD上的一点，AP＝，过P，M，N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，则PQ＝________.答案 a解析 ∵MN∥平面AC，平面PMN∩平面AC＝PQ， ∴MN∥PQ，易知DP＝DQ＝，故PQ＝＝DP＝.9.如图所示，在空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是四边上的点，它们共面，并且AC∥平面EFGH，BD∥平面EFGH，AC＝m，BD＝n，当四边形EFGH是菱形时，AE∶EB＝________.答案 m∶n解析 ∵AC∥平面EFGH，∴EF∥AC，GH∥AC，∴EF＝HG＝m·，同理EH＝FG＝n·.∵四边形EFGH是菱形，∴m·＝n·，∴AE∶EB＝m∶n.10.已知(如图)A，B，C，D四点不共面，且AB∥α，CD∥α，AC∩α＝E，AD∩α＝F，BD∩α＝H，BC∩α＝G，则四边形EFHG的形状是________．答案 平行四边形解析 ∵AB∥α，平面ABC∩α＝EG，∴EG∥AB.同理FH∥AB，∴EG∥FH.又CD∥α，平面BCD∩α＝GH，∴GH∥CD.同理EF∥CD.∴GH∥EF.∴四边形EFHG是平行四边形．三、解答题11.如图所示，P为平行四边形ABCD所在平面外一点，M、N分别为AB、PC的中点，平面PAD∩平面PBC＝l. (1)求证：BC∥l；(2)MN与平面PAD是否平行？试证明你的结论．(1)证明 ∵BC∥AD，AD⊂平面PAD，BC⊄平面PAD，∴BC∥平面PAD.又∵平面PAD∩平面PBC＝l，BC⊂平面PBC，∴BC∥l.(2)解 MN∥平面PAD.证明如下：如图所示，取PD中点E.连接EN、AE.又∵N为PC中点，EN綊AB，∴EN綊AM，∴四边形ENMA为平行四边形，∴AE∥MN.又∵AE⊂平面PAD，MN⊄平面PAD，∴MN∥平面PAD.12．如图，ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH，求证：AP∥GH.证明 如图所示，连接AC交BD于O，连接MO，∵ABCD是平行四边形，∴O是AC中点，又M是PC的中点，∴AP∥OM.根据直线和平面平行的判定定理， 则有PA∥平面BMD.∵平面PAHG∩平面BMD＝GH，根据直线和平面平行的性质定理，则有AP∥GH.13．如图所示，已知正三棱柱ABCA′B′C′中，D是AA′上的点，E是B′C′的中点，且A′E∥平面DBC′.试判断D点在AA′上的位置，并给出证明．解 点D为AA′的中点．证明如下：取BC的中点F，连接AF，EF，如图，设EF与BC′交于点O，易证A′E∥AF，A′E＝AF.易知A′，E，F，A共面于平面A′EFA，因为A′E∥平面DBC′，A′E⊂平面A′EFA，且平面DBC′∩平面A′EFA＝DO，所以A′E∥DO.在平行四边形A′EFA中，因为O是EF的中点(因为EC′∥BF，且EC′＝BF)，所以点D为AA′的中点．