学案3直线与平面平行与平面和平面平行

进入学案3直线和平面平行与平面和平面平行 考点一考点二考点三考点四 1.（1）直线与平面的位置关系①直线在平面内——公共点；②直线在平面外：相交——公共点；平行——公共点.（2）直线和平面平行的定义如果一条直线和一个平面没有，那么我们说这条直线和这个平面平行.有无数个只有一个没有公共点返回目录 （3）直线和平面平行的判定定理如果一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.（4）直线和平面平行的性质定理如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和平行.2.（1）平面与平面的位置关系①两个平面平行：平面和平面公共点；②两个平面相交：平面和平面.（2）两个平面平行①判定定理如果一个平面内有两条直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行.不在一个平面内的交线没有有一条公共直线相交返回目录 ②判定定理的推论如果一个平面内有两条直线分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行.③性质定理如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的平行.交线相交返回目录 【例1】设有不同的直线a,b和不同的平面α,β,γ，给出下列三个命题：（1）若a∥α，b∥α，则a∥b;（2）若a∥α,a∥β,则α∥β;（3）若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β.其中正确命题的个数是（）考点一线面的平行关系返回目录 【分析】本例主要考查线面、面面平行的判定，根据相关定理判断.【解析】（1）如果a,b是平面M中的两条相交直线，面M∥α,∴a∥α,b∥α,但a∥b，∴(1)错；（2）如果α∩β=b,而a∥b,∴有a∥α,α∥β,但α∥β,∴(2)错；（3）如果α∩β=b,而b⊥γ,∴α⊥γ,β⊥γ,但α∥β,∴（3）错.故应选A.【评析】此类题型是立体几何中常见题型，尤其多见于高考的选择、填空题中，解决此类题目时，除应用相关公理、定理、性质外，还应注意想图形、画草图、举例等.返回目录 α,β是两个不重合的平面，可判定平面α与平面β平行的是（）A.α,β都垂直于平面γB.α内不共线的三点到平面β的距离都相等C.l,m是平面α内两条直线，且l∥β，m∥βD.l,m是两条异面直线，且l∥α,m∥α,l∥β,m∥βD(A选项仅须看“一个墙角”所确定三个平面，就知A错;B选项没有指明三点在β的同一侧，也就是说明三点可能在β的两侧，虽然到β的距离都相等，但α与β仍是相交的，所以B也不正确;＊对应演练＊返回目录 C选项中缺少“两条直线为相交直线”这一条件;对于D选项由于平行于两条异面直线的平面必垂直于这两条异面直线的公垂线，所以α,β都垂直于异面直线l,m的公垂线，从而α和β平行，即D正确.故应选D.)返回目录 【例2】如图9-3-2，正方体ABCD—A1B1C1D1中，侧面对角线AB1，BC1上分别有两点E，F，B1E=C1F，求证：EF∥平面ABCD.【分析】用线面平行的判定定理来证,或用面面平行的性质定理来证.考点二直线与平面平行返回目录 【证明】证法一：分别过E，F作EM⊥AB于M，FN⊥BC于N，连结MN.∵BB1⊥平面ABCD，∴BB1⊥AB,BB1⊥BC,∴EM∥BB1,FN∥BB1,∴EM∥FN.又B1E=C1F，∴EM=FN，故四边形MNFE是平行四边形,∴EF∥MN.又MN在平面ABCD中，∴EF∥平面ABCD.返回目录 证法二：过E作EG∥AB交BB1于G，连结GF，则∵B1E=C1F,B1A=C1B,∴∴FG∥B1C1∥BC.又EG∩FG=G，AB∩BC=B,∴平面EFG∥平面ABCD，而EF平面EFG，∴EF∥平面ABCD.返回目录 【评析】判断或证明线面平行的常用方法有：①利用线面平行的定义（无公共点）；②利用线面平行的判定定理（a/α,bα,a∥ba∥α）;③利用面面平行的性质定理（α∥β,aαa∥β）;④利用面面平行的性质（α∥β,aα,aβ,a∥αa∥β）.本例证法一利用了上述方法②，要证EF∥平面ABCD，需在面ABCD内找一条线与EF平行，而图中没有，需要设法作出来.因此，添加辅助线（面）是解决线面问题的关键.本例证法二利用了上述方法③，应充分认识到辅助线（面）在化空间问题为平面问题中的转化作用.返回目录 已知a∥α,a∥β，且α∩β=b，求证：a∥b.证明：证法一：如图所示经过直线a作平面P，Q，使P∩α=c,Q∩β=d,∵a∥αaPP∩α=c同理可证a∥d,根据公理4得c∥d.∵c∥d又cαcβα∩β=bdβc∥β又a∥c,∴a∥b.＊对应演练＊a∥c,c∥βc∥b,返回目录 证法二：如图，在b上任取一点P，则Pa.设a与P确定平面γ，设γ∩α=m,γ∩β=n.∵a∥α,a∥β,∴a∥m,a∥n.又m与n有公共点P，∴m与n重合，且既在α内，又在β内，故m,n重合,为α与β的交线b.∴a∥b.返回目录 【例3】如图9-3-4所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M，N，P分别是C1C，B1C1，C1D1的中点.求证：（1）AP⊥MN;（2）平面MNP∥平面A1BD.【分析】（1）找出AP在面BB1C1C上的射影，利用三垂线定理证明.（2）由于M，N，P都为中点，故添加B1C，B1D1作为联系的桥梁.考点三平面与平面平行返回目录 【证明】（1）连结BC1，B1C，则B1C⊥BC1,BC1是AP在面BB1C1C上的射影.∴AP⊥B1C,又B1C∥MN，∴AP⊥MN.（2）证法一：连结B1D1.∵P,N分别是D1C1，B1C1的中点，∴PN∥B1D1.又B1D1∥BD,∴PN∥BD.又PN平面A1BD，∴PN∥平面A1BD.同理MN∥平面A1BD，又PN∩MN=N,∴平面PMN∥平面A1BD.返回目录 证法二：连结AC1，AC，如图所示，∵ABCD—A1B1C1D1为正方体，∴AC⊥BD.又CC1⊥面ABCD,∴AC为AC1在面ABCD上的射影，∴AC1⊥BD.同理可证AC1⊥A1B,∴AC1⊥平面A1BD.同理可证AC1⊥平面PMN，∴平面PMN∥平面A1BD.【评析】（2）的证明体现了证明面面平行的两种常用的方法，解决此类问题关键是选择或添加适当的辅助线（或面），使问题得以转化.返回目录 如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，P，Q，R分别为AB，CD，C1D1的中点，求证：（1）B1D∥平面BQC1；（2）平面PB1RD∥平面BQC1.证明：（1）连结B1C与BC1交于O点，连结OQ，在△B1CD中，B1D∥OQ,又DB1平面BQC1，OQ平面BQC1，则B1D∥平面BQC1.＊对应演练＊返回目录 （2）∵PBDQ,则四边形PBQD为平行四边形，∴PD∥BQ;连结PQ，由PQBCB1C1知四边形PQC1B1为平行四边形，∴PB1∥C1Q,又PD∩PB1=P,因此平面PB1RD∥平面BQC1.===返回目录 返回目录1.直线与平面平行的关系如下所示：线线平行在平面内作或找一直线线面平行经过直线作或找平面与平面相交得交线线线平行2.线线关系或面面关系都转化为线面关系来分析解决，关系如下所示：线线平行判定性质线面平行判定性质面面平行3.要能够灵活地作出辅助线或辅助平面来解决问题.辅助面、辅助线具有的性质，一定要以某一性质定理为依据，决不能凭主观臆断. 祝同学们学习上天天有进步！