2022年人教A版高中数学必修二《2.2.3直线与平面平行的性质》学案

2.2.3 直线与平面平行的性质2.2.4 平面与平面平行的性质知识导图学法指导学习本节知识的过程中，一方面要把握好性质定理的条件(切不可漏掉某个条件)和结论，根据结论来找条件；另一方面要熟练掌握平行关系的转化，根据题目的条件和结论，巧妙地实现线线平行、线面平行和面面平行之间的相互转化．高考导航本节知识在高考中若出现在选择题、填空题中，则难度不大，分值5分；若出现在解答题中，则常利用线面平行、面面平行的性质定理得到线线平行，再进一步证明其他问题.知识点一 直线与平面平行的性质文字语言一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行符号语言⇒a∥b图形语言定理中有三个条件：①直线a和平面α平行，即a∥α；②直线a在平面β内，即a⊂β；③平面α，β相交，即α∩β＝b.三个条件缺一不可．知识点二 平面与平面平行的性质文字语言如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行符号语言⇒a∥b 图形语言1．已知两个平面平行，虽然一个平面内的任何直线都平行于另一个平面，但是这两个平面内的所有直线并不一定相互平行，它们可能是平行直线，也可能是异面直线，但不可能是相交直线．2．该定理提供了证明线线平行的另一种方法，应用时要紧扣与两个平行平面都相交的第三个平面．[小试身手]1．判断下列命题是否正确.(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若直线a∥平面α，直线a∥直线b，则直线b∥平面α.(  )(2)若直线a∥平面α，则直线a与平面α内任意一条直线都无公共点．(  )(3)若α∥β，则平面α内有无数条互相平行的直线平行于平面β.(  )答案：(1)× (2)√ (3)√2．平面α与△ABC的两边AB，AC分别交于点D，E，且AD︰DB＝AE︰EC，如图，则BC与α的位置关系是(  )A.平行B.相交C.平行或相交D.异面解析：因为AD∶DB＝AE∶EC，所以DE∥BC，又DE⊂α，BC⊄α，所以BC∥α.答案：A3．过平面外一条直线作已知平面的平行平面(  )A．必定可以并且可以作一个 B．至少可以作一个C．至多可以作一个D．一定不能作 解析：直线与平面相交时，平行的平面不存在；直线与平面平行时，平行的平面唯一．答案：C4．如图，α∩β＝CD，α∩γ＝EF，β∩γ＝AB，AB∥α，则CD与EF的位置关系为________．解析：由线面平行的性质得，AB∥CD，AB∥EF，由公理4得CD∥EF.答案：平行类型一 线面平行的性质定理的应用例1 如图所示，已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，E是PC的中点，在DE上任取一点F，过点F和AP作平面PAGF交平面BDE于FG，求证：AP∥GF.【证明】 如图所示，连接AC交BD于点O，连接OE，∵四边形ABCD为平行四边形，∴点O是AC的中点，又E是PC的中点，∴AP∥OE.∵AP⊄平面BDE，OE⊂平面BDE，∴AP⊂面PAGF，AP∥平面BDE.∵平面PAGF∩平面BDE＝GF，∴AP∥GF.要证AP∥GF，根据线面平行的性质定理，只需证AP∥平面BDE，即只需证AP与平面BDE内的某一条直线平行． 方法归纳(1)直线与平面平行的性质定理作为线线平行的依据，可以用来证明线线平行．(2)运用线面平行的性质定理时，应先确定线面平行，再寻找过已知直线的平面与这个平面相交的交线，然后确定线线平行．证题过程应认真领悟线线平行与线面平行的相互转化关系．简记为“过直线，作平面，得交线，得平行”．跟踪训练1 如图所示，已知两条异面直线AB与CD，平面MNPQ与AB，CD都平行，且点M，N，P，Q依次在线段AC，BC，BD，AD上，求证：四边形MNPQ是平行四边形．证明：∵AB∥平面MNPQ，且过AB的平面ABC交平面MNPQ于MN，∴AB∥MN.又过AB的平面ABD交平面MNPQ于PQ，∴AB∥PQ，∴MN∥PQ.同理可证NP∥MQ.∴四边形MNPQ为平行四边形．AB∥平面MNPQ，CD∥平面MNPQ→MN∥PQ，NP∥MQ→四边形MNPQ是平行四边形类型二 面面平行性质定理的应用例2 如图所示，已知三棱柱ABC－A′B′C′中，D是BC的中点，D′是B′C′的中点，设平面A′D′B∩平面ABC＝a，平面ADC′∩平面A′B′C′＝b，判断直线a，b的位置关系，并证明．【解析】 直线a，b的位置关系是平行．如图所示，连接DD′.∵平面ABC∥平面A′B′C′，平面A′D′B∩平面ABC＝a，平面A′D′B∩平面A′B′C′＝A′D′，∴A′D′∥a.同理可证AD∥b. 又D是BC的中点，D′是B′C′的中点，∴DD′綊BB′，又BB′綊AA′，∴DD′綊AA′，∴四边形AA′D′D为平行四边形，∴A′D′∥AD，∴a∥b.由ABC－A′B′C′为三棱柱，得平面ABC∥平面A′B′C′，若第三个平面与它们相交，则交线平行．方法归纳面面平行性质定理的两个主要应用(1)证明线线平行：利用面面平行的性质定理推出线线平行．(2)判断线面平行：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面．跟踪训练2 如图，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD为梯形，AD∥BC，平面A1DCE与B1B交于点E.求证：EC∥A1D.证明：因为BE∥AA1，AA1⊂平面AA1D，BE⊄平面AA1D，所以BE∥平面AA1D.因为BC∥AD，AD⊂平面AA1D，BC⊄平面AA1D，所以BC∥平面AA1D.因为BE∩BC＝B，BE⊂平面BCE，BC⊂平面BCE，所以平面BCE∥平面AA1D.又因为平面A1DCE∩平面BCE＝EC，平面A1DCE∩平面AA1D＝A1D，所以EC∥A1D.线线平行⇒线面平行⇒面面平行⇒线线平行．类型三 平行关系的综合应用例3 如图，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，P，Q分别是BC，C1D1， AD1，BD的中点．(1)求证：PQ∥平面DCC1D1；(2)求PQ的长；(3)求证：EF∥平面BB1D1D.【解析】 (1)法一 如图，连接AC，CD1.因为P，Q分别是AD1，AC的中点，所以PQ∥CD1.又PQ⊄平面DCC1D1，CD1⊂平面DCC1D1，所以PQ∥平面DCC1D1.法二 取AD的中点G，连接PG，GQ，则有PG∥DD1，PG⊄平面DCC1D1，DD1⊂平面DCC1D1，所以PG∥平面DCC1D1，同理GQ∥平面DCC1D1，又PG∩GQ＝G，PG⊂平面DCC1D1，GQ⊂平面DCC1D1，所以平面PGQ∥平面DCC1D1.又PQ⊂平面PGQ，所以PQ∥平面DCC1D1.(2)由(1)易知PQ＝D1C＝a.(3)法一 取B1D1的中点O1，连接FO1，BO1，则有FO1綊B1C1.又BE綊B1C1，所以BE綊FO1.所以四边形BEFO1为平行四边形，所以EF∥BO1，又EF⊄平面BB1D1D，BO1⊂平面BB1D1D，所以EF∥平面BB1D1D.法二 取B1C1的中点E1，连接EE1，FE1，则有FE1∥B1D1，FE1⊄平面BB1D1D，B1D1⊂平面BB1D1D，所以PE1∥平面BB1D1D，同理EE1∥平面BB1D1D，又FE1∩EE1＝E1， 所以平面EE1F∥平面BB1D1D.又EF⊂平面EE1F，所以EF∥平面BB1D1D.线面平行、面面平行的性质定理的应用，往往需要通过“作”或“找”辅助平面，但辅助平面不可乱作，要想办法与其他已知条件联系起来．方法归纳(1)证明线面平行的方法有“线线平行⇒线面平行”或“线线平行⇒线面平行⇒面面平行⇒线面平行”．(2)常见的平行关系有线线平行、线面平行和面面平行，这三种关系相互联系、相互转化．跟踪训练3 如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，且PA＝3.F在棱PA上，且AF＝1，E在棱PD上．若CE∥平面BDF，求PEED的值．解析：过点E作EG∥FD交AP于点G，连接CG，连接AC交BD于点O，连接FO.因为EG∥FD，EG⊄平面BDF，FD⊂平面BDF，所以EG∥平面BDF，又CE∥平面BDF，EG∩CE＝E，EG⊂平面CGE，CE⊂平面CGE，所以平面CGE∥平面BDF，又CG⊂平面CGE，所以CG∥平面BDF，又CG⊂平面PAC，平面BDF∩平面PAC＝FO，所以FO∥CG.又O为AC中点，所以F为AG中点，所以FG＝GP＝1， 所以E为PD中点，PE：ED＝1：1.底面ABCD是平行四边形，CE∥平面BDF⇒构造辅助平面与平面BDF平行，线面平行的性质定理.[基础巩固](25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．[2019·孝感校级单元测试]如果直线a平行于平面α，则(  )A．平面α内有且只有一条直线与a平行B．平面α内有无数条直线与a平行C．平面α内不存在与a垂直的直线D．平面α内有且只有一条与a垂直的直线解析：过直线a可作无数个平面与α相交，这些交线都与a平行，所以在平面α内与直线a平行的直线有无数条，故A不正确，B正确．平面内存在与a异面垂直的直线，且有无数条，故C，D不正确．答案：B2.如图所示，长方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是棱AA1和BB1的中点，过EF的平面EFGH分别交BC和AD于G、H，则HG与AB的位置关系是(  )A．平行 B．相交C．异面D．平行和异面解析：∵E、F分别是AA1、BB1的中点，∴EF∥AB.又AB⊄平面EFGH，EF⊂平面EFGH，∴AB∥平面EFGH.又AB⊂平面ABCD，平面ABCD∩平面EFGH＝GH，∴AB∥GH.答案：A3．已知a，b表示两条不同的直线，α，β表示两个不重合的平面，给出下列四个命题：①若α∥β，a⊂α，b⊂β，则a∥b；②若a∥b，a∥α，b∥β，则α∥β；③若 α∥β，a⊂α，则a∥β；④若a∥α，a∥β，则α∥β.其中正确的个数为(  )A．1    B．2C．3    D．4解析：对于①，a∥b或a与b是异面直线，故①错；对于②，也可能是α与β相交，故②错；对于④，同样α与β也可能相交，故④错．只有③对．答案：A4．[2019·广州校级课时练]如图，四棱锥P－ABCD中，M，N分别为AC，PC上的点，且MN∥平面PAD，则(  )A．MN∥PDB．MN∥PAC．MN∥ADD．以上均有可能解析：四棱锥P－ABCD中，M，N分别为AC，PC上的点，且MN∥平面PAD，因为MN⊂平面PAC，平面PAC∩平面PAD＝PA，由直线与平面平行的性质定理可得，MN∥PA.答案：B5．如图是长方体被一平面所截得到的几何体，四边形EFGH为截面，长方形ABCD为底面，则四边形EFGH的形状为(  )A．梯形B．平行四边形C．可能是梯形也可能是平行四边形D．不确定解析：因为平面与长方体的两组相对的平面分别相交，根据面面平行的性质定理可知，两组交线分别平行，即EF∥HG，EH∥FG，所以四边形EFGH为平行四边形，故选B.答案：B二、填空题(每小题5分，共15分) 6．若空间四边形ABCD的两条对角线AC、BD的长分别是8,12，过AB的中点E作平行于BD、AC的截面四边形的周长为________．解析：截面四边形为平行四边形，则l＝2×(4＋6)＝20.答案：207．如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH的边上及其内部运动，则M满足条件________时，有MN∥平面B1BDD1.解析：连接FH，由题意知，HN∥平面B1BDD1，FH∥平面B1BDD1，且HN∩FH＝H，所以平面NHF∥平面B1BDD1.所以当M在线段HF上运动时，有MN∥平面B1BDD1.故填M∈线段HF.答案：M∈线段HF.8．在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱A1B1，B1C1的中点，P是棱AD上一点，AP＝，过P，M，N的平面与棱CD交于Q，则PQ＝________.解析：由线面平行的性质知MN∥PQ∥AC，所以＝，又AC＝a，所以PQ＝a.答案：a三、解答题(每小题10分，共20分)9．已知E，F，G，H为空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上的点，且EH∥FG.求证：EH∥BD.证明：因为EH∥FG，EH⊄平面BCD， FG⊂平面BCD，所以EH∥平面BCD，又因为EH⊂平面ABD，平面BCD∩平面ABD＝BD，所以EH∥BD.10．正方形ABCD与正方形ABEF所在的平面相交于AB，在AE、BD上各有一点P、Q，且AP＝DQ，求证：PQ∥平面BCE.证明：证法一(线线平行⇒线面平行) 如图1所示，作PM∥AB，交BE于M，作QN∥AB交BC于N，连接MN.∵正方形ABCD和正方形ABEF有公共边AB，∴AE＝BD.又AP＝DQ，∴PE＝QB，又PM∥AB∥QN，∴＝＝，＝，∴＝，又AB綊DC，∴PM∥QN且PM＝QN，∴四边形PMNQ为平行四边形，∴PQ∥MN，又MN⊂平面BCE，PQ⊄平面BCE，∴PQ∥平面CBE.证法二(面面平行⇒线面平行) 如图2，在平面ABEF内过点P作PM∥BE交AB于点M，连接QM，又PM⊄平面BCE，BE⊂平面BCE，∴PM∥平面BCE，＝.又AE＝BD，AP＝DQ，∴PE＝BQ，∴＝，∴＝，∴MQ∥AD，又AD∥BC，∴MQ∥BC，MQ⊄平面BCE，BC⊂平面BCE，∴MQ∥平面BCE，又PM∩MQ＝M，∴平面PMQ∥平面BCE，又PQ⊂平面PMQ，∴PQ∥平面BCE.[能力提升](20分钟，40分)11．在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，当BD∥平面EFGH时，下列结论正确的是(  ) A．E，F，G，H一定是各边的中点B．G，H一定是CD，DA的中点C．BE：EA＝BF：FC，且DH：HA＝DG：GCD．AE：EB＝AH：HD，且BF：FC＝DG：GC解析：由BD∥平面EFGH，得BD∥EH，BD∥FG，则AE：EB＝AH：HD，且BF：FC＝DG：GC.答案：D12．如图，P是△ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，α分别交线段PA，PB，PC于A′，B′，C′，若PA′：AA′＝2：3，则△A′B′C′与△ABC面积的比为________．解析：由题意知，△A′B′C′∽△ABC，从而＝2＝2＝.答案：4：2513.如图，已知P是▱ABCD所在平面外一点，M，N分别是AB，PC的中点，平面PAD∩平面PBC＝l.(1)求证：l∥BC；(2)MN与平面PAD是否平行？试证明你的结论．解析：(1)证明：因为BC∥AD，BC⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，所以BC∥平面PAD.又因为BC⊂平面PBC，平面PBC∩平面PAD＝l，所以l∥BC. (2)平行．取PD的中点E，连接AE，NE，可以证得NE綊AM.所以四边形AMNE为平行四边形，所以MN∥AE.又因为AE平面PAD，MN⃘平面PAD，所以MN∥平面PAD.14.如图所示，四边形EFGH为空间四边形ABCD的一个截面，若截面为平行四边形．(1)求证：AB∥平面EFGH，CD∥平面EFGH；(2)若AB＝4，CD＝6，求四边形EFGH周长的取值范围．解析：(1)证明：∵四边形EFGH为平行四边形，∴EF∥HG.∵HG⊂平面ABD，EF⊄平面ABD，∴EF∥平面ABD.∵EF⊂平面ABC，平面ABD∩平面ABC＝AB，∴EF∥AB，AB⊄平面EFGH，EF⊂平面EFGH.∴AB∥平面EFGH.同理可证，CD∥平面EFGH.(2)设EF＝x(0