平面与平面平行的性质

1．给出下列四个命题：①垂直于同一平面的两条直线相互平行；②垂直于同一平面的两个平面相互平行；③若一个平面内有无数条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；④若一条直线垂直于一个平面内的任一直线，那么这条直线垂直于这个平面。其中真命题的个数是()A．1B．2C．3D．4解析由直线与平面垂直的性质，可知①正确；正方体的相邻的两个侧面都垂直于底面，而不平行，故②错；③中两平面有可能相交，故③错；由直线与平面垂直的定义知④正确。答案B2．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下面命题正确的是()A．m⊥α，nβ，m⊥n?α⊥βB．α⊥β，m⊥α，n⊥β?m⊥nC．α⊥β，m⊥α，n∥β?m∥nD．α⊥β，α∩β＝m，n⊥m?n⊥β解析对于选项A，α与β还可能平行，选项A错；对于选项B，设α∩β＝l，在β内作c⊥l，则c⊥α，所以m∥c，且n⊥c，所以m⊥n，选项B正确；而对于选项C和D，容易举出反例来否定。 答案B3．设a，b，c是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则a⊥b的一个充分条件是()A．a⊥c，b⊥cB．α⊥β，aα，bβC．a⊥α，b∥αD．a⊥α，b⊥α解析对于选项C，在平面α内存在m∥b，因为a⊥α，所以a⊥m，故a⊥b；A，B选项中，直线a，b可能是平行直线，相交直线，也可能是异面直线；D选项中一定推出a∥b。答案C4．(2016·南昌模拟)设a，b是夹角为30°的异面直线，则满足条件“aα，bβ，且α⊥β”的平面α，β()A．不存在B．有且只有一对C．有且只有两对D．有无数对解析过直线a的平面α有无数个，当平面α与直线b平行时，两直线的公垂线与b确定的平面β⊥α，当平面α与b相交时，过交点作平面α的垂线与b确定的平面β⊥α。故选D。答案D5．如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在() A．直线AB上B．直线BC上C．直线AC上D．△ABC内部解析由AC⊥AB，AC⊥BC，∴⊥平面。1ACABC1又∵AC平面ABC，∴平面ABC1⊥平面ABC。∴C1在面ABC上的射影H必在两平面的交线AB上。答案A6．如图所示，AB是⊙O的直径，VA垂直于⊙O所在的平面，点C是圆周上不同于A，B的任意一点，M，N分别为VA，VC的中点，则下列结论正确的是()A．MN∥ABB．MN与BC所成的角为45°C．OC⊥平面VACD．平面VAC⊥平面VBC解析对于A，MN与AB异面，故A错，对于B，可证BC⊥平面VAC，故BC⊥MN，所以所成的角为90°，因此B错；对于C，OC与AC不垂直，所以OC不可能垂直平面VAC，故C错；对于D，由于BC⊥AC，因为VA⊥平面ABC，BC平面ABC，所以VA⊥BC，因为 AC∩VA＝A，所以BC⊥平面VAC，BC平面VBC，所以平面VAC⊥平面VBC，故D正确。答案D7．如图，∠BAC＝90°，PC⊥平面ABC，则在△ABC，△PAC的边所在的直线中，与PC垂直的直线有________；与AP垂直的直线有________。解析∵PC⊥平面ABC，∴PC垂直于直线AB，BC，AC。∵AB⊥AC，AB⊥PC，AC∩PC＝C，∴AB⊥平面PAC，∴AB⊥PA。与AP垂直的直线是AB。答案AB，BC，ACAB8.如图，在三棱锥D－ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列命题中正确的有________(写出全部正确命题的序号)。①平面ABC⊥平面ABD；②平面ABD⊥平面BCD；③平面ABC⊥平面BDE，且平面ACD⊥平面BDE；④平面ABC⊥平面ACD，且平面ACD⊥平面BDE。 解析由AB＝CB，AD＝CD知AC⊥DE，AC⊥BE，从而AC⊥平面BDE，故③正确。答案③9．(2016·盐城模拟)已知平面α，β，γ，直线l，m满足α⊥γ，γ∩α＝m，γ∩β＝l，l⊥m，那么：①m⊥β；②l⊥α；③β⊥γ；④α⊥β。由上述条件可推出的结论有________(写出全部正确结论的序号)。解析由条件知α⊥γ，γ∩α＝m，lγ，l⊥m，则根据面面垂直的性质定理有l⊥α，即②成立；又lβ，根据面面垂直的判定定理有α⊥β，即④成立。答案②④10.(2016哈·尔滨模拟)如图所示，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB＝60°，AB＝2AD，PD⊥底面ABCD。(1)证明：PA⊥BD；(2)设PD＝AD＝1，求棱锥D－PBC的高。解(1)证明：因为∠DAB＝60°，AB＝2AD，由余弦定理得BD＝3AD，从而AB2＝AD2＋BD2，故AD⊥BD，又PD⊥底面ABCD，可得BD⊥PD，又PD平面PAD，AD平面PAD，PD∩AD＝D，所以BD⊥平面PAD，又PA平面PAD，故PA⊥BD。 (2)如图，作DE⊥PB，垂足为E。已知PD⊥底面ABCD，则PD⊥BC。由(1)知BD⊥AD，又BC∥AD，∴BC⊥BD。又PD，BD平面PBD，PD∩BD＝D，故BC⊥平面PBD，又DE平面PBD，所以BC⊥DE。又BC，PB平面PBC，BC∩PB＝B，则DE⊥平面PBC。∵AD＝1，AB＝2，∠DAB＝60°。∴BD＝3。又PD＝1，∴PB＝2。3根据DE·PB＝PD·BD，得DE＝2，3即棱锥D－PBC的高为2。11．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1＝AC＝2，BC＝1，E，F分别是A1C1，BC的中点。(1)求证：平面ABE⊥平面B1BCC1；(2)求证：C1F∥平面ABE；(3)求三棱锥E－ABC的体积。解(1)证明： 在三棱柱ABC－A1B1C1中，BB1⊥底面ABC。所以BB1⊥AB。又因为AB⊥BC，所以AB⊥平面B1BCC1。因为AB平面ABE。所以平面ABE⊥平面B1BCC1。(2)证明：取AB的中点G，连接EG，FG。因为E，F分别是A1C1，BC的中点，1所以FG∥AC，且FG＝2AC。因为AC∥A1C1，且AC＝A1C1，所以FG∥EC1，且FG＝EC1。所以四边形FGEC1为平行四边形。所以C1F∥EG。又因为EG平面ABE，C1F平面ABE，所以C1F∥平面ABE。(3)因为AA1＝AC＝2，BC＝1，AB⊥BC，所以AB＝AC2－BC2＝3。 所以三棱锥E－ABC的体积＝1△·＝1×1×3×1×2＝V3SABCAA1323。3