2.2.4平面与平面平行的性质课

2.2.4平面与平面平行的性质1 自学导引(学生用书P41)2 1.掌握平面与平面平行的性质定理.明确由面面平行可推出线面平行.2.结合具体问题体会空间与平面的转化关系.3 课前热身(学生用书P41)4 1.如果两个平行平面同时和第三个平面相交那么它们的交线______.2.如果一条直线与两个平行平面中的一个相交,那么它与另一个也______.3.如果两个平面平行,那么其中一个平面内的直线与另一个平面________.平行相交平行5 名师讲解(学生用书P41)6 1.正确使用线､面平行的性质定理与判定定理在使用判定定理和性质定理时,要注意定理中的条件.如使用两平面平行的性质定理容易出现错误:“如果α∥β且aα,bβ,那么有a∥b.”显然这一结论是错误的.必须强调辅助平面γ,且有γ∩α=a,γ∩β=b,α∥β,那么才有a∥b成立.再如利用直线与平面平行的判定定理证明线面平行时,最容易忽略掉“平面外一条直线”这一条件.要避免此错误的出现,关键是明确:与平面α内直线a平行的直线b和α存在这样两种位置关系:b∥α和bα,即不仅有平行而且还有在平面内的情况.7 2.辅助线､辅助面的作法在证线面､面面平行的有关问题时,常需要辅助线或辅助面,证题时要特别注意两点:一是所作的辅助线或面需要有理论根据;二是辅助线或辅助面具有什么性质,一定要以某一性质定理为依据决不能随意添加.8 3.线､面平行问题的转化关系9 4.面面平行的性质定理的几个常用结论(1)两个平面平行,其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面.(2)夹在两个平行平面之间的平行线段相等.(3)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行.(4)两条直线被三个平行平面所截,截得的对应线段成比例.(5)如果两个平面分别平行于第三个平面,那么这两个平面互相平行.10 典例剖析(学生用书P42)11 题型一证明线面平行例1:在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为CD的中点,F为B1C1的中点.求证:EF∥平面BB1D1D.12 分析:如下图所示.要证线面平行,可先证面面平行,取BC的中点H,连结FH､EH.易证平面EFH∥平面BB1D1D.再用两面平行的性质得证.13 证明:如上图,取BC的中点H.连结EH,FH.∵E为CD的中点.∴EH∥BD,EH平面BB1D1D.∴EH∥平面BB1D1D.又F为B1C1的中点.∴FB1BH,∴BHFB1为平行四边形,14 ∴FH∥BB1,又FH平面BB1D1D.∴FH∥平面BB1D1D.又FH∩EH=H,∴平面EFH∥平面BB1D1D.∴EF∥平面BB1D1D.15 规律技巧:在证明线面平行时,常用:线线平行,线面平行,面面平行进行相互转化,达到证题的目的.16 变式训练1:如图所示,直三棱柱ABC—A1B1C1底面为等腰直角三角形,∠ABC=90°,P､Q分别为A1B和CC1的中点,求证:PQ∥平面A1B1C1.17 证法一:如图(1)所示,取A1B1的中点D,连结DP､DC1,则有DP.又Q为CC1的中点,∴DPQC1.∴四边形PQC1D是平行四边形,∴PQ∥C1D.又PQ平面A1B1C1,C1D平面A1B1C1,∴PQ∥平面A1B1C1.18 证法二:如图(2)所示,取BB1的中点E,连结EP､EQ,则有PE∥A1B1,QE∥B1C1.又PE平面A1B1C1,QE平面A1B1C1,A1B1平面A1B1C1,B1C1平面A1B1C1,∴PE∥平面A1B1C1,QE∥平面A1B1C1.又PE平面PQE,QE平面PQE,PE∩QE=E,∴平面PQE∥平面A1B1C1.又PQ平面PQE,∴PQ∥平面A1B1C1.19 题型二证明面面平行例2:已知a\,b是异面直线,a平面α,b平面β,a∥β,b∥α,求证:α∥β.分析:要证α∥β,由判定定理知,在β内找出两条相交直线都平行于α.由已知,bβ,b∥α,再找出一条直线a′∥α.这需要作辅助平面γ,使γ∩α=a,γ∩β=a′,只要a′∥a,就可得α∥β,具体如何作出辅助平面γ,请看证明.20 证明:在b上任取一点P,设直线a与点P确定平面为γ,如上图所示.设β∩γ=a′,∵a∥β,∴a′∥a,∴a′∥α.又b∥α,且a′∩b=P,a′β,bβ,∴α∥β.21 变式训练2:已知:平面α∥平面β,平面β∥平面γ.求证:α∥γ.证明:如图,作两个相交平面分别与α､β､γ交于a､c､e和b､d､f.∵α∥β,∴a∥c,b∥d.又β∥γ,∴c∥e,d∥f.∴a∥e,b∥f,又a与b相交,∴α∥γ.22 题型三综合性问题例3:如下图,在三棱柱ABC—A1B1C1中,点D､D1分别为AC､A1C1上的点.(1)当\frac{A_1D_1}{D_1C_1}的值等于何值时,BC1∥平面AB1D1;(2)若平面BC1D∥平面AB1D1,求\frac{AD}{DC}的值.23 题型三综合性问题例3:如下图,在三棱柱ABC—A1B1C1中,点D､D1分别为AC､A1C1上的点.(1)当的值等于何值时,BC1∥平面AB1D1;(2)若平面BC1D∥平面AB1D1,求的值.24 分析:若BC1∥平面AB1D1,则平面AB1D1中存在直线与BC1平行,连结A1B交AB1于O,由棱柱的定义知O为A1B的中点,平面A1BC1与平面AB1D1的交线OD1与直线BC1平行,由三角形中位线定理知D1为A1C1的中点,此时若平面BC1D∥平面AB1D1,易知25 解:(1)如题图,取D1为线段A1C1的中点,此时连结A1B交AB1于点O,连结OD1.由棱柱的定义,知四边形A1ABB1为平行四边形,所以点O为A1B的中点.在△A1BC1中,点O､D1分别为A1B､A1C1的中点,∴OD1∥BC1.又∵OD1平面AB1D1,BC1平面AB1D1,∴BC1∥平面AB1D1.∴时,BC1∥平面AB1D1.26 (2)由已知,平面BC1D∥平面AB1D1.且平面A1BC1∩平面BDC1=BC1,平面A1BC1∩平面AB1D1=D1O,因此BC1∥D1O,同理AD1∥DC1.27 规律技巧:探索平行问题,即找平行成立具备的条件,三种平行关系的相互转化是解决问题常用的方法.28 变式训练3:如图,已知α∥β,P是平面α,β外的一点,直线PAB,PCD分别与α､β相交于A､B和C､D.(1)求证:AC∥BD;(2)已知PA=4,AB=5,PC=3,求PD的长.29 (1)证明:∵PB∩PD=P,∴直线PB和PD确定一个平面γ,则α∩γ=AC,β∩γ=BD,又α∥β,∴AC∥BD.(2)解:由(1)得AC∥BD,30 易错探究31 例4:已知三个平行平面α､β､γ与两条直线l､m分别相交于点A､B､C和D､E､F,求证32 错解:如图所示连结AD､BE､CF,∵α∥β∥γ.∴AD∥BE∥CF.33 错因分析:题目中没有明确直线l与m是否共面,应区分共面和异面两种情况解答.错解中把直线l､m当做共面直线,直接连结AD､BE､CF,得出AD∥BE∥CF的错误结论.34 正解:当l､m共面时,见错解.当l､m异面时,如下图所示,连结AF,交平面β于M,连结BM､ME､AD､CF.35 技能演练(学生用书P44)36 基础强化1.已知直线a∥平面α,则a与平面α内的直线的位置关系为()A.相交B.平行C.异面或平行D.异面答案:C37 2.已知m､n表示两条直线,α､β､γ表示平面,下列命题中正确的个数是()①若α∩γ=m,β∩γ=n,且m∥n,则α∥β;②若m､n相交且都在α､β外,m∥α,m∥β,n∥α,n∥β,则α∥β;③若m∥α,m∥β,则α∥β;④若m∥α,n∥β,且m∥n,则α∥β.38 A.1B.2C.3D.4解析:∵直线m与n相交,∴m与n确定一个平面π,又m∥α,n∥α,∴α∥π,同理β∥π,∴α∥β.故②正确.其它均错.故选A.答案:A39 3.已知平面α∥β,P是α､β外一点,过点P的直线m与α､β分别交于A､C,过点P的直线n与α､β分别交于B､D,且PA=6,AC=9,PD=8,则BD的长为()40 解析:当点P在平面α与β的同侧时,由平行线截线段成比例知当P在平面α与β之间时,同理可求得BD=24.答案:B41 4.α､β､γ是三个两两平行的平面,且α与β之间的距离是3,α与γ之间的距离是4,则β与γ之间的距离的取值范围是()A.{1}B.{7}C.{1,7}D.[1.7]答案:C42 5.已知平面α∥平面β,它们之间的距离为d,直线aα,则在β内与直线a相距为2d的直线有()A.一条B.两条C.无数条D.不存在答案:B43 6.给出下列互不相同的直线l､m､n和平面α､β､γ的三个命题:①若l与m为异面直线,lα,mβ,则α∥β.②若α∥β,lα,mβ,则l∥m.③若α∩β=l,β∩γ=m,γ∩α=n,l∥γ,则m∥n.其中真命题的个数为()44 A.3B.2C.1D.0解析:①中α与β也可能相交.∴①错;在②中l与m也可能异面,∴②错.③正确.答案:C45 7.已知直线l∥平面α,设A∈l,B∈l,C∈α,D∈α,且AC∥BD.则AC________BD(填“=”或“≠”).8.过正方体ABCD—A1B1C1D1的三顶点A1､C1､B的平面与底面ABCD所在平面的交线为l,则l与A1C1的位置关系是__________.=平行46 能力提升47 9.如右图,两条异面直线AC､DF与三个平行平面α､β､γ分别交于A､B､C和D､E､F,又AF､CD分别与β交于G､H,求证:HEGB是平行四边形.48 证明:∵AC∩CD=C,∴AC､CD确定平面ACD.又α∥β,平面ACD与α､β交于AD､BH,∴AD∥BH.又AF∩DF=F,∴AF､FD确定平面AFD.又∵α∥β,平面AFD交α､β于AD､GE,∴AD∥GE.∴BH∥GE.同理BG∥HE.∴四边形HEGB是平行四边形.49 10.如图(1)所示,在空间六边形(即六个顶点中没有任何五点共面)ABCC1D1A1中,每相邻的两边互相垂直,边长均等于a,并且AA1∥CC1.求证:平面A1BC1∥平面ACD1.50 分析:由本题的条件不难联想到正方体,从而用补形法证之.证明:首先将图形补成正方体框架,如右图(2)所示.则在正方体ABCD-A1B1C1D1中,证平面A1BC1∥平面ACD1.由正方体的性质易知,AC∥A1C1.∴AC∥平面A1BC1,同理可证CD1∥平面A1BC1.又AC∩CD1=C,∴平面A1BC1∥平面ACD1.51 品味高考(学生用书P44)52 11.(湖南高考)过平行六面体ABCD—A1B1C1D1任意两条棱的中点作直线,其中与平面DBB1D1平行的直线共有()A.4条B.6条C.8条D.12条53 解析:如图取各棱的中点54 易证平面EFGH∥平面DBB1D1,故平行四边形EFGH的四条边及对角线均为各棱中点的连线均平行于面DBB1D1,共6条,同理在平行四边形JKMN中也有6条满足条件,故共有12条.答案:D55 12.(2008·江苏16(1))如图,在四面体ABCD中,CB=CD,AD⊥BD,且E､F分别是AB､BD的中点.求证:直线EF∥面ACD.56 证明:在△ABD中,∵E､F分别是AB､BD的中点,∴EF∥AD.又AD平面ACD,EF平面ACD,∴直线EF∥面ACD.57